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高一数学必修4


《三角函数》复习教案
【知识网络】

应用

弧长公式

同角三角函数 的基本关系式

诱导 公式

应用

计算与化简 证明恒等式

应用

任意角的概念

角度制与 弧度制

r />任意角的 三角函数

三角函数的 图像和性质

应用

已 知 三角 函 数值求角 图像和性质

和角公式
应用

应用

倍角公式

差角公式
应用

学法: 1.注重化归思想的运用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问 题, 将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题, 将不同角的三角函数问题化成同 角的三角函数问题等 2.注意数形结合思想的运用.如讨论函数性质等问题时,要结合函数图象思考,便易 找出解题思路和问题答案.

第1课

三角函数的概念

考试注意: 理解任意角的概念、弧度的意义. 能正确地进行弧度与角度的换算. 掌握终边相同角 的表示方法. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义.了解余切、正割、余割的定义. 掌 握三角函数的符号法则. 知识典例: 1.角α 的终边在第一、三象限的角平分线上,角α 的集合可写成 . 2.已知角α 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α 的终边 ( ) A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.在直线 y=x 上 D.在直线 y=-x 上 . 3.已知角α 的终边过点 p(-5,12),则 cosα } 4. tan(-3)cot5 的符号为 cos8 . ( B.第二象限角 D.第二、三象限角
1

,tanα =



5.若 cosθ tanθ >0,则θ 是 A.第一象限角 C.第一、二象限角

)

【讲练平台】 例 1 已知角的终边上一点 P(- 3 ,m),且 sinθ = 2 m,求 cosθ 与 tanθ 的 4

值. 分析 已知角的终边上点的坐标,求角的三角函数值,应联想到运用三角函数的定义 解题,由 P 的坐标可知,需求出 m 的值,从而应寻求 m 的方程. m m 解 由题意知 r= 3+m2 ,则 sinθ = = . r 3+m2 又∵sinθ = 2 m, 4 ∴ m 3+m2 = 2 m. 4 ∴m=0,m=± 5 .

当 m=0 时,cosθ = -1 , tanθ =0 ; 当 m= 5 时,cosθ = - 6 , tanθ = - 4 15 ; 3

当 m= -

5 时,cosθ = -

6 15 ,tanθ = . 4 3

点评 已知一个角的终边上一点的坐标,求其三角函数值,往往运用定义法(三角函数 的定义)解决. 例 2 已知集合 E={θ |cosθ <sinθ ,0≤θ ≤2π },F={θ |tanθ <sinθ },求集 合 E∩F. 分析 对于三角不等式,可运用三角函数线解之. π 5π π 3π 解 E={θ | <θ < }, F ={θ | <θ <π ,或 <θ <2π }, 4 4 2 2 π ∴E∩F={θ | <θ <π }. 2 θ θ θ 例 3 设θ 是第二象限角,且满足|sin |= -sin , 是哪个象限的角? 2 2 2 解 ∵θ 是第二象限角, ∴2kπ + ∴kπ + π 3π <θ <2kπ + ,k∈Z. 2 2

π θ 3π < <kπ + ,k∈Z . 4 2 4 ① ∴ θ 是第三、第四象限的角. ② 2

θ ∴ 是第一象限或第三象限角. 2 θ θ θ 又∵|sin |= -sin , ∴sin <0. 2 2 2 由①、②知, 点评 θ 是第三象限角. 2

已知θ 所在的象限,求

θ 或 2θ 等所在的象限,要运用终边相同的角的表示法 2

来表示,否则易出错. 【知能集成】 注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等; 已知角的终边上一点的坐标, 求 三角函数值往往运用定义法;注意运用三角函数线解决有关三角不等式. 【训练反馈】

2

α 1. 已知α 是钝角,那么 是 2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一与第二象限角 D.不小于直角的正角 2. 角α 的终边过点 P(-4k,3k)(k<0},则 cosα 的值是 A. 3 5 B. 4 5 C.- 3 5 D.- 4 5









3.已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在[0,2π ]内,α 的取值范围是 A.( C.( π 3π 5π , )∪(π , ) 2 4 4 π 3π 5π 3π , )∪( , ) 2 4 4 2 B.( D.( π π 5π , )∪(π , ) 4 2 4 π π 3π , )∪( ,π ) 4 2 4 ( )

(

)

3 4 4.若 sinx= - ,cosx = ,则角 2x 的终边位置在 5 5 B.第二象限 C.第三象限 2π 5.若 4π <α <6π ,且α 与- 终边相同,则α = 3 A.第一象限

D.第四象限 .

6. 角α 终边在第三象限,则角 2α 终边在 象限. 7.已知|tanx|=-tanx,则角 x 的集合为 8.如果θ 是第三象限角,则 cos(sinθ )?sin(sinθ )的符号为什么?



9.已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形中心角是 1 弧度,求该扇形面积.

第2课
【考点指津】

同角三角函数的关系及诱导公式
sinα =tanα ,tanα cotα =1, cosα

掌握同角三角函数的基本关系式:sin 2α +cos2α =1,

掌握正弦、余弦的诱导公式.能运用化归思想(即将含有较多三角函数名称问题化成含有较 少三角函数名称问题)解题 . 【知识在线】 1.sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是 ( ) A. 1 4 B. 3 4 C. 11 4 D. 9 4 ( 3 4 4 C.cosα = - 5 . . ( ) D.sin(π -α )= ) 3 5

3 2.已知 sin(π +α )=- ,则 5 A.cosα = 4 5 B.tanα =

3.已 tanα =3,

4sinα -2cosα 的值为 5cosα +3sinα

4.化简 1+2sin(π -2)cos(π +2) =

5 5.已知θ 是第三象限角,且 sin4θ +cos4θ = ,那么 sin2θ 等于 9

3

A.

2 2 3

2 2 B.- 3

2 C. 3

D.-

2 3

【讲练平台】 例 1 化简 sin(2π -α )tan(π +α )cot(-α -π ) . cos(π -α )tan(3π -α )

分析 式中含有较多角和较多三角函数名称,若能减少它们的个数,则式子可望简化. (-sinα )tanα [-cot(α +π ) ] (-sinα )tanα (-cotα ) 解 原式= = (-cosα )tan(π -α ) (-cosα )(-tanα ) sinα ? = cosα sinα cosα

=1 .

点评 将不同角化同角, 不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方 法. π π 1 例 2 若 sinθ cosθ = ,θ ∈( , ),求 cosθ -sinθ 的值. 8 4 2 分析 已知式为 sinθ 、cosθ 的二次式,欲求式为 sinθ 、cosθ 的一次式,为了运用条 件,须将 cosθ -sinθ 进行平方. 1 3 解 (cosθ -sinθ )2=cos2θ +sin2θ -2sinθ cosθ =1- = . 4 4 π π ∵θ ∈( , ),∴ cosθ <sinθ . 4 2 ∴cosθ -sinθ = - 变式 1 变式 2 3 2 .

条件同例, 求 cosθ +sinθ 的值. 已知 cosθ -sinθ = - 3 2 , 求 sinθ cosθ ,sinθ +cosθ 的值.

点评 sinθ cosθ ,cosθ +sinθ ,cosθ -sinθ 三者关系紧密,由其中之一,可求其余 之二. 例 3 已知 tanθ =3.求 cos2θ +sinθ cosθ 的值. 分析 因为 cos2θ +sinθ cosθ 是关于 sinθ 、cosθ 的二次齐次式,所以可转化成 tanθ 的式子. cos2θ +sinθ cosθ 1+tanθ 2 解 原式=cos2θ +sinθ cosθ = = = . 2 2 5 cos θ +sin θ 1+tan2θ 点评 1.关于 cosθ 、sinθ 的齐次式可转化成 tanθ 的式子. 2.注意 1 的作用:1=sin 2θ +cos2θ 等. 【知能集成】 1.在三角式的化简,求值等三角恒等变换中,要注意将不同名的三角函数化成同名的 三角函数. 2.注意 1 的作用:如 1=sin 2θ +cos2θ . 3.要注意观察式子特征,关于 sinθ 、cosθ 的齐次式可转化成关于 tanθ 的式子. 4.运用诱导公式,可将任意角的问题转化成锐角的问题 . 【训练反馈】 1.sin600°的值是 ( )

4

1 A. 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2 ( )

π π 2. sin( +α )sin( -α )的化简结果为 4 4 A.cos2α 1 B. cos2α 2 C.sin2α

1 D. sin2α 2 ( 3 4 D.- 或- 4 3 . )

1 3.已知 sinx+cosx= ,x∈[0,π ] ,则 tanx 的值是 5 3 A.- 4 B.- 4 3 4 C.± 3

1 1 4.已知 tanα =- ,则 = 3 2sinα cosα +cos2α 5. 1-2sin10°cos10° cos10°- 1-cos2170° 的值为 .

6.证明

1+2sinα cosα 1+ tanα = . cos2α -sin2α 1-tanα 2sinθ +cosθ =-5,求 3cos2θ +4sin2θ 的值. sinθ -3cosθ

7.已知

8.已知锐角α 、β 、γ 满足 sinα +sinγ =sinβ ,cosα -cosγ =cosβ ,求α -β 的值.

第3课

两角和与两角差的三角函数(一)

【考点指津】 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式, 能运用化归思想(将不同角化成同角等)解题. 【知识在线】 1.cos105°的值为 ( ) A. 6 + 2 4 B. 6 - 2 4 C. 2 - 6 4 D. - 6 - 2 4 )

2.对于任何α 、β ∈(0,

π ) ,sin(α +β )与 sinα +sinβ 的大小关系是 ( 2 B.sin(α +β )<sinα +sinβ D.要以α 、β 的具体值而定 ( )

A.sin(α +β )>sinα +sinβ C.sin(α +β )=sinα +sinβ

3π 3.已知π <θ < ,sin2θ =a,则 sinθ +cosθ 等于 2 A. a+1 B.- a+1 C. a2+1 1 1 4.已知 tanα = ,tanβ = ,则 cot(α +2β )= 3 3

D.± a2+1 .

5

1 5.已知 tanx= ,则 cos2x= 2 【讲练平台】 例 1 已知 sinα -sinβ =-



1 1 ,cosα -cosβ = ,求 cos(α -β )的值 . 3 2

分析 由于 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 的右边是关于 sinα 、cosα 、sinβ 、cos β 的二次式,而已知条件是关于 sinα 、sinβ 、cosα 、cosβ 的一次式,所以将已知式两边 平方. 1 1 解 ∵sinα -sinβ =- , ① cosα -cosβ = , ② 3 2 ①2 +②2 ,得 2-2cos(α -β )= ∴cos(α -β )= 72 . 59 13 . 36

点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异,设法消除差异. 2cos10°-sin20° 例2 求 的值 . cos20° 分析 式中含有两个角,故需先化简.注意到 10°=30°-20°,由于 30°的三角函 数值已知,则可将两个角化成一个角. 解 ∵10°=30°-20°, 2cos(30°-20°)-sin20° ∴原式= cos20° = 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° = cos20° 3 cos30° = 3 . cos20°

点评 化异角为同角,是三角变换中常用的方法. 例 3 已知:sin(α +β )=-2sinβ .求证:tanα =3tan(α +β ). 分析 已知式中含有角 2α +β 和β ,而欲求式中含有角α 和α +β ,所以要设法将已知 式中的角转化成欲求式中的角. 解 ∵2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α , ∴sin[(α +β )+α ]=-2sin[(α +β )-α ]. ∴sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα =-2sin(α +β )cosα +2cos(α +β )sinα . 若 cos(α +β )≠0 ,cosα ≠0,则 3tan(α +β )=tanα . 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系,善于运用整体思想解题,此题中将α +β 看成一个整体 【知能集成】 审题中,要善于观察已知式和欲求式的差异,注意角之间的关系;整体思想是三角变换 中常用的思想. 【训练反馈】 π 3 4 1.已知 0<α < <β <π ,sinα = ,cos(α +β )=- ,则 sinβ 等于 2 5 5 A.0 2. 24 B.0 或 25 C. ( 24 25 ) ( )

24 D.0 或- 25

sin7°+cos15°sin8° 的值等于 cos7°-sin15°sin8°

6

A.2+ 3

B.

2+ 3 2 5π 6

C.2- 3

D.

2- 3 2 ( )

3. △ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C 的大小为 A. π 6 B. C. π 5π 或 6 6 D. . π 2π 或 3 3

4.若α 是锐角,且 sin(α - π 2π 3π 5.cos cos cos = 7 7 7

π 1 )= ,则 cosα 的值是 6 3 .

1 1 6.已知 tanθ = ,tanφ = ,且θ 、φ 都是锐角.求证:θ +φ =45°. 2 3

π 3π 4 4 7.已知 cos(α -β )=- ,cos(α +β )= ,且(α -β )∈( ,π ) ,α +β ∈( ,2 5 5 2 2 π) ,求 cos2α 、cos2β 的值.

tanα 1 1 8. 已知 sin(α +β )= ,且 sin(π +α -β )= ,求 . 2 3 tanβ

第4课

两角和与两角差的三角函数(二)

【考点指津】 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; 能灵活运用和角、差角、倍角公式解题. 【知识在线】 求下列各式的值 1.cos200°cos80°+cos110°cos10°= . 1 2. (cos15°+ 3 sin15°)= 2 .

3.化简 1+2cos2θ -cos2θ = . 4.cos(20°+x)cos(25°-x)-cos(70°-x)sin(25°-x)= 1 1 5. - = 1-tanθ 1+tanθ .



【讲练平台】 例 1 求下列各式的值 (1)tan10°+tan50°+ 3 tan10°tan50°; ( 3 tan12°-3)csc12° (2) . 4cos 212°-2 (1)解 原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+ 3 tan10°tan50°= 3 . (2)分析 式中含有多个函数名称,故需减少函数名称的个数,进行切割化弦.

7



sin12° 3 3 1 ( 3 · -3) ? cos12° sin12° 原式= = cos12 ? sin 12 ? 2 cos24° 2 cos 24 ?

3 sin12? ? 3 cos12? = ? 2 sin12? cos12? cos 24?

1 3 2 3 ( sin12? ? cos12?) 2 2 1 sin 48? 2

=

4 3 sin(12? ? 60?) ? ?4 3. sin 48?

点评 (1)要注意公式的变形运用和逆向运用,注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)(1- tanAtanB),asinx+bsinx= a ? b sin(x+φ )的运用;(2)在三角变换中,切割化弦是常
2 2

用的变换方法. 例2 1+sin4θ -cos4θ 1+sin4θ +cos4θ 求证 = . 2 tanθ 1-tan2θ

分析 三角恒等式的证明可从一边开始,证得它等于另一边;也可以分别从两边开始, 证得都等于同一个式子;还可以先证得另一等式,从而推出需要证明的等式. 1+sin4θ -cos4θ 2tanθ 由欲证的等式可知,可先证等式 = ,此式的右边等于 tan2 1+sin4θ +cos4θ 1-tan2θ θ ,而此式的左边出现了“1-cos4θ ”和“1+cos4θ ”,分别运用升幂公式可出现角 2θ , sin4θ 用倍角公式可出现角 2θ ,从而等式可望得证. 证略 点评 注意倍角公式 cos2α =2cos2α -1,cos2α =1-2sin2α 的变形公式:①升幂公式 1-cos2α 1+cos2α 1+cos2α =2cos 2α ,1-cos2α =2sin2α ,②降幂公式 sin2α = ,cos2α = 2 2 的运用;三角恒等式证明的方法:从一边推得另一边;左右归一,先证其等价等于等式;分 析法等. π 7π sin2x+sin2xtanx 3 17π 例 3 已知 cos( +x)= , <x< ,求 的值. 4 5 12 4 1-tanx sin2x(1+tanx) 解 原式= =sin2x? 1-tanx π tan +tanx 4 π =sin2xtan( +x) 4 π 1-tan tanx 4

π π π = -cos[2(x+ )]tan(x+ )= -[2cos2(x+ )-1]tan( +x) 4 4 4 ∵ 17π 7π 5π π <x< , ∴ <x+ <2π . 12 4 3 4

π π 4 4 ∴sin( +x) = - ,∴tan( +x )=- . 4 5 4 3 ∴原式 = - 28 . 75

8

点评

π (1) 注意两角和公式的逆用; 注意特殊角与其三角函数值的关系, 1=tan (2) 如 4 π . 4

等;(3)注意化同角,将所求式中的角 x 转化成已知条件中的角 x+

【知能集成】 在三角变换中,要注意三角公式的逆用和变形运用,特别要注意如下公式: tanA+tanB=tan(A+B)[1-tanAtanB]; asinx+bcosx= a ? b sin(x+φ )及升幂、降幂公式的运用.
2 2

【训练反馈】 1.cos75°+cos15°的值等于 A. 2.a= 6 2 B - 6 2



) C. - 2 2 2 ,则 2 D. D. ( b<a<c 2 2 )

2 (sin17°+cos17°) ,b=2cos213°-1,c= 2 B. b<c<a C. a<b<c . 1+sin2θ -cos2θ = 1+sin2θ +cos2θ

A.c<a<b 3.化简

4.化简 sin(2α +β )-2sinα cos(α +β )=

. .

A C A C 5.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan +tan + 3 tan tan 的值为 2 2 2 2 6.化简 sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B). 7 化简 sin50°(1+ 3 tan10°). 8 已知 sin(α +β )=1,求证:sin(2α +β )+sin(2α +3β )=0.

第5课

三角函数的图象与性质(一)

【考点指津】 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,能运用数形结合的思想解决问题, 能讨论较复杂的三角函数的性质. 【知识在线】 1.若 3 +2cosx<0,则 x 的范围是 2.下列各区间,使函数 y=sin(x+π )的单调递增的区间是 π A.[ ,π ] 2 B. π [0, ] 4 C. ) ( . ) D. π π [ , ] 4 2

[-π ,0]

π 3.下列函数中,周期为 的偶函数是 ( 2

9

A.y=sin4x B. y=cos22x-sin22x 4.判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsinx+x2cos2x 是 函数; (2)y=|sin2x|-xcotx 是 函数; 7π (3)y=sin( +3x)是 2 【讲练平台】 例 1 (1)函数 y= 函数.

C.

y=tan2x

D.

y=cos2x

5.函数 f(x)=cos(3x+φ )是奇函数,则φ 的值为



lg(1 ? tan x) 1 ? 2 sin x

的定义域为

(2)若α 、β 为锐角,sinα <cosβ ,则α 、β 满足 (C) π π A.α >β B.α <β C.α +β < D. α +β > 2 2 分析 (1)函数的定义域为 ?

?1 - tanx ? 0, (*) ?1 - 2sinx ? 0.

的解集,由于 y=tanx 的最小正

周期为π , y=sinx 的最小正周期为 2π , 所以原函数的周期为 2π , 应结合三角函数 y=tanx π 3π 和 y=sinx 的图象先求出(- , )上满足(*)的 x 的范围,再据周期性易得所求定义域 2 2 π π 5π 5π 为{x|2kπ - <x<2kπ + ,或 2kπ + < x<2kπ + ,k∈Z} . 2 6 6 4 π 分析(2)sinα 、cosβ 不同名,故将不同名函数转化成同名函数, cosβ 转化成 sin( 2 -β ),运用 y=sinx 在[0, π ]的单调性,便知答案为 C. 2

点评 (1)讨论周期函数的问题,可先讨论一个周期内的情况,然后将其推广;(2) 解三角不等式,要注意三角函数图象的运用;(3)注意运用三角函数的单调性比较三角函 数值的大小. 例 2 判断下列函数的奇偶性: (1)y=

sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x ; (2)y= . 1 ? cos x 1 ? sin x ? cos x

分析 讨论函数的奇偶性,需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称,然后考 f(-x) ?是否等于 f(x)或-f(x) . x 解 (1)定义域关于原点对称,分子上为奇函数的差,又因为 1+cosx=2cos2 ,所以分 2 母为偶函数,所以原函数是奇函数. π π (2)定义域不关于原点对称(如 x=- ,但 x≠ ),故不是奇函数,也不是偶函数. 2 2 点评 将函数式化简变形,有利于判断函数的奇偶性. 例 3 求下列函数的最小正周期:

10

π π (1)y=sin(2x- )sin(2x+ ) ;(2)y= 6 3

) 3 . ? cos 2 x ? cos(2 x ? ) 3

sin 2 x ? sin(2 x ?

?

分析 对形如 y=Asin(ω x+φ )、y=Acos(ω x+φ )和 y=Atan(ω x+φ )的函数,易求出其 周期,所以需将原函数式进行化简. π π π π 1 解 (1)y=sin(2x- )sin(2x+ - )= sin(4x- ), 6 2 6 2 3 2π π 所以最小正周期为 = . 4 2

1 ? (cos 2 x) ? 2 (2)y= 1 cos 2 x ? (cos 2 x) ? ? (sin 2 x) ? 2 sin 2 x ? (sin 2 x) ? tan 2 x ?

3 3 sin 2 x ? 2 =2 3 3 cos 2 x ? 2 2

3 cos 2 x 2 3 sin 2 x 2

3 3 tan 2 x ? 1 3 ? tan(2 x ? ? ). ? = 6 3 ? tan 2 x 3 1? tan 2 x 3
π ∴是小正周期为 . 2 点评 求复杂函数的周期,往往需先化简,其化简的目标是转化成 y=Asin(ω x+φ ) +k 或 y=Acos(ω x+φ ) +k 或 y=Atan(ω x+φ ) +k 的形式(其中 A、ω 、φ 、k 为常数, ω ≠0). 例 4 已知函数 f(x)=5sinxcosx-5 3 cos2x+ (1)求 f(x)的单调增区间; (2)求 f(x)图象的对称轴、对称中心. 分析 函数表达式较复杂,需先化简. π 5 1+cos2x 5 3 解 f(x)= sin2x-5 3 ? + =5sin(2x- ). 2 2 3 2 π π π π 5π (1)由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,得[kπ - ,kπ + ](k∈Z)为 f(x)的单 2 3 2 12 12 调增区间. (2)令 2x- π π 5π 5π k k =kπ + ,得 x= π + (k∈Z),则 x= π + (k∈Z)为函数 3 2 2 12 2 12

5 3 (x∈R) . 2

π π k y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程,令 2x- =kπ ,得 x= π + (k∈Z),∴ y=f(x) 3 2 6 π k 图象的对称中心为点( π + ,0)(k∈Z). 2 6 点评 研究三角函数的性质,往往需先化简,以化成一个三角函数为目标;讨论

11

y=Asin(ω x+φ )(ω >0)的单调区间,应将ω x+φ 看成一个整体,设为 t,从而归结为讨论 y=Asint 的单调性. 【知能集成】 讨论较复杂的三角函数的性质, 往往需要将原函数式进行化简, 其目标为转化成同一个 角的同名三角函数问题.讨论三角函数的单调性,解三角不等式,要注意数形结合思想的运 用.注意函数性质在解题中的运用:若一个函数为周期函数,则讨论其有关问题,可先研究 在一个周期内的情形,然后再进行推广;若要比较两个角的三角函数值的大小,可考虑运用 三角函数的单调性加以解决. 【训练反馈】 1.函数 y=lg(2cosx-1)的定义域为 ( ) π π A.{x|- <x< } 3 3 π π B.{x|- <x< } 6 6

π π π π C.{x|2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z} D.{x|2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z} 3 3 6 6 π 2.如果α 、β ∈( ,π ) ,且 tanα <cotβ ,那么必有 2 A.α <β B. β <α C. α +β < 3π 2 ( D. ) D. ) 3π α +β > 2 cos2x

3.若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数,则 f(x)可以是 ( A.sinx B. cosx C. sin2x 4.下列命题中正确的是 ( ) A.若α 、β 是第一象限角,且α >β ,且 sinα >sinβ

π π B.函数 y=sinxcotx 的单调递增区间是(2kπ - ,2kπ + ),k∈Z 2 2 C.函数 y= 1-cos2x 的最小正周期是 2π sin2x

kπ π D.函数 y=sinxcos2φ -cosxsin2φ 的图象关于 y 轴对称,则φ = + ,k∈Z 2 4 x x 5.函数 y=sin +cos 在(-2π ,2π )内的递增区间是 2 2 6.y=sin6x+cos6x 的周期为 7.比较下列函数值的大小: (1)sin2,sin3,sin4; (2)cos2θ ,sin2θ ,tan2θ ( . .

π π <θ < ). 4 2

k π 8.设 f(x)=sin( x+ ) (k≠0) . 5 3 (1)写出 f(x)的最大值 M,最小值 m,以及最小正周期 T; (2)试求最小的正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时, 函数 f(x)至少有一个 M 与 m.

12

第6课

三角函数的图象与性质(二)

【考点指津】 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,理解参数 A、ω 、φ 的物理意义.掌握将函数图象进行对称变 换、平移变换、伸缩变换.会根据图象提供的信息,求出函数解析式. 【知识在线】 1.将 y=cosx 的图象作关于 x 轴的对称变换,再将所得的图象向下平移 1 个单位,所得图象 对应的函数是 ( ) A.y=cosx+1 B.y=cosx-1 C.y=-cosx+1 D.y=-cosx-1 2.函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 ( )

1 2 1 C. kπ ,0) k∈Z ( , 4 2

A. ( kπ ,0), k∈Z

B. kπ ,0) k∈Z ( , D. (kπ ,0) ,k∈Z ( ) D.x=π )

1 3

π 3.函数 y=cos(2x+ )的图象的一个对称轴方程为 π A.x=-- B.x=- π C.x= π

2

4

8

π π 4. 为了得到函数 y=4sin(3x+ ), x∈R 的图象, 只需把函数 y=3sin(x+ )的图象上所有点 (

4

4

A.横坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标不变 1 B.横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变

3

C.纵坐标伸长到原来的 3 倍,横坐标不变 1 D.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变.

3

5.要得到 y=sin(2x-

π

3 )的图象,只需将 y=sin2x 的图象 (
B. D. π 向右平移 个单位



π A.向左平移 个单位

3

3 6

π C.向左平移 个单位

6

π 向右平移 个单位

【讲练平台】 例1 π 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的最小值为-2,其图象相邻

2

的最高点和最低点横坐标差 3π ,又图象过点(0,1),求这个函数的解析式. 分析 求函数的解析式,即求 A、ω 、φ 的值.A 与最大、最小值有关,易知 A=2,ω T 与周期有关,由图象可知,相邻最高点与最低点横坐标差 3π ,即 =3π .得 T=6π ,所以

2

1 x ω = .所以 y=2sin( +φ ),又图象过点(0,1),所以可得关于φ 的等式,从而可将φ 求

3

3

13

出,易得解析式为 y=2sin(

x

3

π + ).

6

解略 点评 y=Asin(ω x+φ )中的 A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定,ω 由周期的 大小确定,φ 的确定一般采用待定系数法,即找图像上特殊点坐标代入方程求解,也可由φ 的几何意义(图象的左右平移的情况)等确定(请看下例). 例 2 右图为某三角函数图像的一段 y (1)试用 y=Asin(ω x+φ )型函数表示其解析式; (2)求这个函数关于直线 x=2π 对称的函数解析式. 3 13π π 解:(1)T= 3 - 3 =4π . 13π O π x 3 3 2π 1 -3 ∴ω = = .又 A=3,由图象可知

T

2

所给曲线是由 y=3sin ∴解析式为 y=3sin 1

2沿 x 轴向右平移 3 而得到的.
π (x- ).

x

π

π π

2

3

(2)设(x,y)为 y=3sin(

2 x- 6 )关于直线 x=2π 对称的图像上的任意一点,则该点关 2 x- 6 )关于直线 x=2π 对称的函
1 π

1

π

于直线 x=2π 的对称点应为(4π -x,y),故与 y=3sin(

π π 1 1 数解析式是 y=3sin[ (4π -x)- ]=-3sin( x+ ).

2

6

2

6

点评 y=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象由 y=sinω x 的图象向左平移(φ >0)或向右平移 |φ | (φ <0) 个单位.特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量.求一个函数的图 ω 象关于一条直线对称图象的函数解析式时,要注意解几知识的运用. 1 3 例 3 已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R).

2

2

(1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? π 1 1+cos2x 3 1 1 5 解 (1)y= ? + ? sin2x +1= sin(2x+ )+ .

2

2

2

2

2

6

4

π π π 7 当 2x+ =2kπ + ,即 x=kπ + ,k∈Z 时,ymax= .

6

2

6

4

π 1 (2)由 y=sinx 图象左移 个单位,再将图象上各点横坐标缩短到原来的 (纵坐标

6

2

1 不变),其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变),最后把图象向上平移

2

4个单位即可.
思考 还有其他变换途径吗?若有,请叙述. 点评 (1)回答图像的变换时,不能省略 “纵坐标不变” “横坐标不变” 、 等术语. (2) 周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化.

5

14

【知能集成】 已知三角函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,欲求其解析式,必须搞清 A、ω 、φ 和图象的 哪些因素有关;y=sinω x 和 y=sin(ω x+φ )两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易 搞错,解题时要倍加小心. 【训练反馈】 1 1.函数 y= sin(2x+θ )的图象关于 y 轴对称的充要条件是 ( )

2

π A.θ =2kπ +

2

π B.θ =kπ +

2

C.θ =2kπ +π

D.θ =kπ +π (k∈Z)

π 2.先将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度,再将所得图象作关于 y 轴的对称变换,

3

则所得函数图象对应的解析式为





3 2π C.y=sin(-2x+ 3 )

π A.y=sin(-2x+ )

π B.y=sin(-2x- )

3

D.

y=sin(-2x-

2π 3 )

y
1 1 -1

3.右图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图象, 那么 f(x)可以写成 ( ) A.sin(1+x) B. sin(-1-x) C.sin(x-1) D. sin(1-x) π 1 4.y=tan( x- )在一个周期内的图象是

x

2

3

( y

) y

y

y

? ? O 2? 5? x 3 3 3
A

O ? 2? 7? x 6 3 6 B

?

2? O ? 3 3
C

4? x 3

?

? ? 5? x 6 3 6
D

O

5.已知函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则该封闭图 形面积是 . π π 6.将 y=sin(3x- )的图象向(左、右) 平移 个单位可得 y=sin(3x+ )的图像.

6

3

π 4π 1 7.已知函数 y=Asin(ω x+φ ),在同一个周期内,当 x= 时取得最大值 ,当 x= 时取得

9

2

9

最小值-

1

2

π ,若 A>0,ω >0,|φ |< ,求该函数的解析表达式.

2

8.已知函数 y= 3 sinx+cosx,x∈R. (1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

15

9.如图:某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b. (1)求这段时间的最大温差; y 温度/ ℃ (2)写出这段曲线的函数解析式. 30
20 10 时间/h 6 10 14

第7课

三角函数的最值

【考点指津】 掌握基本三角函数 y=sinx 和 y=cosx 的最值,及取得最值的条件;掌握给定区间上三角 函数的最值的求法; 能运用三角恒等变形, 将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的 一个三角函数的最值问题. 【知识在线】 1.已知(1)cos2x=1.5 ;(2)sinx-cosx=2.5 ;(3)tanx+ 四个等式成立的是 A. (2) (1) B. (4) (2) C. (4) (3) π 2. x∈R 时, 当 函数 y=2sin(2x+ )的最大值为 π 1 3 tanx =2 ;(4)sin x=- 4 .上述 ) 5π , x∈ 当 〔- , 24

( D. (3) (1) , 最小值为 . .

12

π 〕时函数 y 的最大值为 24

,最小值为 ,最小值为 .

3.函数 y=sinx- 3 cosx 的最大值为 4.函数 y=cos2x+sinx+1 的值域为

【讲练平台】 例 1 求函数 f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x 的最大值,并求出此时 x 的值. 分析 由于 f(x)的表达式较复杂,需进行化简. π 解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+ )+2

4

π π π 当 2x+ =2kπ + , 即 x=kπ + (k∈Z)时,ymax=

4

2

8

2 +2 .

点评

要 熟 练 掌 握 y=asinx+bcosx 类 型 的 三 角 函 数 最 值 的 求 法 , asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+φ ).

例 2 若θ ∈[-

12, 12],求函数 y=cos( 4 +θ )+sin2θ 的最小值.

π

π

π

分析 在函数表达式中, 含有两个角和两个三角函数名称, 若能化成含有一个角和一 个三角函数名称的式子,则问题可得到简化.

16



y=cos(

π

4

π π π +θ )-cos[2(θ + )]=cos( +θ )-[2cos2(θ + )-1]

4

4

4

π π π π 1 =-2cos2(θ + )+cos( +θ )+1 =-2[cos2(θ + )- cos(θ + )]+1

4

4

4

2

4

π 1 9 =-2[cos(θ + )- ]2+ .

4

4

8

∵θ ∈[-

12, 12],

π

π

π π π ∴θ + ∈[ , ].

4

6

3

π 1 3 ∴ ≤cos(θ + )≤ , 2 2 4

∴y 最小值 =

3 -1 . 2

点评 (1)三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式(即 f(sinx)或 g(cosx)), 是常见的转化目标;(2)形如 y=f(sinx)或 y=g(cosx)的最值,常运用 sinx,cosx 的有界性, 通过换元转化成 y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题; (3) 对于 y= Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的最值的求法,应先求出 t=ω x+φ 的值域,然后再由 y=Asint 和 y=Acost 的单调性求 出最值. 例 3 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值. 分析 由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示,所以令 sinx+cosx=t,则原三角函数的 最值问题转化成 y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题. 1 3 解 令 t=sinx+cosx,则 y=t+t2+1=(t+ )2+ ,且 t∈[- 2 , 2 ],

2

4

∴ymin=

4 ,ymax=3+

3

2 .

点评 注意 sinx+cosx 与 sinxcosx 的关系,运用换元法将原三角函数的最值问题转化成 y=at +bt+c 在某个区间上的最值问题. 【知能集成】 较复杂的三角函数的最值问题,往往通过需要恒等变形,转化成形如 y=f(sinx)或 y=g(cosx)型或 y= Asin(ω x+φ )+k 型的三角函数的最值问题,运用三角函数的有界性、单调 性求三角函数的最值.用换元法解题,特别要注意 sinx+tcosx 与 sinxcosx 的关系,令 t2-1 sinx+cosx=t,则 sinxcosx= .
2

2

【训练反馈】 1.函数 y= A. 2 2 1 的最大值是 2+sinx+cosx -1 B. 2 2 +1 C. ( ) 1- 2 2 D. ( D. ) -1- ) 7,-5 2 2

2.若 2α +β =π ,则 y=cosβ -6sinα 的最大值和最小值分别为 A.7,5 B. 7,-

11 2 cosx+1

C.

5,- (

11 2

π sinx+1 3.当 0≤x≤ 时,函数 f(x)= 的

2

A.最大值为 2,最小值为

1 2

B.最大值为 2,最小值为 0 D.最大值不存在,最小值为 0

C.最大值为 2,最小值不存在

17

π 4. 已知关于 x 的方程 cos2x-sinx+a=0, 0<x< 时方程有解, a 的取值范围是 若 则 (

2



A. [-1,1] B. (-1,1)

C. [-1,0]

D. (-∞,- )

5 4

5.要使 sinα - 3 cosα =

4m-6 有意义,则 m 的取值范围是 4-m 3



π 6.若 f(x)=2sinω x(0<ω <1) ,在区间[0, ]上的最大值为 2 ,则ω = 三、解答题 7.y=sinxcosx+sinx+cosx,求 x∈[0, π



3 ]时函数 y 的最大值.

8.已知函数 f(x)=-sin2x-asinx+b+1 的最大值为 0,最小值为-4,若实数 a>0,求 a,b 的值. π 9.已知函数 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a,若 x∈[0, ] ,且|f(x)|<2,求 a 的取值范围.

2

第8课

解斜三角形

【考点指津】 掌握正弦定理、余弦定理,能根据条件,灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形.能 根据确定三角形的条件,三角形中边、角间的大小关系,确定解的个数.能运用解斜三角形 的有关知识,解决简单的实际问题. 【知识在线】 1.△ABC 中,若 sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 的形状为 . 2.在△ABC 中,已知 c=10,A=45°,C=30°,则 b= . 3.在△ABC 中,已知 a= 2 ,b=2,∠B=45°,则∠A 等于 ( ) A.30° B.60° C.60°或 120° D.30°或 150° 4.若三角形三边之比为 3∶5∶7,则这个三角形的最大内角为 ( ) A.60° B. 90° C. 120° D. 150° 5.货轮在海上以 40 千米/小时的速度由 B 到 C 航行,航向的方位角∠NBC=140°,A 处有 灯塔,其方位角∠NBA=110°,在 C 处观测灯塔 A 的方位角∠N′CA=35°,由 B 到 C 需航行半小时,则 C 到灯塔 A 的距离是 A.10 6 km C.10( 6 - 2 ) km 【讲练平台】 例 1 在△ABC 中,已知 a=3,c=3 3 ,∠A=30°,求∠C 及 b C B.10 2 km D.10( 6 + 2 )km B ( ) N A

N1
‘1

18

分析 已知两边及一边的对角,求另一边的对角,用正弦定理.注意已知两边和一边的 对角所对应的三角形是不确定的,所以要讨论. 3 3 解 ∵∠A=30°,a<c,c?sinA= <a, 2 csinA sinC= = a 1 3 3? 2 = 3 3 2 ∴此题有两解.

, ∴∠C=60°,或∠C=120°.

∴当∠C=60°时,∠B=90°,b= a2+b2 =6. 当∠C=120°时,∠B=30°,b=a=3. 点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的,解答时要注意讨论. 例 2 在△ABC 中,已知 acosA=bcosB,判断△ABC 的形状. 分析 欲判断△ABC 的形状,需将已知式变形.式中既含有边也含有角,直接变形难 以进行,若将三角函数换成边,则可进行代数变形,或将边换成三角函数,则可进行三角变 换. 解 方法一:由余弦定理,得 a?(

b2+c2—a2 a2+c2—b2 )=b?( 2bc 2ac ),

∴a 2c 2-a 4-b 2c 2+b 4=0 . ∴(a2-b2)(c 2-a2-b2)=0 . ∴a2-b2=0,或 c2-a2-b2=0. ∴a=b,或 c2=a2+b2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 方法二:由 acosA=bcosB,得 2RsinAcosA=2RsinBcosB. ∴sin2A=sin2B. ∴2A=2B,或 2A=π -2B. π ∴A=B,或 A+B= .

2

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 点评 若已知式中既含有边又含有角, 往往运用余弦定理或正弦定理, 将角换成边或将 边换成角,然后进行代数或三角恒等变换. 例 3 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2, BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积. 分析 四边形 ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 A 面积之和,由三角形面积公式及∠A+∠C=π 可知,只需 求出∠A 即可.所以,只需寻找∠A 的方程. B 解 连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积 D O ? 1 1 S=S△ABD+S△CDB= AB?AD?sinA+ BC?CD?sinC.

2

2

∵A+C=180°, ∴sinA=sinC. 1 故 S= (2?4+6?4)sinA=16sinA.

C

2

在△ABD 中,由余弦定理,得 BD2=AB2+AD2-2AB?ADcosA=20-16cosA . 在△CDB 中,由余弦定理,得 BD2=CB2+CD2-2CB?CD?cosC=52-48cosC. ∴20-16cosA=52-48cosC. 1 ∵cosC=-cosA, ∴64cosA=-32,cosA=- .

2

19

A 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用. 例 4 墙壁上一幅图画,上端距观察者水平视线 b 米, b B 下端距水平视线 a 米,问观察者距墙壁多少米时,才能使 a 观察者上、下视角最大. C 分析 如图,使观察者上下视角最大,即使∠APB 最大,所以需寻找∠APB 的目标函数.由于已知有关边长, 所以考虑运用三角函数解之. 解 设观察者距墙壁 x 米的 P 处观察,PC⊥AB,AC=b,BC=a(0<a<b), 则∠APB=θ 为视角.

又∵0°<A<180°,∴A=120°. 故 S=16sin120°=8 3 .

P

b a ? tan∠APC—tan∠BPC x x y=tanθ =tan(∠APC-∠BPC)= 1+ tan∠APC?tan∠BPC = b a 1? ? x x
=

x+ x

b—a b—a ab ≤ , 当且仅当 x= x , 即 x= ab 时,y 最大. ab 2 ab

π π 由θ ∈(0, )且 y=tanθ 在(0, )上为增函数,故当且仅当 x= ab 时视角最大. 2 2 点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题. 【知能集成】 运用正弦定理或余弦定理,有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子,然 后进行代数或三角恒等变形,问题往往可以得解.在解决较复杂的几何问题时,要注意两个 三角形公用边的运用. 【训练反馈】 1.△ABC 中,tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB,sinAcosA= 3 ,则该三角形是 4 ( )

A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形或直角三角形 2.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则此三角形的最大内角为 ( ) A.120° B.150° C.60° D.90° 3.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在△ABC 中,若 sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13,则 cosA= . 5.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C 的大小为 . 6.已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,S 是△ABC 的面积,若 a=4,b=5, s=5 3 ,求 c 的长度. 7.在△ABC 中,sin2A-sin2B+sin2C=sinAsinC,试求角 B 的大小. 8.半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上一点,且 OA=2, B 为半圆上任意一点,以 AB 为边向外作等边△ABC,问 B 点在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大,并求出这个最 大面积. B O A


C

A

20

【单元检测】 单元练习(三角函数) (总分 100 分,测试时间 100 分钟) 一、选择题:本大题共 12 小时,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若角α 满足 sin2α <0,cosα -sinα <0,则α 在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 f(x)sinx 是周期为π 的偶函数,则 f(x)可以是 ( ) A.sin2x B. cosx C. sinx D. cox2x m-3 4-2 m π 3.若 sinx= ,cosx= ,且 x∈[ ,π ] ,则 m 的取值范围为 m+5 m+5 2 A.3<m<9
3





B.

m=8

C.

m=0

D. (

m=0 或 m=8 )

4.函数 f(x)=log1 (sin2x+cos2x)的单调递减区间是 π π A. (kπ - ,kπ + )(k∈Z) 4 8 π 3π C. (kπ + ,kπ + )(k∈Z) 8 8

π π B. (kπ - ,kπ + )(k∈Z) 8 8 π 5π D. (kπ + ,kπ + )(k∈Z) 8 8 ( ) D.等边三角形 ( )

5.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形

a+b+c 6.△ABC 中,∠A=60°,b=1,其面积为 3 ,则 等于 sinA+sinB+sinC A.3 3 2 39 B. 3 26 3 C. 3 D. 39 2 y
2

π 7.已知函数 y= 2 cos(ω x+φ )(0<φ < )在一个周期 2 内的函数图象如图,则 ( 6π π A.T= ,φ = 5 4 π C.T=3π ,φ =- 4 ) 3π π B.T= ,φ = 2 4 π D.T=3π ,φ = 4


3π 20

O

3π 4

x

- 2

π 8.将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移 个单位后,再作 4 关于 x 轴的对称变换,得到函数 y=1-2sin2x 的图象,则 f(x)可以是( ) A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx 9.函数 f(x)=Msin(ω x+φ )(ω >0)在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函 数 g(x)=Mcos(ω x+φ )在区间[a,b]上 ( ) A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值-M 10.在△ABC 中,∠C>90°,则 tanA?tanB 与 1 的关系适合 ( ) A.tanA?tanB>1 B.anA?tanB<1 C.tanA?tanB=1 D.不确定 11.设θ 是第二象限角,则必有 ( A )

21

θ θ A.cot <tan 2 2 θ θ C.sin >cos 2 2

θ θ B.tan <cot 2 2 D.sin θ θ <cos 2 2 ( π C. (0, ) 4 )

π π 12.若 sinα >tanα >cotα (- <α < },则α ∈ 2 2 π π A. (- ,- ) 2 4 π B. (- ,0) 4

π π D. , ) ( 4 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分,把答案填在题中横线上. 13.sin390°+cos120°+sin225°的值是 . 14. sin39°-sin21° = cos39°-cos21° . .

1 15.已知 sinθ +cosθ = ,θ ∈(0,π ) ,cotθ 的值是 5 π 16.关于函数 f(x)=4sin(2x+ )(x∈R),有下列命题: 3 π (1)y=f(x)的表达式可改写为 y=4?cos(2x- ); 6 (2)y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; (3)y=f(x)的图象关于点(- π ,0)对称; 6 π 对称. 6

(4)y=f(x)的图象关于直线 x=-

其中正确的命题序号是 (注:把你认为正确的命题序号都填上) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 8 分)已知角α 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在 x 轴的正半轴上,终 2π 边经过点 P(-1,2) ,求 sin(2α + )的值. 3

π 18. (本小题 8 分)已知 sin22α +sin2α cosα -cos2α =1,α ∈(0, ),求 sinα 、tanα 的值. 2 x 19.(本小题 9 分)设 f(x)=sin2x-asin2 ,求 f(x)的最大值 m. 2

π α α 20.(本小题 9 分)已知α 、β ∈(0, ) ,且 3sinβ =sin(2α +β ),4tan =1-tan2 ,求α 4 2 2 +β 的值.

22

21. (本小题 9 分)某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=f(t), 下面是某日水深的数据: T(时) Y(米) 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asinω t+b 的图象. (1)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的, 某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,试求一天内船舶安全进出港的时 间.

22. 本小题 9 分) ( 在△ABC 中, A、 C 所对边分别为 a、 c. 若 b2=ac, y= 角 B、 b、 求 的取值范围.

1+sin2B sinB+cosB

三角函数答案
第1课
【知识在线】 1.{α |α =kπ + 5. C 【训练反馈】 1. A 7.{2kπ + 2. B 3. B 4. D 16π 5. 3 6.一、二 8.负 9. 2cm2. π ,k∈Z} 4 2. A 3.- 5 13 , - 12 . 5 4.+

三角函数的概念

π 3π <x<2kπ +π 或 2kπ + <x<2kπ +2π ,k∈Z} 2 2

第2课
【知识在线】 1. A 2. D 5 3. 7

同角三角函数的关系及诱导公式

4.sin2-cos2

5. A

【训练反馈】

23

1. D

2. B

3. B

10 4. 3

5. 1

6. 略

7 7. 5

π 8.- 3

第3课
【知识在线】 1. C 2. B

两角和与两角差的三角函数(一)
1 4. 2 3 5. 5 1 8

3. B

【训练反馈】 1. C 2. C 3. A 2 6 -1 4. 6 8. 1 5 5. 6.略

7 7. cos2α =- ,cos2β =-1 25

第4课
【知识在线】 1.- 1 2 2. 2 2

两角和与两角差的三角函数(二)
2 2 5.

3. 2

4.

5.tan2θ 6. sin2(A+B) .

【训练反馈】 1. A 7. 1 2. A 8 .略. 3. tan θ 4. sinβ 3

第5课

三角函数的图象与性质(一)

【知识在线】 5π 7π 1. 2kπ + <x <2kπ + ,k∈Z 6 6 4. (1)偶 (2)偶 (3)偶 5.

2. B kπ +

3. B

π ,k∈Z 2 3π , π) 2 π 2

【训练反馈】 1. C 2. C 3. B 4. D 5. [- 6.

7. (1)sin4 <sin3< sin2 8. (1)M=1,m=-1,T=

(2)cos2θ <sin2θ <tan2θ 10π (k≠0). | k | (2)k=32.

2π = k | | 5

第6课
【知识在线】 1. D 2. B 【训练反馈】 1. B 7. y= 1 2. D 3. B

三角函数的图象与性质(二)
4. B 5. D π 6.左,

3. D

4. A

5. 4 π

6

2

π sin(3x+ )

6

π 8. (1){x|x= +2kπ ,k∈Z} (2)将 y=sinx 的图象向左 ;

3

24

π π 平移 ,得到函数 y=sin(x+ )的图象,再将所得图象上各点横坐标不变,纵坐标伸长到

6

6

π 原来的 2 倍,得到函数 y=2sin(x+ )的图象.

6

9. (1)最大温差 20℃;

π 3π (2)y=10sin( x+ )+20,x∈[6,14].

8

4

第7课
【知识在线】 1. C 【训练反馈】 1. B 1 7. + 2 2 2. D 2.

三角函数的最值
1 2 3 2 9 4. [0, ] 4 7

2 , -2 ,

,-

3. 2,-2

3. A

4. A

5. -1≤m≤

3

6.

3 4

8.a=2, b=-2

9.-2<a<-1

第8课
【知识在线】 1.钝角三角形 【训练反馈】 1. A 2. A 3. B 4. 12 13 2. 5( 6 + 2 )

解斜三角形
3. A 4. C 5. C

5.

π 6

6.

21 或 61

7.

π 3

8. 设∠AOB=θ ,θ =

5π 5 3 时,S 最大值 =2+ 6 4 单元练习(三角函数)

一、选择题 1.B 2.C 3.B 二、填空题 13.— 2 2

4.B

5.C

6.B 7.A 8.B 9.C 3 4 3 3

10.B

11.A 12.B

14.—

3

15.-

16. (3) (1)

三、解答题 17. 4—3 3 10 1 18. sinα = ,tanα = 2 19.当 a<-4 时,m=-a;当-4≤a≤4 21. (1)y=3sin π t+10; 6

时,m=

a2 a - +1;当 a>4 时,m=0 16 2

π 20.α +β = 4 22. 1<y≤ 2

(2)1 时至 5 时,13 时至 17 时

25


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