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对勾函数图象性质


对勾函数图象性质
对勾函数 : 数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数 f(x)=ax+



的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总 喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。 ( 一 ) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例

函数的一般函数 ,形如 f(x)=ax+ (接下来写作


f(x)=ax+b/x ) 。 当 a≠0 , b≠0 时, f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “ 叠加 ” 而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当 a ,b 同号时,f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y = ax 与双曲线 y= b/x 构成,形状 酷似双勾。故称 “ 对勾函数 ” ,也称 “ 勾勾函数 ” 、 “ 海鸥函数 ” 。如下图所示:

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab 同号) 当 a , b 异号时, f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作 是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。 )

对勾函数的图像(ab 异号)

一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的 一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定 a>0 ,b>0 。之后当 a<0,b<0 时,根据对称就很 容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到: 当 x>0 时,f x = ax + ≥ 2 ab 当且尽当 ax = 时取等号 ,此时 x =
x x b b b b b a


b a

当 x<0 时,f x = ax + x ≤ ?2 ab 当且尽当 ax = x 时取等号 ,此时 x = ? 即对勾函数的定点坐标: A:
b a



, 2 ab 、B: ?

b a

, ?2 ab

(三) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值 域等性质。 定义域: x x ≠ 0 ; 值域:{y|y > 2 ab或 y < ?2 ab} (四) 对勾函数的单调性 y

O y=ax

X

b 对于函数 f x = ax + : x 单调增区间: ?∞, ? (五) 对勾函数的渐进线 对于函数 f x = ax + ,它的渐进线有两条:
x b

b ∪ a

b b b , +∞);单调减区间: ? , 0 ∪ 0, a a a

由图像我们不难得到:

y = ax; y = 0; :对勾函数在定义域内是奇函数,

(六) 对勾函数的奇偶性 二、类对勾函数性质探讨 函数 y ? ax ?

b ,在 a ? 0或b ? 0时 为简单的单调函数,不予讨论。 x

在 a ? 0且b ? 0时 有 如 下 几 种 情 况 : (1) a ? 0, b ? 0

(2) a ? 0, b ? 0

(3)

a ? 0, b ? 0
设 y1 ? ax , y 2 ?

(4) a ? 0, b ? 0

b ,则 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ,其定义域为 ?x | x ? R, 且x ? 0? x x
b 在 (??,0), (0,??) 上分别单调递增。 x

(1) a ? 0, b ? 0 时, y1 ? ax , y 2 ?

故 y ? y1 ? y2 ? ax ? (2) a ? 0, b ? 0 时, y1 ? ax , y 2 ?

b 在 (??,0), (0,??) 为单调递增函数。 x

b 在 (??,0), (0,??) 上分别单调递减。 x b 故 y ? y1 ? y2 ? ax ? 在 (??,0), (0,??) 为单调递减函数 x

(3) a ? 0, b ? 0 图像略

1? 当 x ? 0 时,y1 ? ax ? 0 ,y 2 ?

b b ? 0 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ? 2 ax ? b ? 2 ab 。 当且仅当 ax ? , x x x x

即x?

b 取等号。 a

2? 当 x ? 0 时

y1 ? ax ? 0 , y 2 ?

b ?0 x

y ? y1 ? y2 ? ax ?

b ?b b ? ?(?ax ? ) ? ?2 ax ? ? ?2 ab ,当 x x x

且仅当 ax ?

b ,即 x ? ? b (因为 x ? 0 ,故舍掉 x ? b )取等号。 x a a

4) a ? 0, b ? 0

1? 当 x ? 0 时, y1 ? ax ? 0 , y2 ? b ? 0
x

y ? y1 ? y2 ? ax ?

b ?b b ? ?(?ax ? ) ? ?2 ax ? ? ?2 ab 。当且仅 x x x

当 ax ?

b ,即 x ? b 取等号。 x a

2? 当 x ? 0 时

y1 ? ax ? 0 , y 2 ?

b ? 0 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ?? 2 ax ? b ? 2 ab , 当 且 仅 当 x x x

ax ?

b b ,即 x ? ? 取等号。 x a

四、对勾函数练习: 1.若 x>1.求 y ? x ? 2. 若 x>1. 求 y ?

1 的最小值 x ?1

x 2 ? 2x ? 2 的最小值 x ?1
x2 ? x ?1 的最小值 x ?1
2 的最小值 x

3. 若 x>1. 求 y ?

4. 若 x>0. 求 y ? 3x ?

5.已知函数 y ?
(1) 求 a ?

x 2 ? 2x ? a ( x ? [1,??)) x

1 时,求 f ( x)的最小值 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围

? 6.: 方程 sin x-asinx+4=0 在[ 0 , 2
2

]内有解 ,则 a 的取值范围是__________

7. 函数 y ? x ?

10 10 ? 2 ? x ? 7 ? 的最小值为____________;函数 y ? x ? ? 2 ? x ? 7 ? 的最 x x 4 的最大值为 x

大值为_________。 8.函数 y ? 2 ? 3 x ? 。

9、若 ? 4 ? x ? 1 ,则 y ? 10.函数 y ?

x 2 ? 2x ? 2 的最值是 2x ? 2



9 ? 4 sin 2 x 的最小值是 。 2 sin x t t?2 ? a ? 2 在 t ? ?0,2? 上恒成立,则 a 的取值范围是 11.若不等式 2 t ?9 t 1 16 x ?x ? 1? 的最值。 12. 求函数 f ? x ? ? x ? ? 2 x x ?1



1)时,求f ( x) ? 13. 当x ? (0,
2 14. 求f ( x) ? x ? x ?

2x 的值域 4x ?1

1 的值域 x ? x?3
2


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