对勾函数图象性质

对勾函数图象性质
对勾函数 : 数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数 f(x)=ax+



的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总 喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 ( 一 ) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数 ，形如 f(x)=ax+ （接下来写作


f(x)=ax+b/x ） 。 当 a≠0 ， b≠0 时， f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “ 叠加 ” 而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当 a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y ＝ ax 与双曲线 y= b/x 构成，形状 酷似双勾。故称 “ 对勾函数 ” ，也称 “ 勾勾函数 ” 、 “ 海鸥函数 ” 。如下图所示：

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 当 a ， b 异号时， f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作 是两个函数“叠加”而成。 （请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。 ）

对勾函数的图像（ab 异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的 一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定 a>0 ，b>0 。之后当 a<0，b<0 时，根据对称就很 容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当 x>0 时，f x = ax + ≥ 2 ab 当且尽当 ax = 时取等号 ，此时 x =
x x b b b b b a

。
b a

当 x<0 时，f x = ax + x ≤ ?2 ab 当且尽当 ax = x 时取等号 ，此时 x = ? 即对勾函数的定点坐标： A:
b a

。

, 2 ab 、B: ?

b a

, ?2 ab

(三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值 域等性质。 定义域： x x ≠ 0 ； 值域：{y|y > 2 ab或 y < ?2 ab} (四) 对勾函数的单调性 y

O y=ax

X

b 对于函数 f x = ax + ： x 单调增区间： ?∞, ? (五) 对勾函数的渐进线 对于函数 f x = ax + ，它的渐进线有两条：
x b

b ∪ a

b b b , +∞)；单调减区间： ? , 0 ∪ 0, a a a

由图像我们不难得到：

y = ax； y = 0； ：对勾函数在定义域内是奇函数，

(六) 对勾函数的奇偶性 二、类对勾函数性质探讨 函数 y ? ax ?

b ，在 a ? 0或b ? 0时 为简单的单调函数，不予讨论。 x

在 a ? 0且b ? 0时 有 如 下 几 种 情 况 ： (1) a ? 0, b ? 0

(2) a ? 0, b ? 0

(3)

a ? 0, b ? 0
设 y1 ? ax ， y 2 ?

(4) a ? 0, b ? 0

b ，则 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ，其定义域为 ?x | x ? R, 且x ? 0? x x
b 在 (??,0), (0,??) 上分别单调递增。 x

(1) a ? 0, b ? 0 时， y1 ? ax ， y 2 ?

故 y ? y1 ? y2 ? ax ? (2) a ? 0, b ? 0 时， y1 ? ax ， y 2 ?

b 在 (??,0), (0,??) 为单调递增函数。 x

b 在 (??,0), (0,??) 上分别单调递减。 x b 故 y ? y1 ? y2 ? ax ? 在 (??,0), (0,??) 为单调递减函数 x

(3) a ? 0, b ? 0 图像略

1? 当 x ? 0 时，y1 ? ax ? 0 ，y 2 ?

b b ? 0 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ? 2 ax ? b ? 2 ab 。 当且仅当 ax ? ， x x x x

即x?

b 取等号。 a

2? 当 x ? 0 时

y1 ? ax ? 0 ， y 2 ?

b ?0 x

y ? y1 ? y2 ? ax ?

b ?b b ? ?(?ax ? ) ? ?2 ax ? ? ?2 ab ，当 x x x

且仅当 ax ?

b ，即 x ? ? b （因为 x ? 0 ，故舍掉 x ? b ）取等号。 x a a

4) a ? 0, b ? 0

1? 当 x ? 0 时， y1 ? ax ? 0 ， y2 ? b ? 0
x

y ? y1 ? y2 ? ax ?

b ?b b ? ?(?ax ? ) ? ?2 ax ? ? ?2 ab 。当且仅 x x x

当 ax ?

b ，即 x ? b 取等号。 x a

2? 当 x ? 0 时

y1 ? ax ? 0 ， y 2 ?

b ? 0 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ?? 2 ax ? b ? 2 ab ， 当 且 仅 当 x x x

ax ?

b b ，即 x ? ? 取等号。 x a

四、对勾函数练习： 1．若 x>1.求 y ? x ? 2. 若 x>1. 求 y ?

1 的最小值 x ?1

x 2 ? 2x ? 2 的最小值 x ?1
x2 ? x ?1 的最小值 x ?1
2 的最小值 x

3. 若 x>1. 求 y ?

4. 若 x>0. 求 y ? 3x ?

5.已知函数 y ?
（1） 求 a ?

x 2 ? 2x ? a ( x ? [1,??)) x

1 时，求 f ( x)的最小值 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围

? 6.: 方程 sin x－asinx+4=0 在[ 0 , 2
2

]内有解 ，则 a 的取值范围是__________

7. 函数 y ? x ?

10 10 ? 2 ? x ? 7 ? 的最小值为____________；函数 y ? x ? ? 2 ? x ? 7 ? 的最 x x 4 的最大值为 x

大值为_________。 8.函数 y ? 2 ? 3 x ? 。

9、若 ? 4 ? x ? 1 ，则 y ? 10.函数 y ?

x 2 ? 2x ? 2 的最值是 2x ? 2

。

9 ? 4 sin 2 x 的最小值是 。 2 sin x t t?2 ? a ? 2 在 t ? ?0,2? 上恒成立，则 a 的取值范围是 11.若不等式 2 t ?9 t 1 16 x ?x ? 1? 的最值。 12. 求函数 f ? x ? ? x ? ? 2 x x ?1

。

1)时，求f ( x) ? 13. 当x ? (0，
2 14. 求f ( x) ? x ? x ?

2x 的值域 4x ?1

1 的值域 x ? x?3
2