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直线的参数方程


思考:经过点 M 0 ( x0 , y0 ), 倾斜角为 ? (? ?
的直线l的普通方程为:

?
2

)

y ? y0 ? tan? ? ( x ? x0 )
M 0M ?
如图,在直线l上任取一点M(x,y),则 y

设 e 是直线l的单位方向向量

, 则

( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 )

e

M(x,y)

o

?

M 0 ( x0 , y0 ),
x

e ? (cos? , sin ? ), ? ? ?0, ? ?

又 ? M 0 M // e
? 存在 惟一 实数 t ? R, 使 得 M 0 M ? t e



? x ? x0 ? t cos ? ? ? y ? y0 ? t sin ?

(t为 参 数 , t ? R)

一、直线的参数方程

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数, t ? R) ? ? y ? y0 ? t sin ?
思考:由 M 0 M ? t e ,你能得到直线l的参数 方程中参数t的几何意义吗?

? e ? 1, M 0 M ? t e ? M 0M ? t ? e

? t

所以,参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点 M0的距离

思考1: 当0 ? ?

? ?时, sin ?的范围是什么?

e ? (cos? , sin ? )的方向是什么?
所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上
思考2:我们知道,t的范围是全体实数,那么t 的符号对向量 M M 的方向有什么影响?
0

(1)当t ? 0时,M 0 M与e的方向相同,即方向向 上 (2)当t ? 0时, M 0 M与e的方向相反,即方向向 下 (3)当t ? 0时,点M与点M 0重合

? x ? 3 ? t sin200 ( 1 ) 直 线? ( t为 参 数 ) 的 倾 斜 角 是 ( B) 0 ? y ? t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600

(2 )直线 x ? y ?1 ?

? 2 x ? 1? t ? ? 2 (t为参数) ? ?y? 2t 0的 一 个 参 数 方 程 是? 。 2 ?

? x ? 5 ? 3t (3)设直线的参数方程为 ? (t为参 数 , t ? R) ? y ? 10 ? 4t
求直线的直角坐标方程。

二、典例解析
例1:已知直线l:x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 到A, B两点的距离之积。
2

交于A, B两点,求线段AB的长和点M (?1,2)

思考:直线l与曲线y=f(x)交于M1,M2两点, 对应的参数分别为t1,t2. (1)曲线的弦M1M2的长是多少?
(2)线段M1M2的中点P对应的参数t的值是 多少?

( 1 ) M 1 M 2 ? t1 ? t 2
t1 ? t 2 ( 2 )t? 2

x y 例2 : 经过点M (2,1)作直线l,交椭圆 ? ?1 16 4 于A, B两点。如果点 M恰好为线段AB的中点,

2

2

求l的方程

例3:一条直线过P0(3,4),倾斜角为 ? ?

?
4

求此直线与直线3x+2y=6的交点M与P0之间的 距离

x 2 例4:已知椭圆方程为: ? y ? 1, 直线l过 9

2

3 点A(1,0),当l交椭圆于B,C两点,且 AB ? AC 2 求l的倾斜角的正切值。

例5:如图,AB,CD是中心为点O的椭圆的两 条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴 的夹角分别为∠1,∠2, ∠1=∠2

求证: PA ? PB ? PC ? PD y
C
2

B O P A
1

x

D

例6:在抛物线y2=2px中,若两条焦半径在 一条直线上,且焦半径的长分别为m,n, 求证: 1 1

? 为定值。 m n B
n m

O A

F x

(3)设直线的参数方程为

? x ? 5 ? 3t (t为参 数 , t ? R) ? ? y ? 10 ? 4t
化为参数方程的标准形式


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