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10-11-1概率统计考题(经管题目及答案)


2010~2011 第一学期《概率论与数理统计》考试试卷
课程性质:必修 考试时间:2010 年 12 月 1 日 0 学部 使用范围:经管类本科 考试方式:闭卷(120 分钟) 0

班级

姓名

学号

成绩

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)
1.对于事件 A, B ,下列命题正确的是( D )

(A) 如果 A, B 互不相容,则 A, B 也互不相容

(B ) 如果 A ? B ,则 A ? B (C ) 如果 A ? B ,则 A ? B ( D ) 如果 A, B 对立,则 A, B 也对立
2.设 A, B 为随机事件,且 P ( B ) > 0 ,

P ( A B ) = 1 ,则必有( A

)

( A) P ( A ∪ B ) = P ( A)

( B) P ( A ∪ B ) = P ( B )

(C ) P ( A ∪ B ) > P ( A )

( D) P ( A ∪ B ) > P ( B )
B )

3.若随机变量 X 的分布函数为 F (x) ,则 P ( a ≤ X ≤ b) = (

( A) F (b) ? F (a )
(C ) F (b ) ? F ( a ) ? P ( X = a )

( B) F (b) ? F (a ) + P ( X = a)
( D ) F (b ) ? F ( a ) + P ( X = b )
1 3

4.设随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布, Y ~ B (8, ) ,且 X , Y 相互独立, 则 D ( X ? 3Y ? 4) = ( C )

( A) ? 13

(B ) 15

(C ) 19

(D) 23

5. 总体 X ~ N ( ? , σ 2 ) , X 1 , X 2 , X 3 为取自总体 X 的简单随机样本,在以下总体均值 ? 的四个无 偏估计量中,最有效的是( D ∧ 1 1 1 ( A) ?1 = X1 + X 2 + X 3 2 3 6 )

( B ) ?2 =



1 1 X1 + X 3 2 2

1

(C ) ?3 =



1 3 1 X1 + X 2 + X 3 5 5 5

( D) ?4 =



1 1 1 X1 + X 2 + X 3 4 2 4
2

6. 设 X 1 , X 2 ,L , X n ( n ≥ 2 ) 为来自总体 N ( 0,1) 的简单随机样本, S 为样本方差,则下面结论正 确的是( A )

( A) (n ? 1) S 2 ~ χ 2 ( n ? 1) (C ) nS 2 ~ χ 2 ( n ? 1)

( B) (n ? 1) S 2 ~ χ 2 ( n ) ( D) nS 2 ~ χ 2 ( n )

二、填空题(每题 3 分,共 30 分)
1. A, B 相互独立且都不发生的概率为 设 率相等,则 P ( A) = __2/3__. 2.在时间 [0, T ] 内通过某交通路口的汽车数 X 服从泊松分布,且已知 3P ( X = 3) = P ( X = 4) ,则 参数 λ = 12 . 3.设随机变量 X 的概率分布为

1 , A 发生而 B 不发生的概率与 B 发生而 A 不发生的概 又 9

F ( x) 为其分布函数,则 F (3) = _53/56_____.
4. 设随机变量 X ~ B ( 2, p ) , Y ~ B (3, p ) ,若 P ( X ≥ 1) = 5. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) = ?

5 ,则 P (Y ≥ 1) = _19/27__ 9

? 24 x 2 , 0 ≤ x ≤ c, ,则常数 c =__1/2__ 0, 其他, ?

6.设随机变量 X ~ N (1, 4 ) , Φ ( x ) 为标准正态分布函数,已知Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772, 则 P ( X ≤ 3) = _0.8185__. 7.设 X , Y 为随机变量,已知协方差 Cov ( X , Y ) = 3 ,则 Cov ( 2 X ,3Y ) = __18___ 8.设随机变量 X ~ E ( 0.5 ) , ,用切比雪夫不等式估计 P ( X ? 2 ≥ 3) ≤

4 9

.

2

9. 设 X 1 , X 2 , X 3 为总体 X 的样本, T = 则 k = 1/3

1 1 X 1 + X 2 + kX 3 ,已知 T 是 EX 的无偏估计, 2 6

10.设 X 1 , X 2 , L , X n 是来自正态总体 N ( 3, 4 ) , 的样本,则

1 n ∑ ( X i ? 3) 2 ~ χ 2 ( n ) .(标明参数) 4 i =1

三、计算题(共 52 分)
1. (10 分)某商店有 100 台相同型号的冰箱待售,其中 60 台是甲厂生产的,25 台是乙厂生产的, 15 台是丙厂生产的,已知这三个厂生产的冰箱质量不同,它们的不合格率依次为 0.1、0.4、0.2, 现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台,试求: (1)该顾客取到一台合格冰箱的概率; (2)顾客开箱测试后发现冰箱不合格,试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大? 解:以 A 表示冰箱为合格品,Bi 表示“第 i 厂生产” ,则 (1) P ( A ) = P ( AB1 ) + P ( AB2 ) + P ( AB3 )

= P ( B1 ) P ( A B1 ) + P ( B2 ) P ( A B2 ) + P ( B3 ) P ( A B3 )
= 0.6 × 0.9 + 0.25 × 0.6 + 0.15 × 0.8 = 0.81
(2) P B1 A =

(

( ) = P ( B ) P ( A B ) = 0.6 × 0.1 = 6 ) PA 1 ? 0.81 19 1 ? P ( A) ( )
P AB1
1 1

2. (10 分)设随机变量 X 的概率密度为
?ax + b, f ( x) = ? ? 0, 且 EX = 0 < x < 1, 其他,

7 .求:(1)常数 a, b ;(2) DX 12

解: (1)由归一性可得: 1 =
1



+∞

?∞

f ( x )dx = ∫ ( ax + b ) dx =
1 0

a +b, 2

EX = ∫ x ( ax + b )dx =
0

a b 7 + = 3 2 12

解得

a = 1, b =

1 2

3

(2) E X

( )=∫
2

1? 5 ? x 2 ? x + ?dx = 0 2? 12 ?
1

11 2 ∴ D ( X ) = E ( X 2 ) ? ?E ( X ) ? = ? ? 144
3. (10 分)设二维随机向量 ( X , Y ) 的联合分布列为:

X
0 1 2

Y
1 2 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2

a

试求: (1) a 的值; (2) X 与 Y 是否独立?为什么?(3) E ( X + Y ) 解: (1)由归一性可得: 0.7 + a = 1, (2)至少存在

∴ a = 0.3

p01 = 0.1 ≠ p0 p 1 = 0.4 × 0.4

故 X 与 Y 不是相互独立的 (3) E ( X ) = 0 × 0.4 + 1× 0.3 + 2 × 0.3 = 0.9 , E (Y ) = 1× 0.4 + 2 × 0.6 = 1.6

∴ E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) = 2.5
4. (10 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?α x, 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 f ( x, y ) = ? 其他 ? 0,
求(1)

α 的值;

(2) 计算 P ( X + Y ≤ 1) .

解: (1)由归一性可得: 1 =

∫ ∫
?∞

+∞

+∞

?∞

f ( x, y )dxdy =

0 ≤ x ≤ y ≤1 1

∫∫

α xdxdy
∴α = 6

= ∫ dx ∫ α xdy =
0
x

1

α
6

(2) P ( X + Y ≤ 1) =



1 2 0

dx ∫

1? x

x

6 xdy =

1 4

4

5. (12 分)设总体 X 的概率密度为

?θ x ? (θ +1) , x > 1; f ( x;θ ) = ? 其他, ? 0,
其中 θ (θ > 1) 是未知参数, X 1 , X 2 , L , X n 是来自该总体的样本,试求 θ 的矩估计和最大似然估计.

解: (1) 令

X = EX = ∫

+∞

1

x ?θ x

? (θ +1)

dx =

θ θ ?1

解得 θ 的矩估计为

θ?=
n

X X ?1
n i =1 n

(2)似然函数

L (θ ) =

∏ θ xi ?(θ +1) = θ n ∏ xi ?(θ +1)
i =1 i =1

对数似然函数

ln L(θ ) = n ln θ ? (θ + 1) ∑ ln ( xi )



d ln L(θ ) n n = ? ∑ ln ( xi ) = 0 dθ θ i =1

解得 θ 的极大似然估计为

θ?=

n

∑ ln ( x )
i =1 i

n

5


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