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数据分析与软件应用 第五讲 方差分析


第五章 方差分析
第一节 第二节 第三节 第四节 方差分析的基本问题 单因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析

5.1 方差分析的基本原理
意义:是英国统计学家费歇(R.A.Fisher)20世纪20年代提出,
某变量受多种不同因素的不同程度的影响,哪些因素对变量有显 著影响,通过方差分析来解决。

基本思路:通过实验或调查,取得不同因素不同水平条件下

被考察的随机变量(因变量)的样本;利用样本构造统计量,检验 不同条件下的因变即几个不同的总体的均值是否相等,如果均值 相等的假设被接受,说明因素及水平对因变量的影响不显著。

方差分析实际上是通过多个总体均值相等的假设检 验,来推断变量间因果联系的统计方法

5.1 方差分析的基本原理
核心问题
从数据差异角度看:
观测变量的数据差异=控制因素造成+随机因素造成
影响某农作物亩产量的因素(品种、施肥量、气候等) 影响推销某种商品的推销额(不同的推销策略、价格、包 装方式、推销人员的形象等)

方差分析正是要分析观测变量的变动是否主要 是由控制因素造成还是由随机因素造成的,以 及控制变量的各个水平是如何对观测变量造成 影响的。

基本原理
因素(Factor):方差分析的对象 因素水平(Factor level):因素的内容 方差分析:针对一定因素(Factor)分析各总体的各 个因素水平(Factor level)是否有差异。 单因素方差分析(One-Way analysis of variance): 针对一个因素所进行的 双因素方差分析(Two-Way analysis of variance): 针对两个因素进行的。 多因数方差分析:涉及两个以上的因数。

观察值之间存在的差异主要来自于: ①组间方差:因素的不同水平造成的,主 要是系统性误差,也包括随机因素的影响, 用水平间方差来解释。如饮料的不同颜色 带来不同的销售量 ②组内方差:抽选样本的随机性而产生,是 随机因素的影响,通过水平内方差来显示。 如相同颜色饮料在不同商场销售量不同。

如果这两个方差的比值近似为1,方差 分析的结果可以得到总体均值相同。如果 这两个方差的比值偏离1,方差分析的结果 可以得到总体均值不相同。因此方差分析 就是通过不同方差的比较,做出接受或拒 绝原假设的判断。

F分布 分布 方差分析中所用到的概率分布是 F 分布, 该分布是为纪念著名统计学家R.A.Fisher (1890-1962)而得名。因素水平间方 差和因素水平内方差之比也服从 分布。
F
因素水平间方差 F= 因素水平内方差

F分布 分布

F分布的特征: ①F是大于零的正数 ②F分布正偏态 F ③F分布是一连续的概率分布

方差分析的前提条件
因素的每个水平是可控的且是独立同分 布的正态总体 实验或观察结果可看作是相互独立地抽 自各个总体的简单随机样本

方差分析的步骤
建立方差分析某型 检查方差分析的前提条件是否成立 建立检验的原假设和备释假设 根据样本值计算检验统计量 作出方差分析表 跟据F检验结果作出推断

5.2 方差分析的内容
单因素试验资料方差分析 多因素试验资料方差分析 协方差分析

5.2.1 单因素方差分析
基本思想: 单因素方差分析是只针对一个因 素进行,用来研究一个控制变量的不同水平 是否对观测变量产生显著影响,旨在分析该 因素对样本的观察值是否产生影响,各因素 水平的样本容量大小可以一致,也可以不一 致。

举例:5个商店以各自的方式销售新型手表,记下连续4天各
商店的销售量,考察销售方式对销售量有无显著影响

售出 销售 套数 方式A1 试验号 1 23 2 19 3 21 4 13

A2 24 25 28 27

A3 20 18 19 15

A4 22 25 26 23

A5 24 23 26 27

分析思路
明确观测变量和控制变量 剖析观测变量的方差 比较观测变量总离差平方和中各部分的比 例 在单因素方差分析中,有三个平方和(SS): 总离差平方和SST、因素水平间离差平方和 研究SSA、因素水平内离差平方和SSE。

SST = SSA + SSE

步骤
单因素方差分析一般分为四步: (1)建立原假设和备择假设; ( H0控制变量不同水平下观测变量各总体的均值无显
著差异)

(2)选择检验统计量,计算F和P; (3)给定显著性水平,确定临界值; (4)决策。

应用举例
目的
检验某一个控制因素的改变是否会给观察变 量带来显著影响. 例如:
考察不同肥料对某农作物亩产量是否有显著差异. 考察不同学历是否对工资收入产生显著影响.

例“广告地区与销售额.sav” 步骤
【Analyze】 【Compare Means】 【One-way ANOVA】

单因素方差分析的进一步分析
Options方差齐性:对控制变量不同水平 下各观测变量总体方差是否相等进行分 析,同两独立样本t检验的方差检验 当方差分析检验的结果拒绝原假设时, 只能得到各水平间的样本均值不完全相 同的结论。如果要想明确是哪一个因素 水平的均值或哪几个同其他均值不相等, 就需要进行多重比较。

Post Hoc多重比较:进一步确定控制变量 的不同水平对观测变量的影响程度,哪个 水平的作用明显区别于其他水平

方差分析中的多重比较
目的
如果总体均值存在差异,F检验不能说明哪个水平造 成了观察变量的显著差异。多重比较将对每个水平的 均值逐对进行比较检验。

常用方法
LSD法
实际上就是t检验的变形,只是在变异和自由度的计算上利 用了整个样本信息。

Duncan氏新复极差测验法 Tukey氏固定极差测验法 Dunnett氏最小显著差数测验法

实际中对某个结果的影响因素可能有多 个而不是唯一的,这时就需要进行双因素甚 至于多因素方差分析。双因素方差分析的步 骤与单因素方差分析的步骤完全类似,但要 特别注意计算 F值时每个因素的自由度的确 定原则 。

5.2.2 多因素方差分析
控制因素的种类
固定效应因素(Fixed Factor):指的是该因素在样本中所有 可能的水平都出现了。 随机效应因素(Random Factor):该因素所有可能的取值在样 本中没有都出现,因此要用样本来推论总体情况,包括未出现 的水平。这不可避免的存在误差(即随机效应),需要估计该 误差的大小,因此被称为随机因素。

基本思路:
以两个控制变量的方差分析为例: SS总=SSA+SSB+SSAB+SSe 表示两个控制变量的交互影响,即:两个控制变量各水平之间搭 配时对观察变量的影响.

交互作用的判断
A与B无交互作用 A1 A2 B1 2 5 B2 7 10 A与B有交互作用 A1 A2 B1 2 5 B2 7 3

5.2.3 协方差分析
目的: :
将无法或很难控制的因素作为协变量,在 , 排除协变量影响的条件下更精确地分析控 制变量对观察变量的影响。 。

5.2.3 协方差分析
应用实例 “生猪与饲料.sav”
肥料 A 观测值(Xij,Yij)

X1j Y1j

47 54 52 54 44 52

58 66 53 53 48 58

53 63 64 67 46 54

46 51 58 62 50 61

49 56 59 62 59 70

56 66 61 63 57 64

54 61 63 64 48 69

44 50 66 69 53 66

B

X2j Y2j
X3j Y3j

C

5.2.3 协方差分析
基本思路:
协变量是数值型的;与观测变量的线性关系 在各水平均成立,且斜率大致相同。 SS总= SS协+SSA+SSB+SSAB+SSe

步骤
【Analyze】 【General Linear Model】 【Univariate】 注意:在弹出的对话框中将协变量选入【Covariate(s)】栏


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