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GeoGebra软件环境中探究过定点的动圆与曲线相切问题


教 育 技 术 
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三 、拓展研 究 ,挖掘美妙 
师 :我 们 研 究 了过 定 点 的 动 圆与 定 圆 相 切 问题 ,   那 么 是 不 是 还 可 以 研 究 过 定 点 的 动 圆 与 其 他 图 形 相 
切 呢?  

正一 负时表 示双 曲线 )  

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生  :其他图形可以是直线 、椭圆.  
生 :还 有抛 物线 、双 曲线 .  
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师 :借助功能强大 的 G e o G e b r a 软件 ,我们不妨一 
起 做个 探 究 .  


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师: ( 演示 与定 直线 相切 的情 形)设 定 直线 为 Z ,相  比较 与定 圆相 切 而言 ,与定 直线 相切 的构造 较 为简 单 ,   点  应 为 胎 的垂 直 平 分 线 与 Z 的 过 点 P的垂 线 的交  点 ( 如图8 ) . 追 踪点  构 造 轨迹 后 ,可 以发现 点  的 
轨迹 应 为抛 物线 .  

图 9  

师 :( 演 示操作 ) 当动 圆与椭 圆相切 时 ,拖 动 点  从椭 圆外 向椭 圆 内变化 ,轨 迹 呈现 图 1 0中箭头 所示 的 
规律 变化 过程 .  
b= 1 . 6  

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生  :对 了 ,到定 点 、定 直线 距 离相 等 的点 的 轨迹 
是抛 物线 .  

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二  

师 :圆 与直 线 、圆 相 切 的构 造 比较 简 单 , 圆与 圆  锥 曲线相 切则 要 复杂些 .   生 :教 材 中好像 没 有定 义 过 ,我 觉得 应该 是 只 有 


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图 1 0  

个交 点 .  

生。 :这个 动 态过 程太 美 了 ,有点 像 生物 中细胞 分 

师 :怎样 才能 保 证 圆与 圆锥 曲线 只有一 个 交 点 呢?   裂 的过 程 .   是不 是 就是 让两 者在 交点 处 有 唯一 的公切 线 ?   生 :还 有点 像 海 洋 中各 种 形 态 的鱼 的模 样 ,不 ,   构 造 解 析 :定 圆与 圆锥 曲线 相 切 应是 有 且 只有 一  应该 更像 美 丽 的水母 .   个 交 点 P,因此 只 需 要 构 造 出 圆锥 曲线 在 点 J p 处 的切  师 :与前 面 研 究 的动 圆与 定 圆相 切相 类 似 ,轨 迹  线 Z ,然 后 让 。  与f 相 切 于点 P即可 ( 如图 9 ) .此 一  的形状都取决于点 日相对 于圆锥曲线 的位置 ;如果改  功能的实现只需要借助 G e o G e b r a 软件本身提供 的绘制  变口 、b的值 ,将椭 圆变为双 曲线时 ,点  的轨迹呈  切线菜单命令 即可实现. 此外 ,运用 G e o G e b r a 软件 中   现 的则是 另 一番 景象 .   绘 制 圆锥 曲线 也 非 常 方 便 ,只 需在 “ 输 入栏 ” 内直 接  师 :我们研 究 了动 圆与直 线 、圆 、圆锥 曲线 相切 ,   以指令方式输入相应方程即可. 可以构造两个滑杆参数  是 不 是 还 可 以与 其 他 曲线 相 切 ? 我们 还 见 过 什 么样 的  b ,其参数范围设定 为[ 一 5 ,5 ] ,相应圆锥曲线方程  曲线 ?  


为  + # =1( 这样 当n 、b 均为正数时表示椭圆,一 

生 :其 他 函数 图象 怎么样 ?  

2 0 1 4.  ̄ - 第 9期

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教 育 技 术 
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师 :是 个 好 主 意 ,其 他 函数 图象 也 是 曲线 呀 ,我  们可 以沿 用 上述 方 式 来研 究 过 定 点 的 圆 与其 他 函数 图 
象相切.  

四、回顾梳理 ,欣 赏完 美 
师 :我 们 从 圆锥 曲线 的定 义 出 发 ,构 造 并 解 决 了  过 定 点 的动 圆 与 圆相 切 问 题 .以此 为 基 础 ,探 讨 了过 

师 :不 过 过 定点 的动 圆与 其他 函数 图象 相 切 以 前 
可没  现过 ,应该 怎么 定 义呢 ?  

定点 的动圆与直线 、圆锥 曲线 、其他函数 图象等 的相 
切 问题 ,计 算 机 为我 们 呈 现 了 闻所 未 闻 、见 所 未 见 的  千 姿 百 态 的 图象 .看 来 ,数 学 还 有 很 多未 知 领 域 值 得 

生 :这 还不 简单 ,还是 只有一个 交 点 呗.   生 :不 对 吧 ,直线 与其 他 函数 图象 相 切时 可 以不 
止一 个 交点 的 呀.  

我们 以后去探索 、去求真啊 . 当然 ,在探索过程 中我 
们 还 共 同探讨 了 圆与 圆锥 曲线相 切 、 圆与其 他 函数 图  象 相切 的定 义 问 题 .从 直 线 与 圆锥 曲线 、直 线 与 其 他  函数 图象 相切 的 比较 中得 到 启发 ,最 终 得 出圆 与 曲线 
相 切 可 以定义 为 “ 它 们在 交点 处有 公切 线 ” ,这 也 是这  节课 中的大 收获.  

师 :( 继 续启发 )在 解 析几何 中 ,直 线 与二 次 曲线  相 切 确 实是 以有 且 只有 一 个 交点 来 定 义 的 ,但 直 线 与  其 他 函 数 图象 相 切 就 不 一 样 了 .由导 数 的 概 念 可 知 ,  

直线与其他 函数图象相切是割线无 限逼近的结果 ,换 
言之 ,直 线 与其 他 函数 图象 相 切 只是 在 局 部 位 置有 且 
只有 一 个 交点 ,刚 才 我们 在 构 造 圆与 圆锥 曲线相 切 时  引进 的是 “ 在交 点处 有 唯一 的公切 线 ” ,那 么 …… 

张 奠宙 先 生 曾经 说 过 ,在 数学 课 堂 教 学 中 ,需要  有 目的地 展 现 和欣 赏 数 学美 :大 手笔 的数 学 创 造 ,正  如一幅 “ 泼墨画” ;而 精 细 的数 学 技 巧 ,则 恰 似 一 幅  “ 工 笔 画”( 文[ 3 ] ) .本节 课原 先 只考虑探 究 一下 过定 点 

生 :一样 的 ,让 圆 与其 他 函数 图象在 交 点处 有公 
切 线 不就 可 以了,  

师 :很 好 ,我 们只要 作 出其他 函数 图象 的切线  的 动 圆 与定 圆相 切 问题 ,但 在 学 生要 求下 生 成 了另 一  大 自然 很 神 奇 ,数 学  ( G e o G e b r a 软件 中的构造切线命令对其他 函数 图象也  番 精 彩.如 学 生所 惊 叹 的那样 ,“ 更 美妙 ” . 笔 者 以 为 ,只有 创 设情 境让 学 生 体验 到 数 学  同样 适 用) ,可 以构 造 出类似 的实 验环境 .  
  师 :( 演示操 作) 如 图 1 1 ,呈 现 的是 动 圆分别 与 函  的美妙 ,才 能保 证他 们 对数 学产 生 持久 而深 入 的兴 趣 ; 数f(  ) =  , f( x ) =  , f(  ) =e x , f(  ) :I n  市 目 切时 点  而 把 数 学 的美 育 功能 真 正 落 实在 数 学 课 堂 上 ,一 方 面 
的轨迹 ( 当然还要取 决于 点  的相 对位置 ) .  

需 要 挖 掘与 开 发 数学 课 程 内容 ,让 学 生 在数 学 美 的熏  陶下 进 行课 堂 理 解 、体 验 与探 究 ;另 一 方 面 ,要 引 教  育 技术 进课 堂 ,构 建交 互式 、多样 化 的数学 学 习环 境 ,  

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让 学 生 有机 会 “ 看 以往 只 能 ‘ 想 象 ’的数 学 , ‘ 做 ’以  往 不 能做 的数 学 ” .G e o G e b r a软件 作 为一 种融 合 代数 与  6- 2 q I   ‘ 2、   1 0   1 4 1   几 何 的 动 态 数 学 软 件 ,在 本 节 课 的 教 学 过 程 中 可 谓  “ 功 不 可没 ” ,其 对 数 学 的表 征 优势 让 学 生 插 上 了想 象 
的翅 膀.  

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( 1 )  

( 2)  

参考 文献 :  

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1 6  



, 1 (   ) : 1 n  【  /   /  
/— 一  
r   2  4  6  8   1  

[ 1 ] 孙 浩 盛 .利 用 G e o G e b r a探 索 一 种 新 曲 线 [ J ] .  
数 学通讯 ,2 0 1 2 ( 1 0 ) :4 0 — 4 1 .  

[ 2 ]单埠. 普通高中 课程标准实验教科书? 数学 2 — 1  
( 选修 ) [ M] .南京 :江 苏教 育 出版 社 ,2 0 1 1 .  

厂 (  ) =e  


l O一 8 —6— 4 —2   2  4   6   8  

[ 3 ]张奠宙,木振武. 数 学美与课堂教 学 [ J ] . 数 

f  
( 3)  



: :  
( 4)  

学教 育 学报 ,2 0 0 1 ( 4 ) :1 - 3 .  

[ 4 ] 中华人 民共和 国教 育部. 普通 高 中数 学课 程 
标准 ( 实验 ) [ M] .北 京 :人 民教 育 出版 社 ,  
20 0 3.  

图 1 1  

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