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江苏省盐城市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题


2014/2015学年度第二学期高一年级期终考试
数 学 试

注意事项:   1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.   2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.    3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填 写在试卷及答题卡上. 参考公式:锥体体积公式: V ? Sh

r />1 3

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡 相应位置上. 1.函数 f ( x) ? sin 2x 的最小正周期为 ▲ .

2.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ▲ . ? ? ? ? 3.若向量 a = ?1, k ? , b = ?2, 2 ? ,且 a // b ,则 k 的值为





4.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为 6 ,则该正四棱锥的 体积为 ▲ . ▲ .

5.过点 A(1, 2) ,且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直的直线方程为

第4题 6.在等比数列 {an } 中, an ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 2 , S 4 ? S 2 ? 12 图 ,则 . ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 7.已知向量 AB ? BC , | AC |? 5 , | BC |? 3 ,则 AB ? AC ? 8.已知 cos ? ? .

a1 =





. ▲

5 , ? 是第四象限角,且 tan(? ? ? ) ? 1 ,则 tan ? 的值为 5

1

9.若直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 2 ? 0 交于 A 、 B 两点,则
?ABC 的面积为





10.设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给出下列四个命题 : ①若 ? ∥ ? , l ? ? ,则 l ? ? ; ③若 m ? ? , l ? m ,则 l ∥ ? ; 其中真命题的序号为 ▲ ②若 l ∥ m , l ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ; ④若 ? ? ? , l ? ? , m ? ? ,则 l ? m . . ▲ .

11.若等差数列 ?an ?满足 an ?1 ? an ? 4n ,则其前 n 项和 S n =

12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 3 , c ? 1 , uu u r uuu r sin 2 A ? sin C ,则 AB ? AC ? ▲ .

13.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,点 M ( x0 , y0 ) 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上一点,若圆 O 上存 在一点 N ,使得 ?NMO ?

?
6

,则 x0 的取值范围是





14.已知正方形 ABCD 的边长为1,直线 MN 过正方形的中心 O 交边 AD, BC 于 ???? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? M , N 两点,若点 P 满足 2OP ? ? OA ? (1 ? ? )OB ( ? ? R ),则 PM ? PN 的 最小值为 ▲ .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知函数 f ?x ? ? 2cos x ?sin x ? cos x ? , x ? R . (1)求函数 f ?x ? 的单调递增区间;
? ?? (2)求函数 f ?x ? 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

2

16.(本小题满分14分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAB ? 平面 ABC , PA ? PB ? PC , M 、
N 分别为 AB 、 BC 的中点.

P

(1)求证: AC ∥平面 PMN ; (2)求证: MN ? BC .

B M A
第16题图

N C

17.(本小题满分14分) 在边长为2的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , M ,N 分别为边 BC , CD 的中 点.
???? ? ??? ? ???? (1)用 AB 、 AD 表示 MN ; ???? ? ???? (2)求 AM ? AN 的值.

D

N

C

M A
第17题图

B

3

18.(本小题满分16分) 如图,为对某失事客轮 AB 进行有效援助,现分别在河岸 MN 选择两处 C 、

D 用强光柱进行辅助照明,其中 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面内.现测得
CD 长为 100 米, ?ADN ? 105? , ?BDM ? 30? , ?ACN ? 45? , ?BCM ? 60? . N

D

A

(1)求 ?BCD 的面积; (2)求船 AB 的长.
C

M
第18题图

B

19.(本小题满分16分)

4

在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 交 x 轴于点 A, B (点 A 在 x 轴的 负半轴上),点 M 为圆 O 上一动点, MA, MB 分别交直线 x ? 4 于 P, Q 两点 . (1)求 P, Q 两点纵坐标的乘积; (2)若点 C 的坐标为 (1, 0) ,连接 MC 交圆 O 于另一点 N . ①试判断点 C 与以 PQ 为直径的圆的位置关系,并说明理由; ②记 MA, NA 的斜率分别为 k1 , k2 ,试探究 k1k2 是否为定值?若是,请求 y 出该定值;若不是,请说明理由.

P

M

A

O

B

x

Q
第19题图

20.(本小题满分16分) 在数列 ?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? m ?m ? ?1? ,前 n 项和 S n 满足
1 1 1 ? ? (n ? 2) . S n an an ?1

(1)求 a3 (用 m 表示); (2)求证:数列 ?S n ?是等比数列; (3)若 m ? 1 ,现按如下方法构造项数为 2k 的有穷数列 ?bn ?:当

n ? 1, 2,? , k 时, bn ? a2 k ? n ?1 ;当 n ? k ? 1, k ? 2,? , 2k 时, bn ? an an ?1 ,记

5

数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ,试问:

T2 k 是否能取整数?若能,请求出 k 的 Tk

取值集合;若不能,请说明理由.

2014/2015学年度第二学期期终调研考试 高一数学参考答案 一、填空题:每小题5分,共计70分. 1. ? 7. 16 8. ?3
7 16

2.

?
3

3.1

4.

8 3

5. 2 x +y ? 4=0

6.1

9. 2 3

10.①

11. n 2

12.

1 2

13. ??2, 0?

14. ?

二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 15.解: (1)
f ?x ? ? 2cos x ?sin x ? cos x ? ? 2sin x cos x ? 2cos 2 x = sin 2 x ? cos 2 x ? 1

6

?? ? = 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ……………………………………………………………… 4? ?

………………4分 由 2k? ?
?
2 ? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,解得 k? ?
? ?

3? ? ? x ? k? ? 8 8

所以函数 f ?x ? 单调递增区间为 ? k? ? ……………7分 (2)当 0 ? x ?

3? ?? ,k? ? ? ?k ? Z ? …………………… 8 8?

?
2

时 0 ? 2x +

?
4

?

5? ? ? ? ,所以当 2x + = 即 x = 时,函数 4 4 2 8

f ?x ? 取得最大值 2+1 ,当 2x +

?
4

=

5? ? 即 x = 时,函数 f ?x ? 取得最小值 0 4 2

……………………………14分 16.证明:(1)证明:因为 M 、 N 分别为 AB 、 BC 的中点,所以 MN ∥
AC ……………3分

又因为 MN ? 平平 …………7分

PMN , AC ? 平平

PMN ,所以 AC ∥平面 PMN …………

(2)因为 PA ? PB ? PC , M 、 N 分别为 AB 、 BC 的中点,所以 PM ? AB , PN ? BC ,又因为平面 PAB ? 平面 ABC , PM ? 平平
平平平平 PAB ? ABC ? AB ,所以 PM ? 平平 PAB ,

ABC ……………………………

…………………………………………………10分 又 BC ? 平平
MN ? 平平 ABC ,所以 PM ? BC ,所以 BC ? 平平 PMN , PMN ,因为

所以 MN ? BC …………………………………………………………………… ………………14分 17.解:(1)由题,在 ?AMN 中, ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ??? ? ???? ? MN ? AN ? AM ? AD + DN ? AB ? BM

?

?

7

???? 1 ??? ? ? ??? ? 1 ???? ? 1 ???? 1 ??? ? ? AD ? AB ? ? AB ? AD ? ? AD ? AB …………………………………… 2 2 2 ? ? 2

… … … … 7 分
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? (2)在 ?ABM , AM ? AB ? BM ? AB ? BC ? AB ? AD ………………… 2 2

…………9分
???? ???? 1 ??? ? 同理,在 ?ADN , AN ? AD ? AB …………………………………………… 2

……………11分 ???? ? ???? ? ??? ? 1 ???? ? ? ???? 1 ??? ?? 所以 AM ? AN = ? AB ? AD ? ? AD ? AB ? 2 2 ? ?? ?
= ? 2 1 ???? 2 5 ??? ? ???? 1 1 ??? 1 5 1 13 AB + AD + AB ? AD = ? 4+ ? 4+ ? 2 ? 2 ? = …………………… 2 2 4 2 2 4 2 2

………14分 18.解:(1)由题, ?BDM ? 30? , ?ACN ? 45? , ?BCM ? 60? ,得

?CBD ? 30? ,所以 BC ? BD =100 ,所以
1 1 S ?BCD ? CB ? CD ? sin ?BCD = ? 100 ? 100 ? sin120? 2 2

? 2500 3 平方米…………………………………………………………………
………………7分 (2)由题, ?ADC ? 75? , ?ACD ? 45? , ?BDA ? 45? ,

8

在 ?ACD 中,

CD AD 100 AD ? ? ,即 ,所以 ? sin ?CAD sin ?ACD sin 60 sin 45?

AD ?

100 6 ……9分 3

在 ?BCD 中,

BD ? BC 2 ? CD 2 ? 2 BC ? CD cos ?BCD ? 1002 ? 1002 ? 2 ? 100 ? 100 ? cos120? =100 3
在 ?ABD 中, AB ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD ? BD cos ?BDA
100 100 100 ? ( 6) 2 ? 平平 100 3 2 ? 2 ? 6 ? 100 3 ? cos 45? = 15 , 3 3 3

即船长为

100 15 米……………………………………………………………… 3

……………16分 19.解:(1)由题意,解得 A(?2, 0) , B (2, 0) ,设 M ( x0 , y0 ) ,

? 直线 AM 的方程为 y ?

y0 6 y0 ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则 y ? , x0 ? 2 x0 ? 2

? P (4,

6 y0 2 y0 6 y0 2 y0 12 y 2 ) ,同理 Q(4, ) ,? yP yQ ? ? ? 2 0 ? ?12 … x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

…………5分
??? ? ??? ? 6 y0 2 y0 ) , CQ ? (3, ), (2)①? C (1, 0) ,由(1)知 CP ? (3, x0 ? 2 x0 ? 2 ??? ? ??? ? 6 y0 2 y0 ? ? ? ?3 ,即 ?PCQ ? ,? 点 C 在圆内………… ? CP ? CQ ? 9 ? x0 ? 2 x0 ? 2 2

………10分 ②设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,当直线 MN 的斜率不存在时, M (1, 3) ,
1 N (1, ? 3) ,此时 k1k2 ? ? ;当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程 3

为 y ? k ( x ? 1) , 代入圆方程 x 2 ? y 2 ? 4 ,整理得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 , 9

? x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ? 4 x x ? , ,又 1 2 1? k 2 1? k 2

k1k2 ?

y1 y2 k 2 ( x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1) , ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

k 2 ? 4 2k 2 ? ?1 2 2 1 2 1? k 1 ? k ? k1k2 ? k 2 ? ? ………………16分 2 k ? 4 4k 3 ? ?4 2 2 1? k 1? k

20.解:(1)令 n ? 2 ,则

1 1 1 ? ? ,将 a1 ? 1 , a2 ? m 代入,有 S 2 a2 a3

1 1 1 ? ? ,解得 a3 ? m 2 ? m ……………………………………………… 1 ? m m a3

………………………………………5分 (2)由
1 1 1 1 1 1 ? ? (n ? 2) ,得 ? ? ,化简得 S n an an ?1 S n S n ? S n ?1 S n ?1 ? S n

S n 2 ? S n ?1S n ?1 ,
又 S n ? 0 ,? 数列 ?S n ?是等比数列…………………………………………… ………………10分 (3)由 m ? 1 ,? S1 ? 1 , S 2 ? 2 ,又数列 ?S n ?是等比数列,? S n ? 2n ?1 ,

? an ? S n ? S n ?1 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ? 2 (n ? 2) ,当 n ? 1, 2,? , k 时, bn 依次为

a2 k , a2 k ?1 ,? , ak ?1 ,
? Tk ? S 2 k ? S k ? 22 k ?1 ? 2k ?1 ? 2k ?1 (2k ? 1) ………………………………………
…………13分 当 n ? k ? 1, k ? 2,? , 2k , bn ? an an ?1 ? 22 n ?3 ,?
T2 k ? Tk ? 22( k ?1) ?3 ?

T T ?T 1 ? 4k 22 k ?1 (4k ? 1) 2k (2k ? 1) ? ,? 2 k ? 2 k k ? 1 ? ?1, 1? 4 3 Tk Tk 3

要使

T2 k 2k ? 1 2k ? 1 取整数,需 为整数,令 ck ? , Tk 3 3

10

? ck ? 2 ? ck ?
, 又 c1 ? 1, c2 ?

2k ? 2 ? 1 2k ? 1 ? ? 2k ,? ck ? 2 , ck 要么都为整数,要么都不是整数 3 3

5 ,? 当且仅当 k 为奇数时, ck 为整数,即 k 的取值集合为 3
*

k k ? 2n ? 1, n ? Z ? ?
时,
T2 k 取整数.………………………………………………………………… Tk

………………16分

11


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