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2015年高考理数二轮复习讲练测 热点12 概率与统计相结合问题(讲)(解析版)]


概率与统计是高考考查的核心内容之一,在高考中一般有 1~2 个选择或者填空题,一 个解答题.选择或者填空题有针对性地考查概率或统计知识,主要是对基本概念和基本抽样 方法的考查,试题的难度一般不大;解答题考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命 题,重点考查抽样方法,频率分布直方图和回归分析或独立性检验,注意加强抽样后绘制频 率分布直方图,然后作统计分析或求概率的综合练习.

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1 古典概型与统计图表结合
概率与与统计图表相结合是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点,在历年的高考试题中 曾多次出现.需熟练掌握.我们主要要掌握频率分布直方图、茎叶图、频率分布密度曲线的 几何意义。 例 1 【2014 高考辽宁理第 18 题】一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售 量的频率分布直方图,如图所示:

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率; (2) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数, 求随机变量 X 的分布列, 期望 E ( X ) 及方差 D ( X ) . 思路分析: (Ⅰ)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个” , A2 表示事件“日销售量低于 50 个” ,B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量 低于 50 个”.因此 可求出 P ( A1 ) ? 0.6 , P ( A2 ) ? 0.15 ,利用事件的独立性即可求出 P ( B ) ; ( Ⅱ ) 由题意可知 X~B(3,0.6),所以即可列出分布列,求出期望为 E(X)和方差 D(X)的值.

2

古典概型与统计的数字特征相结合

概率与统计的数字特征相结合进行考查是概率统计考查得一个主要内容。主要要求我们 掌握统计的常见的数字特征的算法,比如中位数、平均数、众数、方差和标准差. 例 2 【2014 高考大纲理第 20 题】 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6 , 0.5 , 0.5 , 0.4 , 各人是 否需使用设备相互独立. (I)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (II)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 思路分析: (I)首先用字母表示有关的事件, Ai 表示事件:同一工作日乙、丙恰有 i 人需使用

设备, i ? 0,1, 2 ; B 表示事件:甲需使用设备; C 表示事件:丁需使用设备; D 表示事件: 同 一 工 作 日 至 少 3 人 需 使 用 设 备 . 将 D 分 解 为 互 斥 事 件 的 和 : (II) X 的 D ? A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C ,再利用互斥事件的概率加法公式计算 P ? D ? ; 可能取值为 0,1,2,3,4.先用分解策略求分别 P ? X ? i ?? i ? 0,1, 2,3, 4 ? ,最后利用离散 型随机变量数学期望公式求 EX 的值.

3

古典概型与独立性检验、回归方程相结合
古典概型与独立性检验、 回归方程相结合问题的考查往往主要是考查独立性检验、 回归方

程的求法和步骤。特别注意回归方程求解过程中公式的灵活应用和独立性检验求解过程中的 解题步骤。 例 3 【2014 高考全国 2 第 19 题】某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位: 千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

? ? ? y ? bt ,a

2

【答案】 (Ⅰ) $ (Ⅱ)在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐 y ? 0.5t ? 2.3 ; 年增加,平均每年增加 0.5 千元; 6.8千 元. 思路分析:本题第(Ⅰ)问,由给出的 $ b 与$ a 公式求出 $ b 与$ a ,从而求出回归直线方程;对第 (Ⅱ)问,由第(Ⅰ)问求出的回归直线方程进行预测,令 t ? 9 ,可得 y 的近似值.

4 古典概型与抽样方法结合
古典概型与抽样方法结合问题的考查往往主要是考查统计中的几种抽样方法。 特别注意辨 别系统抽样、简单随机抽样和分层抽样的适用范围和操作步骤。 例 4 海关对同时从 A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测, 从各地区进口此 种商品的数量(单位:件)如右表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件进行检测 地区

A

B

C

数量

50

150

100

(1)求这 6 件样品中来自 A, B, C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进一步检测,求这 2 件商品来自相同地 区的概率. 思路分析: (1)列出所有基本事件求出所求事件的概率 (2)确定抽样比,从而确定基本事件最终求得概率

复习中,一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法,在抓住通性通法 的同时,要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧.二要熟悉圆锥曲线的几何性质,重 点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略,提高运用函数与方程思想,向量与 导数的方法来解决问题的能力.最后要注意运算能力的培养。


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