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自感和互感和磁能


8-3
1、自感

自感 互感

如果回路几何形状、尺寸不变,周围 无铁磁性物质,理论证明和实验都可 以得出:

? ? ? ? 0 Idl ? r0 dB ? 4? r2
I Φ

?m ? I
L

? m ? LI
对于N 匝线圈:

自感系数, 单位:亨利(H) Ψ 磁通链数

? ? N? m ? LI

2、自感电动势
当回路中电流、回路形状及周围磁介质发生变化时,通过回路 自身的磁通量也发生变化,因而在回路中会产生感应电动势。 这种现象称为自感现象,相应的电动势称为自感电动势。

dI dL d? m d ( N? m ) d? d ( LI ) ? ?L ? I ? L ? ?N ?? ?? ?? dt dt dt dt dt dt
若回路几何形状、尺寸不变,周围介质的磁导率不变,则

2)自感电动势:

dL ?0 dt

自感电动势

ε

dI L= L dt

讨论:

dI 若: ? 0 则 : ? L ? 0, ? L与I方向相反 dt dI 1.若 : ? 0 则 : ? L ? 0, ? L与I方向相同 dt

总结:L 的存在总是阻碍电流的变化,所以自感电动势 反抗电流的变化,而不是反抗电流本身。

[例1] 试计算长直螺线管的自感。 已知:匝数N,横截面积S,长度l ,磁导率 μ

μ
l
自感的计算方法: 1、设线圈通以电流 I 2、求线圈的 ? m 或者

S

Ψ
求L

3、根据L的定义 Ψ = L I

设线圈通以电流 I,求
求线圈的

Ψ

Ψ B

H

? ? ?NI ? m ? ? B ? dS ? BS ? S S l ?N 2 I ? ? N? m ? S
L?

N H ? nI ? I l ?N B ? ?H ? I l

μ

I

S

l

?
I

?

?N
l
2

l

2

lS ? ?n V
2

[例2] 求无限长同轴传输线单位长度的自感. 已知:R1 解:设轴心通以向上的电流 I, 由轴壁流回
H? I 2?r
B ?

?Il R2 ? ln( ) 2? R1 ?m ?l R2 L? ? ln( ) I 2? R1 L ? R2 单位长度的自感为: Lo ? l ? 2? ln( R ) 1

? ? ?Il d? m ? B ? dS ? dr 2?r ? ? ?Il R dr ?m ? ? B ? dS ? 2? ?R r
2 1

?I 2?r

R1

R2

R2

I

I

l
rdr

[例3] 求一环形螺线管的自感。

R1 R2 h N ? ? H ? dl ? NI H ? 2?r ? NI ?l I NI ?NI R2 H? B? R1 2?r 2?r ? ?NI ? h d? m ? B ? dS ? hdr 2?r r dr R2 dr ?NIh R2 ?NIh ? m ? ? d? m ? ?R1 r ? 2? ln( R1 ) 2?
已知:

?N Ih R2 ? ?N 2 h R2 ? ? N? m ? ln( ) L ? ? ln( ) 2? R1 I 2? R1
2

二. 互感
因两个载流线圈中电流变化而

Φ 21 Φ 12 I 1
I2

在对方线圈中激起感应电动势 的现象称为互感应现象。
1) 互感系数(M)

若两回路几何形状、尺寸及相对位置不变, 周围无铁磁性物质。实验指出:

? 12 ? I 2

? 12 ? M12 I 2

? 21 ? I1

? 21 ? M 21I1

实验和理论都可以证明: M12

? M 21 ? M

2)互感电动势:

ε ε

d 12 = M d I 2 = Ψ 12 dt dt d 21 = M d I 1 = Ψ 21 dt dt

讨 ( A). 互感系数和两回路的几何形状、尺寸,它们 论 的相对位置,以及周围介质的磁导率有关。

( B). 互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互 影响程度。

[例1] 有两个直长螺线管,它们绕在同一个 圆柱面上 已知: 0 N 1 N 2 l S 求:互感系数M ?

解:给线圈N2通电流I2,求线圈N1的Ψ12

H 2 ? B2 ? ?12 ? ?12
N2 H 2 ? n2 I 2 ? I2 l

N1

N2 B2 ? ? 0 H 2 ? ? 0 I2 N2 l l ? ? N2 ? ? ? B ? dS ? B2 S ? ? 0 I2 S l ? 12 ? 0 N1 N 2 ?0 N1 N 2 I 2 S ? 12 ? N1? ? M? ? lS 2 l I2 l

μ0

S

M ? ? 0 n1n2V
? L1 ? ? n V
2 0 1

L2 ? ? n V
2 0 2

?M ?

L1 L2

在此例中,线圈1的磁通全部通过线圈2,称为无漏磁。

在一般情况下:

M ?K
称K 为耦合系数

L1 L2

0? K ?1

耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的 程度。由于在一般情况下都有漏磁通,所以耦合系数 小于一。

例 2. 如图所示,在磁导率为?的均匀无限大磁介质中, 一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为a,线圈共 N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数. 解: 设直导线中通有自下而上的电流I,它通过矩形 线圈的磁通链数为

? ? N? m

? N?

a ?b a

?I ?NIl a ? b ldr ? ln 2?r 2? a

? ? ? N ? B ? dS
s

dr

I

由互感系数定义可得互感为:

l

?Nl a ? b M? ? ln I 2? a
互感系数仅取决于两回路的形状, 相对位置,磁介质的磁导率.

?

a

b

一、自感磁能

11--4磁场的能量 L

考察在开关合上后的一段时间内,电路中的电流滋长过程: 由全电路欧姆定律

dI ?L ? ? ? IR dt
上式左右乘以

R

Idt

再积分得:

ε

BATTE RY

电池

?
t 0

I0

0

t t dI ? L Idt ? ? I?dt ? ? IRIdt 0 0 dt
t 2

? I?dt ? ? I
0

Rdt ? ? LIdI
0

I0

电源所作的功

电阻上的热损耗

自感磁能

1 2 ? LI 0 2

磁场的能量:

1 2 Wm ? LI 2
磁场能量密度: 单位体积中储存的磁场能量
螺线管特例:

wm

Wm

L ? ?n V 1 ? LI 2 ? H ? nI
2

1 2 H 2 1 ? ?n V ( ) ? ?H 2V 2 n 2

2

? B ? ?H
1 1 2 wm ? ?H ? BH 2 2

1 2 wm ? ?H 2

Wm ? ? wm dV
V

计算自感系数可归纳为三种方法:
1.静态法:

? m ? LI
dI ?L ? ?L dt

2.动态法:

3.能量法:

?

V

1 1 2 BHdV ? LI 2 2

[例] 如图.求同轴传输线之磁能及自感系数

1 Wm ? ?V wm dV ? ?V ?H 2dV 2
H ? I 2?r ,dV ? 2?rldr

R2 R1 l

Wm ?

?

R2

R1

再根据:

?I l R2 ? ln( ) 4? R1
2

1 I 2 ?( ) 2?rldr 2 2?r

?I 2 l R2 1 2 ? ln( ) LI ? Wm 4? R1 2

可得同轴电缆的 ?l R2 L? ln( ) 自感系数为: 2? R1

r dr


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