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安徽省六校教育研究会2014届高三2月联考数学理试题


安徽省六校教育研究会 2014 届高三 2 月联考 数学(理科)试题 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数 z (A)

10 .若实数 a, b, c, d 满足 (b + a 2 - 3ln a ) 2 + (c - d + 2) 2

= 0 ,则 (a - c) 2 + (b - d ) 2 的最小值 为( ) 2 (C) (D) 8 2 2 第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 (A) (B)

2

? 2i ?

2

2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( ) 1? i 2 (B) (C) 3 (D) 2
2

2.已知命题 p : “ a ? 1 是 x ? 0,x+

a ;命题 q : ? 2 ”的充分必要条件” x 2 “存在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 2 ? 0 ” ,下列命题正确的是( )
(A)命题“ p ? q ”是真命题 (B)命题“ ? ?p ? ? q ”是真命题 (C)命题“ p ? ? ?q ? ”是真命题 (D)命题“ ? ?p ? ? ? ?q ? ”是真命题

a? ? 1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系数为 ?0 sin xdx, 则二项式 ? x? ? 12.如图所示,第 n 个图形是由正 n ? 2 边形拓 展而来( n ? 1, 2,? ) ,则第 n ? 2 个图形
11.已知 a ?
?

5



共有____

个顶点.

3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 , 则框图中① 处可以填入( (A) n ? 4 ? (B) n ? 8 ? (C) n ? 16 ? (D) n ? 16 ? 4.在极坐标系中,点 (2, ) 和圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离为( (A)



π 3

) (D)
4? π2 9

3

(B) 2

(C)

1?

π2 9

? x ? y ? 5 ? 0, ? 13.若不等式组 ? y ? kx ? 5, 表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数 k 的取值范是 . ?0 ? x ? 2 ? [来源: 2 14.抛物线 y ? x (?3 ? x ? 3) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的 旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰 好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 . 15.对于函数 f ( x) ,若存在区间 M ? ? a, b ? ,使得 ? y | y ? f ( x), x ? M ? ? M ,则称区间 M 为函
数 f ( x) 的一个“好区间”.给出下列 4 个函数:
3 ① f ( x) ? sin x ;② f ( x ) ? 2 ? 1 ;③ f ( x) ? x ? 3x ;④ f ( x) ? lg x ? 1 .
x

5.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于

???? ??? ? ??? ? 点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) a? b a? b a? b a? b 4 2 2 4 3 3 3 3 6.数列 ? an ? 的首项为 3, ?bn ? 为等差数列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N ?) ,
若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? ( ) (A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11 7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中, 最大的是( )

其中存在“好区间”的函数是 . (填入所有满足条件函数的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在 答题卡上的指定区域内。 ?? ? 3 3 ?? ? m ? (sin x, cos x), n ? ( , ) f ( x ) ? m ? n, 2 2 , x ? R ,函数 16. (本小题满分 12 分)已知向量 (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值;
A? (Ⅱ)在 ?ABC 中,设角 A , B 的对边分别为 a, b ,若 B ? 2 A ,且 b ? 2af ? ? ?

??

? ?,求角 C 6?

的大小.

(A) 4 3 (B) 8 (C) 8 3 (D) 4 7 8.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中随机取出 4 个,则取出球的编号互不 相同的概率为( ) 5 (A) (B) 2 (C) 1 (D) 8 3 7 21 21 x2 y2 9.设 F1 , F2 分别为双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点, a b 以 F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、 N 两点,且满足 ?MAN ? 120? ,则该双曲线的 离心率为( (A)
21 3

17.(本小题满分 12 分) 等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC

AD CE 1 ? ? (如图 1).将△ ADE 沿 DE DB EA 2 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 为直二面角,
上的点,且满足 连结 A1 B 、 A1C (如图 2). (Ⅰ)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (Ⅱ) 在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ?若存在,求出 PB 的 长,若不存在,请说明理由.

) (B)
19 3

(C)

7 3

(D) 7 3
3

·1·

18. (本小题满分12分)

设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 满足 a 好是等比数列 ?bn ? 的前三项.

2 n ?1

? 4Sn ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 恰

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * , (Tn ? )k ? 3n ? 6 恒成立, 求实数 k 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为 次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标

数学(理科)答案 一、选择题(5'×10=50') A B B A C B D D A D 二、填空题(5'× 5=25') 11)-80; 12) n2 ? n ; 13) (?1,0) ; 14) 19 ? 1; 15)②③④。 三、解答题(75 分) 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin x ?
2

3 2

3 cos x 2

………………2 分 ?

3 sin( x ?

? …………4 分(注:也可
6 )

以化为 3 cos(x ? ? ) )所以 f ( x) 的最大值为 3 .……6 分(注:没有化简或化简过程
3

不全正确,但结论正确,给 4 分) (Ⅱ)因为 b ? 2a f ( A ?

? 70, 76 ?

? 76,82 ?

?82,88 ?

?88, 94 ?

?94,100?

?

8 12 40 32 8 元件 A 7 18 40 29 6 元件 B (Ⅰ)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B,若 是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下; (i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率; (ii)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数 学期望. 20. (本小题满分 13 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点, O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (Ⅰ)若函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ?

6 2 2 又 B ? 2 A ,所以 sin 2 A ? 2 3 sin A ,即 sin A cos A ? 3 sin A ,
所以 A ? ? , B ? 2 A ? ? , C ? ? ? A ? B ? ? . …………12 分
6 3 2

) ,由(1)和正弦定理,得 sin B ? 2 3 sin 2 A .……7 分
……9 分
3 3

而 A 是三角形的内角,所以 sin A ? 0 ,故 cos A ? 3 sin A , tan A ?

, ……11 分

17.(本小题满分 12 分) 证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 AD ? CE ? 1 ,
DB EA 2

所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60? , 由余弦定理得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60 ? 3 . 因为 AD ? DE ? AE , 所以 AD ? DE . ?????????3 分 折叠后有 A1 D ? DE ,因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,
2 2 ?
2 2 2

1? ? ? ? a ? 0 ? 上存在极值,求实数 a 的取值范围; 3? ? 2 ? ? ? ,有 f ( x ) ? f ( x ) ? m 1 ? 1 ,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)如果对任意的 x1 , x2 ? ? ?e ,
1 2

所以平面 A1 DE ? 平面 BCED

,又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE ,

x1

x2

A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED .????6 分
(2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P , 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1 D ? PH ,又 A1 D ? BD ? D , 所以 PH ? 平面 A1 BD , 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角 , ?????????8 分 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? , 则 BH ? x , PH ? 3 x , 在 Rt △ PA1 H 中 , ?PA1 H ? 60? , 所 2 2 1 以 A H ? x , 在 Rt △ A1 DH 中 , A1 D ? 1 , DH ? 2 ? 1 x , 由 A1 D 2 ? DH 2 ? A1 H 2 ,
1

21. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 G : x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, 2 2
a b
2 2

椭圆 G 与抛物线 y ? ?4 x 有一个公共的焦点,且过点 (?
2

6 ,1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ) 设点 P 是椭圆 G 在第一象限上的任一点,连接 PF1 , PF2 ,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点, 设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,试证明

1 1 ? 为定 kk1 kk 2

2

2

值,并求出这个定值; (III)在第(Ⅱ)问的条件下,作 F2 Q ? F2 P ,设 F2 Q 交 l 于点 Q , 证明:当点 P 在椭圆上移动时,点 Q 在某定直线上.



1 ? ? 12 ? ? 2 ? x? 2 ? ?

2

?1 ? ?? x? ?2 ?

2

,解得 x ? 5 , 满足 0 ? 2

x ? 3 ,符合题意 所以在线段 BC

上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1 BD 所 成 的 角 为 60? , 此 时
PB ? 5 2

?????????12 分

·2·

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、

P( X ? ?30) ?

DA1 分 别 为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 的 正 半 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz 如 图 , 设

1 1 1 , ? ? 5 4 20

X
P

150
3 5

90
3 20

30
1 5

-30
1 20

PB ? 2a

BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a , 所 以 ???? A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 ,所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 ,因为 ED ? 平面


? 0 ? 2a ? 3 ? ,

所以 X 的分布列为: ???????10 分

?

? ?

A1 BD , 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? ? 0,
因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60
?

??? ?

?

?

?

E( X )

? 150 ?

??????????12 3 3 1 1 ? 90 ? ? 30 ? ? 30 ? ? 108 5 20 5 20



3, 0

???? ???? PA1 ?DE ? , 所以 sin 60 ? ???? ???? PA1 DE

?

, ?????????9 分 ,?
3a 4a 2 ? 4a ? 5 ? 3 ? 3, 2

(20) (本小题满分 13 分)

1 ? ln x ?? ln x 解: (1)由题意 k ? f ? x ? ? 1 ? ln x , x ? 0 ,所以 f ? ? x ? ? ? ? ? ?? 2 x ? x x ?
在 ?1, ?? ? 上单调递减,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值.
? ? ? 3?

???2 分

解得 a ? 5 ,即 PB ? 2a ? 5 ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意,所以在线段 BC 上存在点 P ,使 4 2 直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ? 18. (本小题满分 12 分)
2

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, ????????3 分
?0 ? a ? 1 , 1 ? a ? ? 1 ? 3 ?

5 . ?????????12 分 2

因为函数 f ? x ? 在区间 ? 1 ? (其中 ? a ? 0 ? )上存在极值,所以 ? a, a ? 得 2 ? a ? 1 .即实数 a 的取值范围是 ? 2 , ?. ? 1? 3 ?3 ? ?????6 分

2 2 (Ⅰ)当 n ? 2 时, 4S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4

an2?1 ? an2 ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 ??????2 分
2

当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.? a2 , a5 , a14 构成等比数列,
2 ? a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,????3 分
2

2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 ? e 2, ? ? ? 上单调递减,不妨设 x1 ? x2 ? e ,则

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m

1 1 1 1 m m ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m( ? ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? x1 x2 x2 x1 x2 x1

由条件可知, 4a1 ? a ? 5=4,? a1 ? 1 ??????4 分
2 2

? 函数 F ( x) ? f ( x) ?
x

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.
n? N 恒成立,
*

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.??5 分,数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ………6 分
n n n ?1 n ?1 ( Ⅱ ) Tn ? b1 (1 ? q ) ? 3(1 ? 3 ) ? 3 ? 3 , ? ( 3 ? 3 ? 3 )k ? 3n ? 6 对 2 2 1? q 1? 3 2

2 由 F ( x) ? f ( x) ? m ? 1 ? ln x ? m , x ? [e 2 , ??) ,则 F ?( x) ? ? ln x ? m ? 0 在 [e , ??) 2 2

m 在 ? e 2, ? ? ? 上单调递减。?????8 分 x ?
x x x
2

x

2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) ,当 n ? 3 时, cn ? cn ?1 , ? n ?1 ? 3n 3 3n 当 n ? 4 时, cn ? cn ?1 ? (cn )max ? c3 ? 2 , k ? 2 .????12 分 cn ? cn ?1 ?
27 27

2n ? 4 2n ? 4 对 n ? N * 恒成立,----9 分,令 cn ? , ?k ? n 3 3n

上恒成立,所以 m ? ln x 在 [e , ??) 上恒成立,所以,故 m ? 2 .??????13 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)解(Ⅰ)由题意得 c ? 1 ,又 3 + 1 ? 1 ,??2 分消去 b 可得, 2a4 ? 7a2 ? 3 ? 0 ,
2a 2 b2
2 2 解得 a 2 ? 3 或 a 2 ? 1 (舍去) ,则 b2 ? 2 ,求椭圆 G 的方程为 C : x ? y ? 1 .?4 分 2 3 2 (Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? kx ? m ,并设点 P( x0 , y0 ) ,

2 x2 ? 3 y 2 ? 6 ? 0 由? ? (3k 2 ? 2) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 6 ? 0 . ? ? y ? kx ? m

19(本小题满分 12 分) ,元件 B 为正品的概率为 3 。?????2 分 4 (Ⅱ) (i)设生产的 5 件元件中正品件数为 x ,则有次品 5 ?x 件,由题意知 100 x ? 20(5 ? x) ? 300 (Ⅰ)由题可知 元件 A 为正品的概率为
4 5

? ? ? 0 ? m2 ? 2 ? 3k 2 ,?????????6 分 3km 3k x0 ? ? ?? ? 0 , 当 k ? 0 时 , m ? 0 , 直 线 与 椭 圆 相 交 , 所 以 k ? 0, m ? 0 ,
2 ? 3k 2 m
m 2 ? 2 ? 3k 2 ? m ?
y ?? 2 x0 x 2 ? 3 y0 y0

得 到 x ? 4, 5, 设 “ 生 产 5 件 元 件 B 所 获 得 的 利 润 不 少 于 300 元 ” 为 事 件 C , 则 3 1 3 81 。???????????6 分 P(C ) ? C 4 ( ) 4 ? ? C 5( ) 5 ?
5

6 3 ? x0 2

2 2 2 ,由 x0 ? y0 ? 1 ? y0 2 ? 2(3 ? x0 ) 得 m ? 2 , 3 2 3 y0 ? k

? ?

2 x0 3 y0

,???8 分 中得

,整理得:

4

4

5

4

128

x0 x y y .而 k ? y0 , k ? y0 ,代入 1 ? 1 ? 0 ?1 1 2 3 2 x ?1 x ?1 kk1 kk2

(ii)随机变量 X 的所有取值为 150,90,30,-30, 则 P( X ? 150) ? 4 ? 3 ? 3 , P( X ? 90) ? 1 ? 3 ? 3 , P( X ? 30) ? 4 ? 1 ? 1 ,
5 4 5 5 4 20 5 4 5

3 y0 x0 ? 1 x0 ? 1 1 1 ? ?? ( ? ) ? ?3 为定值. ????????10 分 kk1 kk2 2 x0 y0 y0

(用导数求解也可,若直接用切线公式扣 4 分,只得 2 分)

·3·

(III) PF2 的斜率为: k

PF2

?

y0 ,又由 PF 2 x0 ? 1

? F2 Q ? k

F2 Q

??

x0 ? 1 , y0
0 0

从而得直线 F2 Q 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 x ?1 ? y ?? (x ( x0 ? 1) ,联立方程 ? y ? y0 ?
0

? 1) ,

? x0 x ? y0 y ? 1 ? 2 ? 3

消去 y 得方程 ( x0 ? 3)( x ? 3) ? 0 ,因为 x0 ? 3 , 所以 x ? 3 , 即点 Q 在直线 x ? 3 上. ?????????14 分

·4·


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