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函数与方程的思想方法(二稿)


函数与方程的思想方法
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方 程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学 模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或 不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达 到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世 界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式, 哪里就有方程; 求值问题是通过解方程来实现的??等等;不等式问题也与方程 是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数 y=f(x), 就可以看作关于 x、 y 的二元方程 f(x)-y=0。 可以说, 函数的研究离不开方程。 列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征, 建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯 物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用 的性质是:f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要 求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角 函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和 妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较 深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程 问题、 不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数 思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要 求, 所以是高考中考查的重点。 我们应用函数思想的几种常见题型是: 遇到变量, 构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函 数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其 中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式, 应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前 n 项和的 公式,都可以看成 n 的函数,数列问题也可以用函数方法解决。 例题全解析: 例 1. 设不等式 2x-1>m(x 2 -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取值范围。 【分析】 此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式讨论。然 而,若变换一个角度以 m 为变量,即关于 m 的一次不等式(x 2 -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究,设 f(m)=(x 2 -1)m-(2x-1),则问题 转化为求一次函数 (或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数 x 应该满

? f ( 2) ? 0 足的条件 ? 。 ? f ( ?2) ? 0

【解】问题可变成关于 m 的一次不等式:(x 2 -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2] 恒 成立,设 f(m)=(x 2 -1)m-(2x-1),
2 ? ? f ( 2) ? 2( x ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 则 ? 2 ? ? f ( ?2) ? ?2( x ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0

解得 x∈(

7 ?1 3 ?1 , ) 2 2

【注】 本题的关键是变换角度,以参数 m 作为自变量而构造函数式,不等式 问题变成函数在闭区间上的值域问题。 本题有别于关于 x 的不等式 2x-1>m(x 2 - 1)的解集是[-2,2]时求 m 的值、关于 x 的不等式 2x-1>m(x 2 -1)在[-2,2]上恒 成立时求 m 的范围。 一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而 揭示函数关系,使问题更明朗化。或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参 数,而参数作为函数,更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题。

例 2. 设等差数列{a n }的前 n 项的和为 S n ,已知 a 3 =12,S 12 >0,S 13 <0 。 ①.求公差 d 的取值范围; ②.指出 S 1 、S 2 、?、S 12 中哪一个值最大,并说 明理由。 【分析】 ①问利用公式 a n 与 S n 建立不等式,容易求解 d 的范围;②问利用 S n 是 n 的二次函数, 将 S n 中哪一个值最大, 变成求二次函数中 n 为何值时 S n 取 最大值的函数最值问题。 【解】① 由 a 3 =a 1 +2d=12,得到 a 1 =12-2d,所以 S 12 =12a 1 +66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0, S 13 =13a 1 +78d=13(12-2d)+78d=156+52d<0。
24 <d<-3。 7 1 1 ② S n =na 1 + n(n-1)d=n(12-2d)+ n(n-1)d 2 2 1 d 24 2 d 1 24 2 = [n- (5- )] - [ (5- )] 2 2 d 2 2 d

解得:-

1 1 24 2 24 (5- )] 最小时,S n 最大。由- <d<-3 得 6< (5 2 2 d 7 1 24 24 2 - )<6.5,故正整数 n=6 时[n- (5- )] 最小,所以 S 6 最大。 2 d d 【注】 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数, 因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。 也可以利用方程的思 想,设出未知的量,建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快。 由次可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合, 发展了学生思维品质的深刻性、独创性。

因为 d<0,故[n-

本题的另一种思路是寻求 a n >0、a n?1 <0 ,即:由 d<0 知道 a 1 >a 2 >?>a 13 , 由 S 13 =13a 7 <0 得 a 7 <0,由 S 12 =6(a 6 +a 7 )>0 得 a 6 >0。所以,在 S 1 、S 2 、?、 S 12 中,S 6 的值最大。

例 4. 已知△ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列,且 tgA·tgC=2+ 3 , 又知顶点 C 的对边 c 上的高等于 4 3 ,求△ABC 的三边 a、b、c 及三内角。 【分析】已知了一个积式,考虑能否由其它已知得到一个和式,再用方程思 想求解。 【解】 由 A、B、C 成等差数列,可得 B=60°; 由△ABC 中 tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC,得 tgA+tgC=tgB(tgA·tgC-1)= 3 (1+ 3 ) 设 tgA、tgC 是方程 x 2 -( 3 +3)x+2+ 3 =0 的两根,解得 x 1 =1,x 2 =2 + 3 设 A<C,则 tgA=1,tgC=2+ 3 , ∴A=
π 5π ,C= 4 12

由此容易得到 a=8,b=4 6 ,c=4 3 +4。 【注】本题的解答关键是利用“△ABC 中 tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC” 这一条性质得到 tgA+tgC,从而设立方程求出 tgA 和 tgC 的值,使问题得到解 决。

例 5. 若(z-x) 2 -4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z 成等差数列。 【分析】 观察题设,发现正好是判别式 b 2 -4ac=0 的形式,因此联想到构 造一个一元二次方程进行求解。 【证明】 当 x=y 时,可得 x=z, ∴x、y、z 成等差数列;

当 x≠y 时,设方程(x-y)t 2 -(z-x)t+(y-z)=0,由△=0 得 t 1 =t 2 , 并易知 t=1 是方程的根。 ∴t 1 ·t 2 =
y?z =1 x? y



即 2y=x+z ,

∴x、y、z 成等差数列

【注】 一般地, 题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了 “x 1 +x 2 = a、x 1 ·x 2 =b”的形式,则可以利用根与系数的关系构造方程;如果具备 b 2 - 4ac≥0 或 b 2 -4ac≤0 的形式,可以利用根的判别式构造一元二次方程。这种方 法使得非方程问题用方程思想来解决,体现了一定的技巧性,也是解题基本方法 中的一种“构造法”。

1 。 8 【分析】 考虑首先使用三角公式进行变形,结合三角形中有关的性质和定理, 主要是运用“三角形的内角和为 180°”。变形后再通过观察式子的特点而选择 和发现最合适的方法解决。

例 6. △ABC 中,求证:cosA·cosB·cosC≤

【证明】 设 k=cosA· cosB· cosC= cosC+cos(A-B)]cosC

1 1 [cos(A+B)+cos(A-B)]· cosC= [- 2 2

整理得:cos 2 C-cos(A-B)·cosC+2k=0,即看作关于 cosC 的一元二次方 程。 ∴ △=cos 2 (A-B)-8k≥0 即 8k≤cos 2 (A-B)≤1

1 1 ∴ k≤ 即 cosA·cosB·cosC≤ 8 8 【注】本题原本是三角问题,引入参数后,通过三角变形,发现了其等式具 有“二次”特点,于是联想了一元二次方程,将问题变成代数中的方程有实解的 问题,这既是“方程思想”,也体现了“判别式法”、“参数法”。

此题的另外一种思路是使用“放缩法”,在放缩过程中也体现了“配方法”, 具体解答过程是:cosA·cosB·cosC=

1 [cos(A+B)+cos(A-B)]·cosC =- 2

1 1 1 cos( A ? B ) 2 1 cos 2 C + cos(A -B)· cosC =- [cosC - ] + cos 2 (A - B) ≤ 2 2 2 8 2
1 1 cos 2 (A-B) ≤ 。 8 8

1 ? 2x ? 4 x a 例 7. 设 f(x)=lg , 如果当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意义, 求实数 a 3

的取值范围。 【分析】当 x∈(-∞,1]时 f(x)=lg
1 ? 2x ? 4 x a 有意义的函数问题,转化为 1 3

+2 x +4 x a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 【解】 由题设可知,不等式 1+2 x +4 x a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立, 即:(

1 2x 1 ) +( ) x +a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立。 2 2 1 x ) , 2
则 t≥

设 t=(

1 , 2

又设 g(t)=t 2 +t+a,其对称轴为 t=-

1 2

∴ t 2 +t+a=0 在[

1 ,+∞)上无实根, 2

即 g(

1 1 1 )=( ) 2 + +a>0,得 2 2 2

a>-

3 4 3 。 4

所以 a 的取值范围是 a>-

【注】对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利 用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思 想和函数思想。一般地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二 次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化。

配套练习题
1.方程 lgx+x=3 的解所在的区间为_____。 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)

2.如果函数 f(x)=x 2 +bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),那 么_____。 A. f(2)<f(1)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) B. f(1)<f(2)<f(4) D. f(4)<f(2)<f(1)

π 1 3.已知 sinθ +cosθ = ,θ ∈( ,π ),则 tgθ 的值是_____。 5 2

A. -

4 3

B. -

3 4

C.

4 3

D.

3 4

4.关于 x 的方程 sin 2 x+cosx+a=0 有实根, 则实数 a 的取值范围是__________。

5. 建造一个容积为 8m 3 ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每 平方米分别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为___________。


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