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3.2.2含参数的一元二次不等式的解法


2014年2月20日星期四

二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有 机的整体。通过函数把方程与不等式联系起来,我们 可以通过对方程的研究利用函数来解一元二次不等式。 请问:三者之间有何关系 方程的解即对应函数图象与x轴交点的横坐标; 不等式的解集即对应函数图象在x轴下方或上方图象 所对应x的范围, 解集的端点值为对应方程的根。
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基本步骤:“三步曲”

(1)转化为不等式的“标准”形式;

(2)计算△,解相应一元二次方程的根;
(3)根据二次函数的图象以及不等号的方向,写出不 等式的解集.

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含参数的不等式的解法 一元一次不等式ax+b>0(<0) 参数划分标准: 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准: (1)二次项系数a>0,a=0,a<0

(2)判别式△>0,△=0,△<0
(3)一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小, x2014 x1=x2,x1<x2 1>x , 年2 2月 20日星期四

2 例1 解关于x 的不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

分析: 因为 a ? 0 且 ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系 数的正负. 解: ? a( x 2 ? 5 x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0 ∴(1)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ?x ? 2??x ? 3? ? 0 ∴当 a ? 0 时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3? ∴(2)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ∴当 a ? 0 时,原不等式解集为:

?x ? 2??x ? 3? ? 0
?x | 2 ? x ? 3?

综上所述: a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3?
a ? 0时,原不等式解集为: ? x | 2 ? x ? 3?
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例2.解关于x的不等式:x 2 ? 5ax ? 6a 2 ? 0 (a ? 0)
2 2 分析 : 此不等式? ? ? ?5a ? ? 24a ? a ? 0 又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0 故只需比较两根2a与3a的大小. 2

?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 解: 原不等式可化为:
相应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为 x1 ? 2a, x2 ? 3a ∴(1)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ? x | x ? 2a或x ? 3a? (2)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为? x | x ? 3a或x ? 2a?

综上所述:
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a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 2a或x ? 3a?
a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 3a或x ? 2a?

例3 解不等式 解:∵ ? ? a ? 16 ∴ 当a ? ? ?4, 4 ? 即? ? 0时
2


x ? ax ? 4 ? 0
2

原不等式解集为

R

? a? 当a ? ?4即? ? 0时, 原不等式解集为? x x ? R且x ? ? ? 2? ? 当a ? 4或a ? ?4即? ? 0时, 此时两根分别为 ;
,

? a ? a ? 16 x1 ? 2 显然 x1 ? x 2
2



,

? a ? a 2 ? 16 x2 ? 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴原不等式的解集为: ? x x ? 或x〈 ? 2 2 2014年2月20日星期四 ? ? ? ?

例4 :解关于 x 的不等式: ax

2

? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

{x | x ? 1}. 解: (一)当 a ? 0 时, 原不等式即为 ? x ? 1 ? 0 解集为: (二)当 a ? 0 时, 原不等式变形为: (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 1 其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定,故有: a ? 1 ? x x ? 或 x ? 1 ? (1)当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ? a ? ?
(2)当 a ? 0 时,原不等式的解集为

? x x ? 1?
? 1? ?x 1 ? x ? ? a? ?

(3)当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 (4)当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ?
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(5)当 a ? 1 时,原不等式的解集为

1 ? ? ? x ? 1? ?x a ? ?

1 1、若0 ? a ? 1, 则不等式(x ? a) ( x ? ) ? 0的解是(A ) a

1 A.a<x< a 1 B. <x<a a

1 C.x> 或x<a a 1 D.x< 或x>a a

A) 42 x 2 ? ax ? a 2 ? 0 的解集为( 2、当a<0时,不等式
A. C.
a? ?a , ? ? ? 6? ?7
2a ? ?a , ? ? ? 7 ? ?7

B. D.

? a a? ?? , ? ? 6 7?

?

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解关于x的不等式:
() 1 x ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

a ? 1时,不等式的解集为{x | a ? x ? 1}

a ? 1时,不等式的解集为?
a ? 1时,不等式的解集为{x |1 ? x ? a}
(2)x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0

a ? ?2时,不等式的解集为{x | 2 ? x ? ?a}

a ? ?2时,不等式的解集为?
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a ? ?2时,不等式的解集为{x | ?a ? x ? 2}

解关于x的不等式:
1 (3)x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 a
2

?1 ? a ? 0或a ? 1时,不等式的解集为{x |

(4)mx ? 2(m ? 1) x ? 4 ? 0

1 a ? ?1或0 ? a ? 1时,不等式的解集为{x | a ? x ? } a 2

a ? ?1时,不等式的解集为?

1 ? x ? a} a

2 0 ? m ? 1时,不等式的解集为{x | 2 ? x ? } m m ? 1时,不等式的解集为 ? ; 2 m ? 1时,不等式的解集为{x | ? x ? 2} m 2 m ? 0时,不等式的解集为{x | x ? 2或x ? } m 2014年2月20日星期四

m ? 0时,不等式的解集为{x | x ? 2}

解关于x的不等式:

(5)ax ? ax ? 1 ? 0.
2

?4 ? a ? 0时,不等式的解集为R
1 a ? ?4时,不等式的解集为{x | x ? ? } 2

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a a ? 0时,不等式的解集为{x | ?x? } 2a 2a
? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a a ? ?4时,不等式的解集为{x | x ? 或? x? } 2a 2a
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解关于x的不等式:
(6)k ( x ? 2) ? k (3x ? 1) ? 2( x ? 2) ? 0
2

解:原不等式化为:(k 2 ? 3k ? 2) x ? 2k 2 ? k ? 4 ? 0
2 2 k ?k ?4 2 当k ? 3k ? 2 ? 0,即k ? 2或k ? 1时,解集为: } ?x | x ? ? 2 k ? 3k ? 2

2 2 k ?k ?4 2 当k ? 3k ? 2 ? 0,即1 ? k ? 2时,解集为: } ?x | x ? ? 2 k ? 3k ? 2

当k 2 ? 3k ? 2 ? 0,即k ? 1时,x ??; k ? 2时,x ? R;
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课堂小结
一、按二次项系数是否含参数分类: 当二次项系数含参数时,按 x 项的系数 a 的符号分类,即分 a ? 0, a ? 0, a ? 0 三种情况.
2

二、按判别式 ? 的符号分类,即分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况 三、按对应方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小分类,即分 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x 2 三种情况. 2014年2月20日星期四
2


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