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2011全国高中数学竞赛讲义-平面几何名定理


平面几何名定理
四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R,则 P、Q、R

共线的充要条件是 塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点)



△ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R,则 AP、BQ、CR 共点的充要

条件是



托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边 形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落 在三角形的外接圆上。

例题讲解

1.设 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,直线 CF 交 AD 于 F。求证:



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2.过△ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于 E、F,交 CB 于 D。求证:



3.D、E、F 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 边上, 求 S△LMN。

,AD、BE、CF 交成△LMN。

4.以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、BF、CG 相交于 一点。

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5.已知△ABC 中,∠B=2∠C。求证:AC =AB +AB·BC。

2

2

6.已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证:



7.△ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P,作 PE⊥AB 于 E,延长 ED 交 AC 延长线 于 F。 求证:BC·EF=BF·CE+BE·CF。

8.正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N 分成的比为 AM: AC=CN:CE=k,且 B、M、N 共线。求 k。(23-IMO-5)

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9.O 为△ABC 内一点,分别以 da、db、dc 表示 O 到 BC、CA、AB 的距离,以 Ra、Rb、Rc 表示 O 到 A、B、C 的距离。 求证:(1)a·Ra≥b·db+c·dc; (2) a·Ra≥c·db+b·dc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。

10.△ABC 中,H、G、O 分别为垂心、重心、外心。求证:H、G、O 三点共线,且 HG=2GO。 (欧拉线)

11.⊙O1 和⊙O2 与 Δ ABC 的三边所在直线都相切,E、F、G、H 为切点,EG、FH 的延长线交 于 P。求证:PA⊥BC。

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12.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F, 延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC。

例题答案:

1.分析:CEF 截△ABD→

(梅氏定理)

评注:也可以添加辅助线证明:过 A、B、D 之一作 CF 的平行线。 2.分析:连结并延长 AG 交 BC 于 M,则 M 为 BC 的中点。

DEG 截△ABM→

(梅氏定理)

DGF 截△ACM→

(梅氏定理)



=

=

=1

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评注:梅氏定理 3. 梅氏定理 4. 塞瓦定理 5. 分析:过 A 作 BC 的平行线交△ABC 的外接圆于 D,连结 BD。则 CD=DA=AB,AC=BD。 由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。 评注:托勒密定理 6.评注:托勒密定理 7.评注:西姆松定理(西姆松线) 8.评注:面积法 9.评注:面积法 10. 评注:同一法 11. 证明:连结 BD 交 AC 于 H。对△BCD 用

塞瓦定理,可得 因为 AH 是∠BAD 的角平分线,由角平分线定理,

可得

,故



过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I,过 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长 线于 J。





所以

,从而 CI=CJ。

又因为 CI//AB,CJ//AD,故∠ACI=π -∠BAC=π -∠DAC=∠ACJ。

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因此,△ACI≌△ACJ,从而∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC。

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