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1.3.1函数的单调性和最值


一.函数单调性的概念和定义 书本例题 结合自然描述,抽象出 f ( x) ?

1 , x ? R ? 和 f ( x) ? x2 , x ? R ? 的单调性 x

给出单调性的定义,定义的描述方式中使用“任意”这样的词汇,这是数学中常用的描述 给出 f ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 这样的描述,并介绍,这是点 ( x1 , f ( x1 ))和( x2 , f ( x2 ))两点连线段的斜率 x1 ? x2

二.函数单调性的描述与图像表征 以二次函数结合图像为例,以书本例题,说明函数在定义域内不严格单调的情况 看图说话,规范单调区间的表达,将 f ( x) ?

1 推广到 R x

三.函数单调性的判断与证明 ①.已知函数单调性的回忆,一次函数,二次函数,反比例函数,并证明反比例函数的单调性 ②.函数之间进行线性组合后,单调性的关系,感知+证明 数乘对单调性的影响 增加常数不影响单调性 增+增 得 增函数 减+减 得 减函数 快速观察练习 ③.简单的复合函数单调性分析(入门) ,感知,暂时不用证明 快速观察练习 ④.考虑单调性不同的函数进行线性组合的情况 f ( x) ? x ? ⑤.依据定义证明函数的单调性专例:

1 x

f ( x) ? x3
四.函数单调性的简单应用 比大小 建立于函数之上的不等式问题

五.函数的最值的定义与特征 图像特征, 定义 六.函数的最值和单调性的关系 单调闭区间上的最值 非单调区间的最值,二次函数在区间上的最值 七.关于单调性和最值的分类讨论(小综合) 二次函数在区间上的单调性分类讨论 二次函数在区间上的最值分类讨论 ※由参数引起的单调性改变,专题:这个函数是勾函数么? 八.与最值有关的恒成立,存在类问题 从简单的二次函数入手 两个函数,变量相同 恒成立 存在解 两个函数,变量不同 恒成立 存在解


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