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平面向量二


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龙文教育个性化辅导授课案
教师: 课题 考点分析
重点难点 平面向量的基本定理与坐标表示 平面向量(二)

学生

时间:

年_ 月__日__段 第__ 次课

授课内容 一、 平面向量基本定理: 、 是同一平面内的两个

不共线向量,那么对于这一平面内的任 、 ,使 .我们把不共线

1、平面向量基本定理:如果

一向量 ,有且只有一对实数 的向量
? ?



叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 范围: [00 ,1800 ]
?

2、平面向量的夹角: ? =< a , b >
? ? ?

a , b 平行: ? ? 00 或1800 ; a , b 垂直: ? ? 900

3、平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量。 例 1:下列说法正确的是( )

(1) 一个平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面内所有向量的基底; (2) 一个平面内可以有无数对不共线的向量作为表示该平面内所有向量的基底; (3) 零向量不能作为基底。 例 2:若 e1 和 e2 不共线,且 a ? ?e1 ? 3e2 , b ? 4e1 ? 2e2 , c ? ?3e1 ? 12e2 , 则向量 a 可用向量 b 、 c 表示为 a ? .

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例 3: | a |=| b |=2, 且 a , b 夹角为 60 0 , 若 a + b 与 a 的夹角为 ? ,a - b 与 a 的夹角为 ? , 求? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

例 4:设 e1 , e2 是两不共线的向量,若 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3e1 ? 3e2 , 试证 A, B, D 三点共线.

例5: D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且 BC ? a, CA ? b ,给出下列命题,其中 正确命题的是:
1 1 ① AD ? ? a ? b ② BE ? a ? b 2 2 1 1 ③ CF =- a ? b 2 2

④ AD ? BE ? CF ? 0

二、平面向量的坐标运算 1.平面向量的坐标表示 选取直角坐标系的 x 轴、y 轴上的单位向量 , 为基底,由平面向量基本定理,该平面内 任一向量 表示成 向量 的坐标表示. 的形式,由于 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做

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2.平面向量的坐标运算 已知 (1) 3.平行向量的坐标表示 已知 , ,则 ( ) , ,则 (2)

4.已知 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 例 1:若 a ? (2, 1) , b ? (?3, 4) 则 3a ? 4b 的坐标为_________. 例 2:已知 a ? ( x ? 2, 3), b ? (1, y ? 2) ,若 a ? b ,则 x ? 例 3:若 A(0, 1), B(1, 2), 例 4:若 M(3, -2) C(3, 4) 则 AB ?2 BC =
1 MN , 2

,y?

N(-5, -1) 且 MP ?

求 P 点的坐标;

例 5:已知向量 a ? ?1, 1? , b ? ? 2 , x ? 若 a ? b 与 4b ? 2a 平行,求实数 x 的值。

例 6:已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+4b 与 a-2b 共线,求 m 的值。

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三、平面向量数量积的定义和性质 1.定义:已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 积(或内积) ,记作 2.几何意义:数量积 ,即 与 叫做 和 的数量

.规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 在 方向上的投影 的乘积.

等于 的长度

3.两个向量的数量积的性质 (1) (2) 当 与 同向时, 特别地 ;当 与 反向时, .

(3) 4.平面向量数量积的运算律 设已知向量 、 、 和实数 ,则向量的数量积满足下列运算律: (1) (2) (3) 例 1:已知 a ? 5 , b ? 4 , a 和 b 的夹角为 120 ,求 a ? b ? (交换律)

? ? ? ? ? 例 2:已知已知 a ? 6 , b ? 4 , a 和 b 的夹角为 60? ,求 (a ? 2b )(a ? 3b )

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例 3:已知 a ? 5 , b ? 4 , a ? b =-10,求 a 与 b 的夹角 ? .

例 4:已知 a ? 5 , b ? 4 若 a ? b ,求 a ? b .若 a // b ,求 a ? b .

例 5:已知向量 a, b 满足 a ? 6, b ? 4 ,且 a与b 的夹角为 60 0 ,求 a ? b 和 a ? 3b .

例 6:已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求 ⑴ (a ? 2b) ? (a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。

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四、数量积的坐标运算: 已知两个非零向量 ; ; , ,那么

.

? ? 例 1:已知 a ? (cos 230 ,cos670 ), b ? (cos680 ,cos 220 ) ,求 a ? b 。

例 2:已知 a ? (1, ?2), b ? (4, 2) , a与(a ? b) 夹角为 ? ,求 cos ? 。

例 3:已知向量 a ? (?2, 2), b ? (5, k ) ,若 a ? b 不超过 5,求 k 的取值范围

例 4:已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ?

?
2

?? ?

?
2

. 若 a ? b, 求? ;

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课后作业:

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

学生签字:________ 教师评定: 1、学生上次作业评价: 2、学生本次上课情况评价: ○特别满意 ○特别满意 ○满意 ○满意 ○一般 ○一般 ○差 ○差 教师签字:________

教师评语:

教务处审核:

教导主任签字:________

教务主管签字:__________

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