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1.6微积分基本定理课件(1) (1)


一、复习引入
1.定积分的定义:
1 ?0 x dx ? 3
1 2

?

b

a

b?a f ? x ?dx ? lim? f ?? i ? n? ? n i ?1
n

5 ?0 (?t ? 2)dt ? 3
1 2
2

2.由定积分的定义可以计算 ?

1

1 dx吗 ? x

试一试:利用定积分的定义计算 ?

2

1

1 dx x

1 解:令 f ? x ? ? x
(1)分割
在 区 间 ?1, 2?上 等 间 隔 的 插 入

?n ? 1?个分点 , 将区间 ?1, 2?等 分 成 n个 小 区 间

i? ? i? ? i ?1 每个小区间的长度为 ?x ? ? 1 ? ? ? 1? ,1 ? ? ?i ? 1,2,?, n?, ? n? ? n n? ?
i ? 1? 1 ? ?1 ? ?? n ? n ?

(2)近似代替 i ?1 ?i ? 1,2,?, n?, 取? i ? 1 ? n

(3)求和 2 1 dx ? Sn ? 1 x

?

?

n

怎么求

?

?
i ?1

i ?1 n

?

?
i ?1

n

1 n? i ?1

? i ? 1? f ?1 ? ? ? ?x n ? ? 1 1 ? i ?1 n 1? n

1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? n n?1 n? 2 2n ? 1

微积分基本定理
一.问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度 v ? v ( t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数,且 v ( t ) ? 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为

?T

T2
1

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 )
? ? v ( t )dt ? s(T2 ) ? s(T1 ). 其中 s?(t ) ? v(t ). T
1

T2

如图:一个作变速直线 运动的物体的运动规律 探究新知: S ? y?b? ? y?a ?
'
i i ?1

' ? ? ?t ?, 由导数的概念可知,它 在任意时刻 t 的速度为 v t ? y S ? ?S1 ? ?S2 ? ? ? ?Si ? ? ? ?Sn b ?a ' ? ? 设这个物体在时间段 a , b 内的位移为 S ,你能分别用 y?t ?, y ?t ? ?S ? v ?t ??t ? y ?t i ?1 ? ? ?t ? n v ?t ?表示 S吗?
i ?1

是y ? y?t ?,

y

B

?S i ? hi

y ? y ?t ?

hn

?Sn

y?b ?

S

? y ?t i ?1 ? ? ?t
'

? tan ? ? ?t
?
hi

?
?Si

?
h2
y ?a ? O
A

h1

?S2 ?S1

at ) t1 a( 0

t t2 ?? t i ?1 t i ??? t n ?1 b( btn )

b?a ' ?Si ? v ?ti ?1 ??t ? y ?ti ?1 ??t ? y ?ti ?1 ? n n
'

S ? y?b ? ? y?a ? S ? ?S1 ? ?S2 ? ?? ?Si ? ?? ?Sn
S ? lim
n? ?

? v?t ? ? ?t ? lim? y ?t ? ? ?t ? ? ? v ?t ?dt ? ? y ?t ?dt ?
i ?1 i ?1 n
' n? ? i ?1 i ?1

y ? y ?t ?

b

yb

a
b

'

y ?a ?

a

S?

?

b

y ' ?t ?dt ? y?b ? ? y?a ?

a

二、微积分基本定理
'

如果f ? x ? 是区间? a , b ? 上的连续函数,

并且F ? x ? ? f ? x ? , 则 牛顿—莱布尼兹公式

?F ? x ?叫做 f ? x ?的原函数, f ? x ?叫做 F? x ?的导函数 ?
牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系. 求定积分问题转化为求原函数的问题.

? f ? x ?dx ? F ? b ? ? F ? a ? 或? f ? x ?dx ? F ? x ? ? F ? b ? ? F ? a ?
b a b

a

b a

回顾:基本初等函数的导数公式
函数 f(x)

c x
0 nx

n

sin x cos x
x

a

x

e

x

loga x ln x

导函数 f′(x)

n ?1

cos x ? sin x a ln a

e

x

1 x ln a

1 x

新知:基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c cx

x

n

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
ln | x |

一个原 函数F(x)

a 1 n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x

例1 计算下列定积分: ?1? ?
'

2

1

1 dx ; x

1? ? ?2? ?1 ? 2x ? 2 ?dx . x ? ?
3

1 解 ?1?因为?ln x ? ? , x 21 2 所以? dx ? ln x |1 ? ln 2 ? ln 1 ? ln 2. 1 x ' 1 ? 1? 2 ' ?2?因为 x ? 2x, ? ? ? ? 2 , x ?x? 3? 3 3 1 1 1? 2 3 2x ? 2 ?dx ? ? 2xdx ? ? 2 dx ? x |1 ? ?1 ? 1 1 x x x ? ? ? 1 ? 22 ? ?9 ? 1? ? ? ? 1? ? . ?3 ? 3

? ?

3

1

?1? ?0 ? ?3t
1

练习1:

2

3 2? ? ln 2 1? ? 2 ? ?1 ? x ? ?dx ? ____________ 2
? x?

1 ? 2 ?dt ? _________

? 3 ? ??1 ? 3 x
2

2

? 2 x ? 1?dx ? _________ 9
2

? 4 ? ?1 ? e
2

x

? 1?dx ? ____________ e ? e ?1

三、小结
1.微积分基本定理

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
n

b

2.基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c cx

x

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
ln | x |

一个原 函数F(x)

a 1 n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x

例2

计算下列定积分:
2π 2π π 0

?

π

0

sin xdx, ? sin xdx, ? sin xdx .
' π 0

π 解 因为?? cos x ? ? sin x, ? sin xdx ? ?? cos x ? |0

? ?? cos π? ? ?? cos 0? ? 2;

? ?



? ?? cos 2π? ? ?? cos π? ? ?2;
2π 0

π

sin xdx ? ?? cos x ? | sin xdx ? ?? cos x ? |

2π π

? ?? cos 2π? ? ?? cos 0? ? 0.

2π 0

问题:通过计算下列定积分,进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论?试利用曲边梯形的面积表示发现的结论.

??

2?

sin xdx

?

2?

0

sin xdx

我们发现:
(1)定积分的值可取正值也可取负值,还可以是0; (2)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值; (3)当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值; (4)当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时,定积分的值为0.

得到定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和。

生活中的微积分(不妨试试)

假设一物体从飞机上扔下,t秒物体的下落速度近似为: g ?1 ? kt 2 v(t ) ? (1 ? e ) ( g ? 9.8m / s,k ? 0.2s ) k

请写出t秒后物体下落距离的表达式;

微积分与其他函数知识综合举例:

1、已知f ( x)是一次函数,其图象过点(3,4), 且

?

1

0

f ( x)dx ? 1, 求f ( x)的解析式

2、已知f (a) ? ? (2ax ? a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0

1

练一练:已知f(x)=ax? +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,

?

1

0

f ( x)dx ? ?2, 求a, b, c的值

例1

求 ? ( 2 cos x ? sin x ? 1)dx .
0
?
2

? 2

? 原式 ? (2sin x ? cos x ? x) |0 ? 3 ? . 2 2 ?2 x 0 ? x ? 1 例2 设 f ( x ) ? ? , 求 ?0 f ( x )dx . 1? x ? 2 ?5



?0

2

f ( x )dx ? ?0 f ( x )dx ? ?1 f ( x )dx

1

2

y

在[1,2]上规定当x ? 1 时, f ( x ) ? 5 ,

原式 ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? 6.
0 1

1

2

o

1

2

x


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