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48抛物线


2015-2016 溆浦一中高三数学一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

课题:抛物线
一、考点梳理:
1.抛物线的定义:满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;(2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等;(3)定点不在定直线上. 2.抛物线的标准方

程和几何性质 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 标准方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其中 P(x0,y0) p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 p |PF|=x0+ 2 p x= 2 x≤0,y∈R 向左 p |PF|=-x0+ 2 p F( ,0) 2 O(0,0) y=0 p F(- ,0) 2 e=1 p y=- 2 y≥0,x∈R 向上 p |PF|=y0+ 2 p y= 2 y≤0,x∈R 向下 p |PF|=-y0+ 2 p F(0, ) 2 x=0 p F(0,- ) 2

注意点: 1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直 线垂直的直线. 2.抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p>0,才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离,否则无几何意义. 3.转化思想在定义中应用-------抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离. 4.与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据) p2 2p (1)y1y2=-p2,x1x2= . (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角). 4 sin θ 1 1 2 (3) + 为定值 . (4)以 AB 为直径的圆与准线相切. |AF| |BF| p (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. 二、基础自测: 1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) a a 2 (2)方程 y=ax (a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是( ,0),准线方程是 x=- .( ) 4 4 (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( ) p p2 (4)AB 为抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点 F( ,0)的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB| 2 4 =x1+x2+p.( ) 2.抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 3.动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. 1? 4.若抛物线 x2=ay 过点 A? ?1,4?,则点 A 到此抛物线的焦点的距离为________. 5.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 是坐标原点,|AF|=2,则|BF|=________, △OAB 的面积是________.

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主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

三、考点突破:
考点一、抛物线的标准方程及几何性质 x2 y2 【例 1】 1.(2013· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 A, B a b 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3, 则 p=( ) 3 A.1 B. C.2 D.3 2 2.(13· 新课标)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ) 2 A.y =4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 3.从抛物线 x2=4y 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△MPF 的 面积为________.

[类题通法] 1.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等 几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性. 2.求抛物线方程应注意的问题 (1)当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种; (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系; (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题. 考点二、抛物线的定义应用 【例 2】与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题角度有: ?1?动弦中点到坐标轴距离最短问题;?2?距离之和最小问题;?3?焦点弦中距离之和最小问题. 角度一 动弦中点到坐标轴距离最短问题 1.已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为( ) 3 3 A. B. C.1 D.2 4 2 角度二 距离之和最小问题 2.已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+5=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________. 角度三 焦点弦中距离之和最小问题 3.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 y 轴垂线,垂足分别为 C、D, 则|AC|+|BD|的最小值为________.

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主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

[类题通法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化. (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解. (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 考点三、直线与抛物线的位置关系 【例 3】抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. → → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值.

[类题通法] 求解直线与抛物线位置关系问题的方法 在解决直线与抛物线位置关系的问题时,其方法类似于直线与椭圆的位置关系.在解决此类问题时,除考虑 代数法外,还应借助平面几何的知识,利用数形结合的思想求解. 四、当堂检测 1.已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则抛物线 mx2=ny 的焦点坐标是( ) 1 1 1 1 ? ? ? ? A.? B.? C.? D.? ?0,2? ?2,0? ?0,4? ?4,0? 2.设抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为 A,如果△APF 为正三角形,那 么|PF|等于( ) A.4 3 B.6 3 C.6 D.12 3.过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 135° 的直线交抛物线于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 4.设抛物线 x2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点, 则|AF|+|BF|=________. 5.如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的 斜率.

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主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

五、课后巩固: 1 1.抛物线 x2= y 的焦点 F 到其准线 l 的距离是( ) 2 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 4 2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( ) 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 4 2 3.已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 x2 y2 2 4.已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛 7 9 物线上,且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 5.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点的坐标 为(2,2),则直线 l 的方程为________. ??? ? ??? ? 1 6. 已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G: x2=2py(p>0)相交于 B, C 两点. 当直线 l 的斜率是 时, =4 AB . AC 2 (1)求抛物线 G 的方程;(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围.

7.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A,B 两点. (1)如果直线 l 过抛物线的焦点, 求 OA · OB 的值;(2)如果 OA · OB =-4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点.

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2015-2016 溆浦一中高三数学一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

课题:抛物线
一、考点梳理:
1.抛物线的定义:满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;(2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等;(3)定点不在定直线上. 2.抛物线的标准方程和几何性质 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 标准方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其中 P(x0,y0) p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 p |PF|=x0+ 2 p x= 2 x≤0,y∈R 向左 p |PF|=-x0+ 2 p F( ,0) 2 O(0,0) y=0 p F(- ,0) 2 e=1 p y=- 2 y≥0,x∈R 向上 p |PF|=y0+ 2 p y= 2 y≤0,x∈R 向下 p |PF|=-y0+ 2 p F(0, ) 2 x=0 p F(0,- ) 2

注意点: 1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直 线垂直的直线. 2.抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p>0,才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离,否则无几何意义. 3.转化思想在定义中应用-------抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离. 4.与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据) p2 2p (1)y1y2=-p2,x1x2= . (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角). 4 sin θ 1 1 2 (3) + 为定值 . (4)以 AB 为直径的圆与准线相切. |AF| |BF| p (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. 二、基础自测: 1.抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选 C 抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),准线方程为 x=-2,所以焦点到准线的距离为 4. 2.动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等,根据抛物线的定义 易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x.答案:y2=4x 1 1, ?,则点 A 到此抛物线的焦点的距离为________. 3.若抛物线 x2=ay 过点 A? ? 4? 1 解析:由题意可知,点 A 在抛物线 x2=ay 上,所以 1= a,解得 a=4,得 x2=4y.由抛物线的定义可知点 A 4 4 1 5 5 到焦点的距离等于点 A 到准线的距离,所以点 A 到抛物线的焦点的距离为 yA+ = +1= .答案: 4 4 4 4 2 4.已知过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 是坐标原点,|AF|=2,则|BF|=________, △OAB 的面积是________. 解析:设 A(x0,y0),由抛物线定义知 x0+1=2,∴x0=1,则直线 AB⊥x 轴,∴|BF|=|AF|=2.|AB|=4. 1 1 故△OAB 的面积 S= |AB||OF|= ×4×1=2.答案:2 2 2 2

三、考点突破:
考点一、抛物线的标准方程及几何性质

x2 y2 【例 1】 1.(2013· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 A, B a b 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3, 则 p=( ) 3 A.1 B. C.2 D.3 2 c b 解:C 因为双曲线的离心率 e= =2,所以 b= 3a,所以双曲线的渐近线方程为 y=± x=± 3x,与抛物线的 a a p 1 p p 3 p 3 准线 x=- 相交于 A?- , p?,B?- ,- p?,所以△AOB 的面积为 × × 3p= 3,又 p>0,所以 p=2. 2 2 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 2.(13· 新课标)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ) A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x ???? p ???? ? p ? y2 0 ,0 ,设点 A(0,2),点 M(x0,y0),则 AF =? ,-2?, AM =? ,y0-2?. 解:选 C 由已知得抛物线的焦点 F? ?2 ? ?2 ? ?2p ? ???? ???? ? 8 8 p ? ? ? - ?2+16=5,又 p 由已知得, AF ·AM =0,即 y2 0-8y0+16=0,因而 y0=4,M p,4 .由|MF|=5 得, ? ? ? p 2? >0,解得 p=2 或 p=8,故选 C. 3.从抛物线 x2=4y 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△MPF 的 面积为________. 1 解:由题意知,抛物线的准线方程为 y=-1,|PM|=|PF|=5,∴P 点的纵坐标为 4,∴S△MPF= ×5×4=10. 2 [类题通法] 1.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等 几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性. 2.求抛物线方程应注意的问题 (1)当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种; (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系; (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题. 考点二、抛物线的定义应用 【例 2】与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题角度有: ?1?动弦中点到坐标轴距离最短问题;?2?距离之和最小问题;?3?焦点弦中距离之和最小问题. 角度一 动弦中点到坐标轴距离最短问题 1.已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为( ) 3 3 A. B. C.1 D.2 4 2 解析:选 D 由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过点 A 作 AA1⊥l 交 l 于点 A1,过点 B 作 BB1⊥l 交 l 于点 B1, |AA1|+|BB1| 设弦 AB 的中点为 M,过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1,则|MM1|= .因为|AB|≤|AF|+|BF|(F 为抛物线的 2 焦点),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点 M 到 x 轴的距离 d≥2,选 D. 角度二 距离之和最小问题 2.已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+5=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________. 解析: 由题意知, 抛物线的焦点为 F(1,0). 点 P 到 y 轴的距离 d1=|PF|-1, 所以 d1+d2=d2+|PF|-1.易知 d2+|PF| |1+5| 的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d2+|PF|的最小值为 2 =3 2,所以 d1+d2 的最小值为 3 2-1. 1 +?-1?2 角度三 焦点弦中距离之和最小问题 3.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 y 轴垂线,垂足分别为 C、D, 则|AC|+|BD|的最小值为________. 解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小 值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2.答案:2 [类题通法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化. (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解. (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 考点三、直线与抛物线的位置关系

2015-2016 溆浦一中高三数学一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

2015-2016 溆浦一中高三数学一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

【例 3】已知曲线 y2=2px(p>0)在第一象限内与圆 x2+y2-4x+1=0 交于不同的两点 A,B. (1)求 p 的取值范围;(2)如果在 x 轴上只有一个点 M,使 MA⊥MB,求 p 的值及 M 的坐标. [解] (1)据题意知,p>0,x>0.设 A(x1, 2px1),B(x2, 2px2).把 y2=2px 代入 x2+y2-4x+1=0 得, Δ=4?p-2? -4>0, ? ? x2+2(p-2)x+1=0,x1,x2 是该方程的两不相等的正根,∴?x1+x2=-2?p-2?>0 ? ?x1x2=1>0, ∴p 的取值范围是(0,1).
2

? ?p<1或p>3, 即? ?p<2, ?

MB =x1x2-m(x1+x2)+m2+2p x1x2.把 x1x2=1, MB =m2-(4-2p)m+2p ∴ MA · x1+x2=4-2p 代入, 得 MA · 2 +1,∵MA⊥MB,∴m -(4-2p)m+2p+1=0,据题意该方程只有一个根,∴Δ′=(4-2p)2-4(2p+1)=0,即 -?4-2p? p2-6p+3=0,∴p=3- 6(∵p<1,舍去 p=3+ 6),此时 m=- = 6-1,即 M 的坐标为( 6-1,0). 2 |AB| 法二 设 AB 的中点坐标为(x0,y0).据题意,以线段 AB 为直径的圆恰好与 x 轴相切,即 y0= (此时 M 的横坐 2
2px1+ 2px2 2p x1+x2+2 x1x2 2p 6-2p = = = p?3-p?, |AB|2=(x1-x2)2+( 2px1- 2px2)2 2 2 2 2 2 2 =x1 +x2 2-2x1x2+2p(x1+x2-2 x1x2)=(x1+x2) -4x1x2+2p(x1+x2-2 x1x2)=(4-2p) -4+2p(2-2p) |AB| 2 2 =12(1-p),∴由 y0= 得 4y2 0=|AB| ,即 4p(3-p)=12(1-p),即 p -6p+3=0,∴p=3- 6(∵p<1,舍去 p 2 x1+x2 =3+ 6),此时 M 的横坐标为 x0= =2-p= 6-1,即 M 的坐标为( 6-1,0). 2 [类题通法] 求解直线与抛物线位置关系问题的方法 在解决直线与抛物线位置关系的问题时,其方法类似于直线与椭圆的位置关系.在解决此类问题时,除考虑 代数法外,还应借助平面几何的知识,利用数形结合的思想求解. 四、当堂检测 1.已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则抛物线 mx2=ny 的焦点坐标是( ) 1? 1 ? 1? 1 ? ? ? ? ? A.?0,2? B.?2,0? C.?0,4? D.?4,0? 1? 解:选 A 由题意知,2n=m+m+n 且 n2=m· mn,解得 m=2,n=4,故抛物线为 x2=2y,其焦点坐标为? ?0,2?. 2.设抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为 A,如果△APF 为正三角形,那 么|PF|等于( ) A.4 3 B.6 3 C.6 D.12 3 解析:选 C 设点 P 的坐标为(xp,yp),则|PF|=xp+ .过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M,则∠PFM=∠APF= 2 3? 3 ? 9 60° ,所以|PF|=2|MF|,即 xp+ =2?xp-2?,解得 xp= ,所以|PF|=6. 2 2 2 3.过抛物线 y =8x 的焦点 F 作倾斜角为 135° 的直线交抛物线于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 解析:选 D 抛物线 y2=8x 的焦点 F 的坐标为(2,0),直线 AB 的倾斜角为 135° ,故直线 AB 的方程为 y=-x+2, 代入抛物线方程 y2=8x,得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦 AB 的长|AB|=x1+x2+4=12+4=16. 4.设抛物线 x2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点, 则|AF|+|BF|=________. 解析:分别过点 A,B,P 作准线的垂线,垂足分别为 M,N,Q,根据抛物线上的点到焦 点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.答案:8 5.如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2, y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾 斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0).∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22= 2p×1,解得 p=2.故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1. y1-2 y2-2 (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 kPA= (x ≠1),kPB= (x ≠1), x1-1 1 x2-1 2 ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kP B.由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y2 1=4x1,① 标为 x0). y0=

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(2)法一 设 M 的坐标为(m,0),则 MA =(x1-m, 2px1), MB =(x2-m, 2px2),

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主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

y1-2 y2-2 2 y2 =- ,∴y1+2=-(y2+2).∴y1+y2=-4.由①-②得,y2 2=4x2,②∴ 1-y2=4(x1-x2), 1 2 1 2 y -1 y -1 4 1 4 2 y1-y2 4 ∴kAB= = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2 五、课后巩固: 1 1.抛物线 x2= y 的焦点 F 到其准线 l 的距离是( ) 2 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 4 1 1 1 解析:选 D 因为 2p= ,p= ,所以由抛物线的定义可知所求的距离为 . 2 4 4 2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( ) 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 4 p 2 解析:选 A 注意到抛物线 y =2px 的准线方程是 x=- ,曲线 x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16 是圆心为 2 p p ? (3,0),半径为 4 的圆.于是依题意有? ?2+3?=4.又 p>0,因此有2+3=4,解得 p=2,故选 A. 3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 p 解析:选 B 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题知抛物线的焦点坐标为 F( ,0),所以过焦点且斜率为 1 的直线方程 2 y1+y2 p p p 为 y=x- ,即 x=y+ ,将其代入抛物线方程得 y2=2px=2p(y+ )=2py+p2,所以 y2-2py-p2=0,所以 2 2 2 2 =p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x,准线方程为 x=-1,故选 B. x2 y2 4.已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛 7 9 物线上,且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 解析:选 D 由题可知抛物线焦点坐标为 F(4,0).过点 A 作直线 AA′垂直于抛物线的准线,垂足为 A′,根据 抛物线定义知,|AA′|=|AF|,在△AA′K 中,|AK|= 2|AA′|,故∠KAA′=45° ,所以直线 AK 的倾斜角为 45° , 直线 AK 的方程为 y=x+4,代入抛物线方程 y2=16x 得 y2=16(y-4),即 y2-16y+64=0,解得 y=8.所以△AFK 1 为直角三角形,故△AFK 的面积为 ×8×8=32. 2 5.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点的坐标 为(2,2),则直线 l 的方程为________. 解析:由于抛物线的焦点坐标为(1,0),所以抛物线的方程为 y2=4x.显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题 ? ?y=kx+?2-2k?, 意,故设直线 l 的方程为 y-2=k(x-2),其中 k≠0,联立方程得? 2 消去 y 得 k2x2+[4k(1-k)- ?y =4x, ? 2 4 k - 4 k + 4 4]x+4(1-k)2=0,显然 =2,解得 k=1.故直线 l 的方程为 y=x.答案:y=x 2k2 ??? ? ??? ? 1 AC 6. 已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G: x2=2py(p>0)相交于 B, C 两点. 当直线 l 的斜率是 时, =4 AB . 2 (1)求抛物线 G 的方程;(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 1 解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率为 时,l 的方程为 y= (x+4),即 x=2y-4. 2 2
2 ? ? ? ?x =2py, 2 ? 由 得 2y -(8+p)y+8=0,∴? 8+p ?x=2y-4, ? , ?y1+y2=

y1y2=4,

① ②

又∵ AC =4 AB ,∴y2=4y1,③由①②③及 p>0 得:y1=1,y2=4,p=2,则抛物线 G 的方程为 x2=4y. ?x2=4y, ? (2)设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0),由? 得 x2-4kx-16k=0,④ ? y = k ? x + 4 ? , ?

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2015-2016 溆浦一中高三数学一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3

x1+x2 1 ∴x0= =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.∴线段 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=- (x-2k), 2 k 2 2 ∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为:b=2k +4k+2=2(k+1) ,对于方程④,由 Δ=16k2+64k>0 得 k>0 或 k<-4.∴b∈(2,+∞).故 b 的取值范围为(2,+∞). 7.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A,B 两点. (1)如果直线 l 过抛物线的焦点, 求 OA · OB 的值;(2)如果 OA · OB =-4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点. 解:(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设 l:x=ty+1,代入抛物线 y2=4x,消去 x 得 y2-4ty-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4,∴ OA · OB =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2 =t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3. (2)证明:设 l:x=ty+b 代入抛物线 y2=4x,消去 x 得 y2-4ty-4b=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4b,∴ OA · OB =x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 =-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令 b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2. ∴直线 l 过定点(2,0).∴若 OA · OB =-4,则直线 l 必过一定点(2,0). 1 2 ? 8.在直角坐标系 xOy 中,点 M? ?2,-2?,点 F 为抛物线 C:y=mx (m>0)的焦点,线段 MF 恰被抛物线 C 平分. (1)求 m 的值;(2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,设直线 FA,FM,FB 的斜率分别为 k1,k2,k3,问 k1,k2,k3 能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线 l 的方程;若不能,请说明理由. 1 1 1 0, ?,线段 MF 的中点 N?1, - ?在抛物线 C 上, 解:(1)由题得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为? ? 4m? ? 8m 4? 1 1 1 1 2 ∴ - =m,8m +2m-1=0,∴m= (m=- 舍去). 8m 4 4 2 1 (2)由(1)知抛物线 C:x2=4y,F(0,1).设直线 l 的方程为 y+ =k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2), 2 1 ? ?y+2=k?x-2?, 2- 6 2+ 6 由? 得 x2-4kx+8k+2=0,Δ=16k2-4(8k+2)>0,∴k< 或 k> . 2 2 2 ? ?x =4y,
?x1+x2=4k, ? 由根与系数的关系得? 假设 k1,k2,k3 能成公差不为零的等差数列,则 k1+k3=2k2. ? ?x1x2=8k+2, x2x2 x1x2 x1x2 ? 1 2 + -x2-x1 ? 4 4 ? 4 -1??x1+x2? y1-1 y2-1 x2y1+x1y2-x2-x1 而 k1+k3= + = = = = x1 x2 x1x2 x1x2 x1x2 1 ?8k+2-1?· - -1 2 ? 4 ? 4k 4k2-k 4k2-k 3 3 1 = ,k2= =- ,∴ =- ,8k2+10k+3=0,解得 k=- (符合题意)或 k= 4 2 2 8k+2 4k+1 2-0 4k+1 3 1 1 - (不合题意,舍去).∴直线 l 的方程为 y+ =- (x-2),即 x+2y-1=0. 4 2 2 ∴k1,k2,k3 能成公差不为零的等差数列,此时直线 l 的方程为 x+2y-1=0.

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2015-2016 溆浦一中高三数学一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/3


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