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第一节平均变化率


平均变化率

世界充满着变化,有些变化几乎 不被人们察觉,而有些变化却让人 们感叹与惊讶!

欣赏

情景引入一
银杏树 雨后春笋

树高:15米 树龄:1000年

高:15厘米 时间:两天

问题:那一株植物生长速度快?

情景引入二
在经营某商品中,甲用5年时间 挣到10万元,乙用5个月时间挣到2 万元,如何比较和评价甲,乙两人 的经营成果?

情境三:汽车加速性能的测定

保时捷911

vs

法拉利360

品牌号型

保时捷911

法拉利360

图片

加速时间(s) 0-100km/h

4.1

4.5

速度变化越快,汽车的加速性就越好。 什用么数学表达式来描述汽车的速度变化的快慢?

自主学习
1.(用三分钟时间)自主学习课本 P51页的实例分析1,思考我们用什么 量来衡量物体运动快慢?
2. (用五分钟时间)自主学习课本 P51-52页的实例分析2,思考我们用什 么量来衡量体温的变化快慢?

合作探究
阅读课本P52页的抽象概括,并四个 人一组合作探究如下问题:

(1)求函数平均变化率的计算步骤。
(2)函数平均变化率的几何意义。

平均变化率

一般地,函数 f ( x)在区间上

[ x1 , x2 ]的平均变化率为

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2
现实化

作用:

平均变化率
数量化

变化快慢

(1)函数在 注意点:

x1及 x

2

处有意义

x1 ? ( 2)

x

2

可正,可负但不为零

点拨精讲
1、平均变化率的计算步骤:
①计算 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ③计算
y B(x2,f(x2))

②计算 ?x ? x2 ? x1 的比值

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

2 平均变化率的几何意义:
f(x2)-f(x1) =△y
x

A(x1,f(x1)) 0

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? x2 ? x1 ?x

x2-x1 =△x

曲线 y ? f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、 ( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率

平均变化率 一般地,函数
的平均变化率为:

f ( x)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

在 [ x1 , x2 ] 区间上

数学 应用

某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分

别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重
的平均变化率,分析增重快慢
W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 0 3 6 12

实际意义 婴儿出生后,体
重的增加是先快 后慢

解: 婴儿从出生到第3个月的平均变化率是:
6.5 ? 3.5 ?1 3?0 婴儿从第6个月到第12个月的平均变化率是: 11 ? 8.6 ? 0.4 12 ? 6
T(月)

当堂训练

(课本53页练习)某人服药物情况可以用血液中的药物 质量浓度c(单位:mg/mL)来表示,它是时间t(单位:min) 的函数,表示为c=c(t).下表给出了c(t)的一些函数值:
t 0 10 20 0.94 30 40 50 60 70 80 90 0.63 100 0.41

c(t) 0.84 0.89

0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79

1.求服药30min内,30-40min,80-90min这3段时间 内,药物质量浓度的平均变化率,并回答:哪段时间血 液中药物的质量浓度变化最快? 2、如何刻画药物质量浓度变化的快慢?

例2 、已知函数f(x)=2x+1,g(x)= -2 x,分别计算 在区间[-3,-1],[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均率。
解:函数f(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为
[2 ? (?1) ? 1] ? [2 ? (?3) ? 1] 2 2 同理, 函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为 2;
f (?1) ? f (?3) (?1) ? (?3)

函数g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为-2;
函数g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为-2. [结论]:一次函数y = kx + b在区间[p , q]上的平均变化率 为直线的斜率k.

变式探究 向高为H的水瓶中注水,注满 为止,如果注水量y与水深x的 函数关系的图像如图所示,那 么水瓶的形状…………( B )

y

O

H

x

进一步探究 向如图甲的水瓶中注水,表示水深x与注水量y 之间的函数关系的图像如图乙所示。 甲

y

y

y

y


O (1)
xO (2) x

O
(3)

x O

(4)

x

课后小结
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1、平均变化率计算: ?x x2 ? x1

2、平均变化率的几何意义:
曲线 y ? f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、 ( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率

课后欣赏
青蛙扔进一锅热水

青蛙扔进一锅冷水水后慢慢加热

作业:p57 p65

2, 3 习题1


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