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洛必达法则巧解高考压轴题


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 王霖普
求证:不等式 e ? x ? 1 恒成立.
x

对于 x ??0, ??? ,不等式 e ? ax ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
x

方法一:讨论假设 方法二:洛必达法则

1.2006 年全国 2 理 设函数 f(x)=(x+1)l

n(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立, 求实数 a 的取值范围. ( ? ?,1 ]。

2.2006 全国 1 理 已知函数 f ? x ? ?

1 ? x ? ax e . 1? x

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围.

a ? ?? ?,2?

3.2007全国1理 设函数 f ( x) ? e ? e .
x ?x

(Ⅰ)证明: f ( x ) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.

2? ? ?∞,

1

4.2008全国2理 设函数 f ( x) ?

sin x . 2 ? cos x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围. (a ?

1 .) 3

5.辽宁理 设函数 f ( x) ?

ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x

⑴求 f ( x ) 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) …a 的解集为 (0, ?? ) ? 若存在,求 a 的取值范 围;若不存在,试说明理由.

6.2010新课标理 设函数 f ( x) = e ? 1 ? x ? ax .
x 2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)若当 x≥0 时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围.

1? ? ? ??, ? 2? ?

2

7.2010新课标文 已知函数 f ( x) ? x(e x ?1) ? ax2 . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? ?1 时有极值,求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. ( a ? 1 .) 由洛必达法则有

lim g ( x) ? lim
x ?0

ex ?1 ex ? lim ? 1 , x ?0 x ?0 1 x

即当 x ? 0 时, g ( x) ? 1 所以 g ( x) ? 1 ,即有 a ? 1 . 综上所述,当 a ? 1 , x ? 0 时, f ( x) ? 0 成立.

8.2010全国大纲理 设函数 f ( x) ? 1 ? e . (Ⅰ)证明:当 x ? ?1 时, f ( x ) ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ( x) ?
?x

x ; x ?1

x 1 ,求 a 的取值范围. (??, ] . ax ? 1 2

3

9.2011新课标理 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; ( Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 利用洛必达法则处理如下: II)由题设可得,当 x ? 0, x ? 1 时,k<

ln x k ? , 求 k 的取值范围. (- ? ,0] x ?1 x

2 x ln x ? 1 恒成立。 1 ? x2

由洛必达法则知

limg ? x ? ? 2lim 1 ? x
x ?1 x ?1

x ln x
2

? 1 ? 2lim
x ?1

1 ? ln x ? 1? ?1 ? 2? ? ? ? ?1 ? 0 ?2 x ? 2?

? k ? 0 ,即 k 的取值范围为(- ? ,0]

4


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