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高三第一轮复习:函数的概念和性质


函数的概念和性质
[基础知识梳理] 一、函数的概念与表示
1、映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个元素,在集合 B 中都有 唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映 射,记作 f:A→B。 注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是

映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射 2、函数:设 X 是一个非空数集, Y 是非空数集 , f 是个对应法则 , 若对 X 中的每个 x ,按对应法 则 f ,使 Y 中存在唯一的一个元素 y 与之对应 , 就称对应法则 f 是 X 上的一个函数,记作 y= f ( x ), 称 X 为函数 f( x )的定义域,集合 {y|y=f( x ),x ∈ R} 为其值域(值域是 Y 的子集),x 叫做自变量, y 叫做因变量,习惯上也说 y 是 x 的函数。 构成函数概念的三要素 错误!未找到引用源。定义域错误!未找到引用源。对应法则错误!未找到引用 源。值域 两个函数是同一个函数的条件: 定义域和对应法则相同 1、下列各对函数中,相同的是 A、 f ( x) ? lg x 2 , g ( x) ? 2 lg x C、 f (u ) ? B、 f ( x) ? lg ( )

x ?1 , g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1) x ?1

2、 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有 ( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

1? u 1? v , g (v ) ? 1? u 1? v

D、f(x)=x, f ( x) ?

x2

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; 6.函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3x) 的定义域为

1

2 求函数定义域的两个难点问题 (1) 已知f( x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

(2) 已知f(2 x- 1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域

例 2 设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为__________ 2? x 2 x

变式练习: f (2 ? x) ?

4 ? x 2 ,求 f ( x ) 的定义域。

三、函数的值域
1 求函数值域的方法 ①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数; ②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式; ③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出 y 的取值范围;适合分母为二次且 x ∈R 的分式; ④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图); ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥图象法:二次函数必画草图求其值域; ⑦利用对号函数 ⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1.(直接法) y ?

1 x ? 2x ? 3
2

2 2. f ( x ) ? 2 ? 24 ? 2 x ? x

3.(换元法) y ? ? x ? 2x ? 1

4. (Δ 法) y ?

3x x ?4
2

2

5. y ?

x2 ?1 x2 ?1

6. (分离常数法) ① y ?

x x ?1

②y?

3x ? 1 (?2 ? x ? 4) 2x ?1

7. (单调性) y ? x ?

3 ( x ? [?1,3]) 2x

8.① y ?

1 ,② y ? x ? 1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1

(结合分子/分母有理化的数学方法)

9.(图象法) y ? 3 ? 2 x ? x (?1 ? x ? 2)
2

10.(对号函数) y ? 2 x ?

8 ( x ? 4) x

11. (几何意义) y ? x ? 2 ? x ?1

四.函数的奇偶性
1.定义: 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? f ( x) ,则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 y=f(x)为奇函数。 2.性质: ①y=f(x)是偶函数 ? y=f(x)的图象关于 y 轴对称, y=f(x)是奇函数 ? y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则 f(0)=0 ③奇± 奇=奇 偶± 偶=偶 奇× 奇=偶 偶× 偶=偶 奇× 偶=奇[两函数的定义域 D1 ,D2,D1∩D2 要关于原点对称] 3.奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 ②看 f(x)与 f(-x)的关系

3

1 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则 当

x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?

.

2 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

3 已知 f ( x) 在(-1,1)上有定义,且满足 x, y ? (?1,1)有f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ), 1 ? xy

证明: f ( x) 在(-1,1)上为奇函数;

4 若奇函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______

五、函数的单调性
4

1、函数单调性的定义:如果函数 y=f (x)对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2, 当 x1<x2 时,①都有 f(x1)<f(x2), 则称 f (x)在这个区间上是增函数, 而这个区间称函数的一个 增区间 ; ②都有 f(x2)<f(x1) ,则称 f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 减区间 . 2 设 y ? f ?g ?x ?? 是定义在 M 上的函数,若 f(x)与 g(x)的单调性相反,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是减函数;若 f(x)与 g(x)的单调性相同,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是增函数。 1 判断函数 f ( x) ? ? x 3 ( x ? R) 的单调性。

2 例 函数 f ( x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , ⑴求证: f ( x) 在 R 上是增函数; ⑵若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a ? a ? 5) ? 2
2

3 函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调增区间是________

4( 高 考 真 题 ) 已 知 f ( x) ? ? ( )

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上 的 减 函 数 , 那 么 a 的 取 值 范 围 是 ? log a x, x ? 1
(C) [ , )

(A) (0,1)

(B) (0, )

1 3

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

六.函数的周期性:
1.(定义)若 f ( x ? T ) ? f ( x)(T ? 0) ? f ( x) 是周期函数,T 是它的一个周期。 说明:nT 也是 f ( x) 的周期 (推广)若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期 对照记忆

5

f ( x ? a) ? f ( x ? a) 说明: f (a ? x) ? f (a ? x) 说明:

2.若 f ( x ? a) ? ? f ( x) ; f ( x ? a) ?

1 1 ; f ( x ? a) ? ? ;则 f ( x) 周期是 2 a f ( x) f ( x)

1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1 (B) 0 (C) 1

(D)2

2 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) , 满 足 f (2 ? x ) ? f (2 ? x) , 在 区 间 [ -2,0 ] 上 单 调 递 减 , 设
a ? f (?1.5), b ? f ( 2), c ? f (5) ,则 a , b, c 的大小顺序为_____________

3 已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ? f (2005)= .

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 1 ? f ( x)

4 已知 f ( x) 是(- ?, 当 0 ? x ? 1 时, f(x)=x, 则 f(7.5)=________ ? ? )上的奇函数,f (2 ? x) ? ? f ( x) , 例 11 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当 x ? [0,2] 时

f ( x) ? 2x ? x 2
⑴求证: f ( x) 是周期函数; ⑵当 x ? [2,4] 时,求 f ( x) 的解析式; ⑶计算:

七、反函数 1.只有单调的函数才有反函数;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域; 2、求反函数的步骤 (1)解 (2)换 (3)写定义域。

6

3、关于反函数的性质 (1)y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; (2)y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性; (3)已知 y=f(x),求 f-1(a),可利用 f(x)=a,从中求出 x,即是 f-1(a); (4)f-1[f(x)]=x; (5)若点 (a,b)在 y=f(x)的图象上,则 (b,a)在 y=f--1(x)的图象上; (6)y=f(x)的图象与其反函数 y=f--1(x)的图象的交点一定在直线 y=x 上; 1 设函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) ,且 y ? f (2 x ? 1) 的图像过点 ( ,1) ,则 y ? f ?1 ( x) 的 图像必过 (A) ( ,1)

1 2

1 2

(B) (1, )

1 2

(C) (1, 0)

(D) (0,1)

高考试题
x 1.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? ( a ? 0,且a ? 1 )

A. log2 x
2

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x?2

2.若函数 f ( x) ? x ?

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x
21 世纪教育网



A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 3 为了得到函数 y ? lg

B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数

D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数 )

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点( 10

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 4.函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y

). y y 1 x O D 1 x

y 1 O 1 x 1

1 O1 x O 1

A

B

C

7

5.)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? B. -2 C.1 D. 2

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f(3)的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

)

A.-1

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) 7.函数 y= ? x (x ? 0)的反函数是 (A) y ? x2 (x ? 0) (B) y ? x2 (x ? 0) 8 函数 y= y ? log 2 (B) y ? ? x2 (x ? 0) (D) y ? ? x2 (x ? 0) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

).

2? x 的图像 2? x
(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称

(A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 9.设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 (A) a ? b ? c 21.设 ,函数 (B) a ? c ? b

(C) c ? a ? b

(D) c ? b ? a

的图像可能是

【解析】可得 x ? a, x ? b为y ? ( x ? a) ( x ? b) ? 0 的两个零解.
2

当 x ? a 时,则 x ? b ? f ( x) ? 0 当 a ? x ? b 时,则 f ( x) ? 0, 当 x ? b 时,则 f ( x) ? 0. 选 C。 22.函数 y ? A. [?4,1]

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x B. [?4, 0) C. (0, 1]

D. [?4, 0) ? (0, 1]

8

【解析】由 ?

?
2

x?0

?? x ? 3x ? 4 ? 0

得 ?4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D.

23. )已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时, ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 f ( x) ? log2 ( x ? 1 ) A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

2 【解析】 f (?2008) ? f (2009) ? f (0) ? f (1) ? log1 2 ? log2 ? 1,故选 C.

29.(2009 天津卷文)设 a ? log1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

1 2

0.3

,则

A a<b<c B a<c<b

C b<c<a

D b<a<c

30.(2009 天津卷文)设函数 f ( x ) ? ? A

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
C (?1,1) ? (3,??) D (??,?3) ? (1,3)

(?3,1) ? (3,??)

B (?3,1) ? (2,??)

【解析】由已知,函数先增后减再增 当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【答案】A 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 33.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A.
x ?1

( x ? R) 的反函数是
B. y ? log2 ( x ? 1)(x ? 1) D. y ? log2 ( x ? 1)(x ? ?1)

y ? 1 ? log2 x( x ? 0)

C. y ? ?1 ? log2 x( x ? 0)

【答案】C【解析】由 y ? 2 x?1 ? x ? 1 ? log2 y ? x ? ?1 ? log2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,∴其反 函数是 y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) 34.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 5 A. 0 B. C. 1 D. 2 2 1? x 1 f ( x) ,取 x ? ? ,则有: 【解析】若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ? x 2

9

1 1 1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) (∵ f ( x) 是偶函数,则 f (? 1 ) ? f ( 1 ) )由此 f ( ) ? f (? ? 1) ? 1 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 3 1 1? 1? 1 5 3 3 5 3 5 1 5 2 f ( ) ? f ( ) ? f ( ? 1) ? [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 得 f ( ) ? 0 于是, f ( ) ? f ( ? 1) ? 3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 。 2 2 1?
39.(2009 湖南卷文)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .
取函数 f ( x) ? 2 A . (??, 0) 解: 函数 f ( x) ? 2
?x

?x

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为【 C 】 2
C . (??, ?1) D . (1, ??)

B. (0, ??)

1 x 1 ? ( ) ,作图易知 f ( x ) ? K ? ? x ? (??, ?1] ? [1, ??) , 2 2

故在 (??, ?1) 上是单调递增的,选 C. 42. ( 2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) 满足: x≥4, 则 f ( x) = ( ) ;当 x < 4 时 f ( x) = f ( x ? 1) ,则
x

1 2

f (2 ? log2 3) =
(A)

1 24

(B)

1 12

(C)

1 8

(D)

3 8

【解析】∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴ f (2 ? log2 3) =f(3+log23)

1 1 1 1 1 log 1 3 1 1 1 = ( )3?log2 3 ? ? ( )log2 3 ? ? ( ) 2 ? ? ? 2 8 2 8 2 8 3 24
43.(2009 辽宁卷文)已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A)(

1

1 3

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

46.(2009 陕西卷文)函数 f ( x) ? 2x ? 4( x ? 4) 的反函数为

10

1 2 x ? 4( x ? 0) 2 1 2 ?1 (C) f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 2
(A) f
?1

( x) ?

1 2 x ? 4( x ? 2) 2 1 2 ?1 (D) f ( x) ? x ? 2( x ? 2) 2
(B) f
?1

( x) ?

学科

答案:D. 解析:令原式
?1 故 f ( x) ?

y ? f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 2)
故选 D.

1 2 x ? 2( x ? 2) 2

y2 ? 4 y2 ? ?2 则 y ? 2 x ? 4,即x ? 2 2
2

47. ( 2009 陕 西 卷 文 ) 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) , 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1
(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3) (B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

解析:由 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 等价,于

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 则 f ( x) 在 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) 上单调 x2 ? x1
*

递增 , 又 f ( x ) 是偶函数 , 故 f ( x ) 在 x1 , x2 ? (0, ??]( x1 ? x2 ) 单调递减 . 且满足 n ? N 时 , f (?2) ? f (2) ,

3>2 ? 1 ? 0 ,得 f (3) ? f (?2) ? f (1) ,故选 A.
49.(2009 陕 西 卷 理 ) 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) , 有

( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 .则当 n ? N * 时,有
(A) f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) (C) (C) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ?1) 答案:C (B) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) (D) f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

解析:x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 ? x2 ? x1时,f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在( ??, 0]为增函数 f ( x)为偶函数 ? f ( x)在(0, ? ?]为减函数 而n+1>n>n-1>0,? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)
52.(2009 全国卷Ⅰ文)已知函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x)=+ 1 2lgx ? x>0? ,则 f (1) ? g(1) ? 0 (B)1 (C)2 (D)4 (A)

【解析】本小题考查反函数,基础题。解:由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f (1) ? 1 ,又 g(1) ? 1 ,所以

f (1) ? g(1) ? 2 ,故选择 C。

11

53.(2009 湖北卷文)函数 y ? A. y ? C. y ?
1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ) 1 ? 2x 2

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 的反函数是 1 ? 2x 2

B. y ? D. y ?

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? 2x 2

1? x ( x ? R, 且x ? 1) 2(1 ? x)

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) 2(1 ? x)

【解析】可反解得 x ? x∈R、x≠-1 选 D

1? x 1? y 1? x ?1 且可得原函数中 y∈R、y≠-1 所以 f ( x ) 且 故f ?1 ( x ) 2(1 ? x ) 2(1 ? y ) 2(1 ? x )

61.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x 解析 解析 由 y ? B. f ( x ) ?

1 有相同定义域的是 x
D. f ( x) ? e
x

1 x

C. f ( x) ?| x |

1 1 可得定义域是 x ? 0. f ( x) ? ln x 的定义域 x ? 0 ; f ( x ) ? 的定义域是 x ≠ 0 ; x x

f ( x) ?| x | 的定义域是 x ? R; f ( x) ? e x 定义域是 x ? R 。故选 A.
62. (2009 福建卷文) 定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示, 则在 ? ?2,0 ? 上, 下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 A. y ? x 2 ? 1 B. y ?| x | ?1 C. y ? ?

?2 x ? 1, x ? 0
3 ? x ? 1, x ? 0
x ? ?e , x ? o ?x ? ?e , x ? 0

D. y ? ? 解析

解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在 ? ?2,0 ? 上单调递减,注意到要与

f ? x ? 的单调性不同,故所求的函数在 ? ?2,0? 上应单调递增。而函数 y ? x2 ? 1 在 ? ??,1? 上递减;函数
?2 x ? 1, x ? 0 函数 y ? ? 3 在 ( ? ?,0] 上单调递减, 理由如下 y’=3x2>0(x<0), y ? x ?1 在 ? ??,0? 时单调递减; ? x ? 1, x ? 0
故函数单调递增,显然符合题意;而函数 y ? ? 不符合题意,综上选 C。 63.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ?
x
x ? ?e , x ? 0 ?x ,有 y’=- e <0(x<0),故其在( ? ?,0] 上单调递减, ?x ? ?e , x ? 0

12

可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 B. f ? x ? ? ( x ?1)2 解析 C. f ? x ? ? ex ?1 D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

f ? x ? ? 4x ?1 的 零 点 为 x=

1 , f ? x ? ? ( x ?1)2 的 零 点 为 x=1, f ? x ? ? ex ?1 的 零 点 为 x=0, 4

3 1 1? ? f ? x ? ? In ? x ? ? 的零点为 x= .现在我们来估算 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点,因为 g(0)= -1,g( )=1,所以 2 2 2? ?
g(x) 的零点 x ? (0,

1 ), 又函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25 ,只有 2

f ? x ? ? 4x ?1 的零点适合,故选 A。
64. 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是 A. f ( x ) =

1 x

2 B. f ( x) = ( x ? 1)

C . f ( x) = e

x

D f ( x) ? ln( x ? 1)

[解析]依题意可得函数应在 x ? (0, ??) 上单调递减,故由选项可得 A 正确。 65.(2009 重庆卷文)把函数 f ( x) ? x ? 3x 的图像 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移 v 个单位长度后
3

得到图像 C2 .若对任意的 u ? 0 ,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则 v 的最小值为( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8



解析根据题意曲线 C 的解析式为 y ? ( x ? u)3 ? 3( x ? u) ? v, 则方程 ( x ? u)3 ? 3( x ? u) ? v ? x3 ? 3x ,即

1 1 3ux2 (u3 ? 3u ? v) ? 0 , 即 v ? ? u 3 ? 3u 对 任 意 u ? 0 恒 成 立 , 于 是 v ? ? u 3 ? 3u 的 最 大 值 , 令 4 4 1 3 3 g (u ) ? ? u 3 ? 3u (u ? 0), 则 g ((u ) ? ? u 2 ? 3 ? ? (u ? 2)(u ? 2) 由此知函数 g (u ) 在 (0, 2) 上为增函数, 4 4 4
在 (2, ??) 上为减函数,所以当 u ? 2 时,函数 g (u ) 取最大值,即为 4,于是 v ? 4 ,B 66.(2009 上海卷文) 函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_____________. 【解析】由 y=x3+1,得 x= 3 y ? 1 ,将 y 改成 x,x 改成 y 可得答案 3 x ? 1 。

?3x , x ? 1, 67.(2009 北京文)已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,
.w.w.k.s.

.

13


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