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2.1.2指数函数---有答案


2.1.2 指数函数及其性质
一、新课教学 (一)指数函数的概念 一 般 地 , 函 数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫 做 指 数 函 数 (exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的定义 域为 R. 1 指数函数的定义是一个形式定义,要引 注意:○ 导学生辨析; 2 注意指数函数的底数的取值范围,引导 ○ 学生分析底

数为什么不能是负数、零和 1. ③ 从其定义上可以看出,需要讨论参数 a 对函数性质的影响 (二)指数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出 研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的 性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性. 探索研究: 1. 在同一坐标系中画出下列函数的图象:

对于指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 总有 f (1) ? a

5. 已 知 指 数 函 数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 图 像 经 过

(3, ? ) ,求 f (0), f (1), f (?3) .
1, 3 ? , 1

?
, 且 . , 则

6. 已 知

7. 若指数函数

的图象经过点(2,4),则函数的

解析式为 . 8. 已知错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。为常数)的图象经过点(2,1), 则错误!未找到引用源。的值域为

问题:你能根据本例说明怎样利用指数函数的性 质判断两个幂的大小?
观察指数函数 ( ,且 )图象的走

1 x (1) y ? ( ) 3 1 x (2) y ? ( ) 2
(3) y ? 2 (4) y ? 3 (5) y ? 5
x

势和特征,回答下列问题:

x

x

底数大于 1 和小于 1 的区别 2. 从画出的图象中你能发现函数 y ? 2 的图象和函数
x

1 y ? ( ) x 的图象有什么关系?可否利用 y ? 2 x 的图 2 1 x 象画出 y ? ( ) 的图象?------从运算律的角度解释 2
3. 从画出的图象( y ? 2 、 y ? 3 和 y ? 5 )中,你能
x x x

(l)请根据图象填空:(填“>”“=”“<”中的任一个) ①当 ②当 9. 比较数值大小 时,若 时, 若 ,则 , 则 ____ ____ . .

发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律? 底数越大, 在(-∞,0)增长越慢,且图像靠下方, 在[0,+ 无穷大)增长越快,且图像靠上方 4. 你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性 质吗?

1.72.5 和1.73 30.8 和30.7

?0 . 1 0. 3 3. 1 0.8 和 0 ?. 80 . 2 1 . 7 和 0.9 0. 1 0. 1 0 . 7?5 和 0.7 5

1.012.7 和1.013.5

. 3 4. 5 0 . 939 和 0.9 9

10. 设错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,错 误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。的大小关 系是 11. 根据条件,比较m, n的大小

2m ? 2n

0.2m ? 0.2n

am ? an ( 0? a ? 1 )

a m ? a n (a ? 1 )

22.

1 , 讨论函数的单调性和值域 2x 1 f ( x) ? x , 讨论函数的单调性和值域 2 +1 2x ? 1 f ( x) ? x , 讨论函数的单调性和值域 2 +1 a x ?1 f ( x) ? x , 讨论函数的单调性和值域 a +1 f ( x) ?

12. 比较错误! 未找到引用源。 与错误! 未找到引用源。 且错误!未找到引用源。) 13. 已知-1<a<0,则三个数错误!未找到引用源。由小 到大的顺序是 __ (2)结合上图思考,当 与 满足什么条件时, 立? 成

14. 函数

的定义域是

1 不等式( ) x ? 3的解集是? 3 15.
16. 函数错误!未找到引用源。的定义域是 17. 解不等式a
2 x ?7

综合类问题: 23. 指数函数 y= b· ax 在[b,2]上的最大值与最小值的和 为 6,则 a=( ) A.2 或-3 B.-3 1 C.2 D.- 2 x 解析: ∵函数 y=b· a 为指数函数,∴b=1 当 a>1 时,y=ax 在[1,2]上的最大值为 a2,最小值 为 a, 则 a2+a=6,解得 a=2 或 a=-3(舍); 当 0<a<1 时, y=ax 在[1,2 ]上的最大值为 a, 最小值 2 2 为 a ,则 a+a =6,解得 a=2(舍)或 a=-3(舍) 综上可知,a=2. 答案: C
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? a4 x?1 (a ? 0, 且a ? 1)

24. 已知函数错误!未找到引用源。在[1,2]上的最大值 与最小值之和为 20,记错误!未找到引用源。. (1)求 a 的值; (2)证明错误!未找到引用源。; (3)求错误!未找到引用源。的值. (1)函数错误!未找到引用源。(a>0 且 a≠1)在[1,2]上 的最大值与最小值之和为 20,

y1 ? a3 x ?1 , y2 ? a ?2 x , (a ? 0, 且a ? 1),
18. 解方程y1 ? y2 , 解不等式y1 ? y2 19. 比较错误! 未找到引用源。 与错误! 未找到引用源。 且错误!未找到引用源。)的大小 讲解:在[a,b]上, f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1)
x

∴错误!未找到引用源。,得 a=4 或 a=-5(舍去). (2)由(1)知错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。

值域是 [ f (a), f (b)] 或 [ f (b), f (a)] ; 20. 求下列函数的定义域

f ( x) ? 3

x2 ? 2 x

x ?1 f ( x )? 2

x

f ( x) ? 2 ? 1
x

f ( x) ?

x2 ? x ? 2 4 x ? 16

错误!未找到引用源。. (3)由(2)知错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,

函数错误!未找到引用源。的定义域为 21. 求下列函数的值域

f ( x) ? 10? x ?2 x?3

2

f ( x )?

x 4 ? ?6 x 2 ?

10

错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。

函数错误!未找到引用源。的值域是

错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。; 所以错误!未找到引用源。在其定义域上为减函数. (3)错误!未找到引用源。; =1+1+…+1=1006. 因为错误! 未找到引用源。 , 所以错误! 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。; 所以错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 25. 已知错误!未找到引用源。为定义在错误!未找到 引用源。上的奇函数,当错误!未找到引用源。时, 数错误!未找到引用源。. (1)求错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上 的解析式; (2)求函数错误!未找到引用源。的值域. (1)因为 f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数,所以对于任 意的 x∈(-1,1)都有 f(-x)=-f(x).据此一方面可由 x ∈(0, 1)时的函数解析式求 x∈(-1, 0)时的函数解析式, 另一方面可以根据 f(x)为奇函数求得 f(0)=0.(2)求函数 f(x)的值域时, 可以用换元法, 设错误! 未找到引用源。 , 先求 t 的取值范围,再求错误!未找到引用源。的取值 范围. (1)设-1<x<0,则 0<-x<1, 错误!未找到引用源。. ∵f(x)是定义在(错误! 未找到引用源。 1, 1)上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0, ∴错误!未找到引用源。. 故错误!未找到引用源。 (2)设错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。. ∵0<x<1,∴-1<t<0.∴错误!未找到引用源。. ∵f(x)是奇函数, ∴-1<x<0 时, 错误! 未找到引用源。 . 故函数 f(x)的值域为错误!未找到引用源。. 最后总结一波性质 图象特征 28. 已知函数 f(x)=a1 3x(a>0,且 a≠1). (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性. 1 - 解析: (1)当 1-3x=0,即 x= 时,a1 3x=a0=1. 3 1 ? 所以,该函数的图象恒过定点? ?3,1?. (2)∵u=1-3x 是减函数, ∴当 0<a<1 时,f(x)在 R 上是增函数; 当 a>1 时,f(x)在 R 上是减函数.


所以错误!未找到引用源。. 所以错误!未找到引用源。的值域是错误!未找到引用 源。.

27. 若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞) 上是增函数,求 a. - 解析: 当 a>1 时,有 a2=4,a 1=m,此时 a= 2, 1 m= , 此时 g(x)=- x为减函数, 不合题意. 若 0<a<1, 2 1 1 - 则 a 1=4,a2=m,故 a= ,m= ,检验知符合题意. 4 16

a ?1

0 ? a ?1

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方

26. 已知错误!未找到引用源。. (1)判断错误!未找到引用源。的奇偶性; (2)证明错误!未找到引用源。在其定义域上为减函数; (3)求错误!未找到引用源。的值域. (1)错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。是奇函数; (2)证明:令错误!未找到引用源。; 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的 图象纵坐标都大 于1 在第二象限内的 图象纵坐标都小 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的 图象纵坐标都小 于1 在第二象限内的 图象纵坐标都大

于1

于1

图象上升趋势是 越来越陡

图象上升趋势是 越来越缓

函数性质

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1

函数值开始增长 函数值开始减小 较慢,到了某一值 极快,到了某一值 后增长速度极快; 后减小速度较慢;


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