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江苏省扬州市高邮二中2014-2015学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省扬州市高邮二中高二(上)9 月月考数学 试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.下列图形中,不一定是平面图形的是 . (填序号) ①三角形;②菱形;③梯形;④四边相等四边形. 2.两条异面直线所成的角为θ,则θ的取值范围是 .

3.梯形 ABCD

中 AB∥CD,AB? 平面α,CD? 平面α,则直线 CD 与平面α内的直线的位置关 系 . 4.若直线 a⊥b,且 a∥平面α,则直线 b 与平面α的位置关系 5.已知 a,b 是两条异面直线,直线 c∥a,那么 c 与 b 的位置关系是 . .

6.若空间四边形两条对角线的长度分别是 6 和 8,所成角是 45°,则连接各边中点所得四 边形的面积是 . 7.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的 .

8.△ABC 所在平面α外一点 P 到三角形三顶点的距离相等,那么点 P 在α内的射影一定是 △ABC 的 心(填“内” 、 ”外” 、 “重” 、 “垂” ) . 9.以下命题(其中 a,b 表示直线,α表示平面) ①若 a∥b,b? α,则 a∥α ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b ③若 a∥b,b∥α,则 a∥α ④若 a∥α,b? α,则 a∥b 其中正确命题的个数是 . 10.设 m,n 是平面α外的两条直线,给出三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α 以其中的两个为条件,余下的一个为结论构成三个命题,写出你认为正确的一个命 题: .

11. A, B 是平面α外的两点, 它们在平面α内的射影分别是 A1, B1, 若 A1A=3, BB1=5, A1B1=10, 那么线段 AB 的长是 . 12.如图,矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有两个点 Q 满足 PQ⊥ DQ,则 a 的取值范围是 .

13.如图 PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,E、F 分别是点 A 在 PC、PB 上的射影,给出下列结论: ①AF⊥PB ②EF⊥PB ③AF⊥BC ④AE⊥平面 PBC 其中真命题的序号是 .

14.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是 .

二、解答题(本大题共 6 小题,满分 0 分) 15.如图,在四面体 PABC 中,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. 求证:DE∥平面 BCP.

16.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点,求证:A1C∥平面 BDE.

17.如图所示,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点, 平面 PAD∩平面 PBC=l. (1)求证:l∥BC. (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

18.如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别 是 AB、PC 的中点,PA=AD.求证: (1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD.

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60° (Ⅰ)求证:BD⊥PC; (Ⅱ)若 PA=AB,求二面角 A﹣PD﹣B 的余弦值.

20.已知三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB,CB⊥平面 PAB,PM=MC,AN=3NB. (1)求证明:MN⊥AB; (2)当∠APB=90°,BC=2,AB=4 时,求 MN 的长.

2014-2015 学年江苏省扬州市高邮二中高二(上)9 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.下列图形中,不一定是平面图形的是 ④ . (填序号) ①三角形;②菱形;③梯形;④四边相等四边形. 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 对于①,根据“两直线相交,确定一个平面”及“若一条直线上有两点在一个平面 内,则整条直线在这个平面内”判断; 对于②和③,根据“两平行直线确定一个平面”及“若一条直线上有两点在一个平面内,则 整条直线在这个平面内”判断; 对于④,通过反例的方法判断. 解答: 解:在①中,如图 1 所示, ∵AB∩BC=B,∴AB 与 BC 确定一个平面,记为α, 又∵点 A,C 在平面α内,∴直线 AC 在平面α内, 即 AB,BC,AC 都在平面α内, 可知三角形是平面图形. 在②中,如图 2 所示菱形中, ∵AB∥CD,∴AB 与 CD 确定一个平面,记为β, 又∵点 B,C 和 A,D 在平面β内,∴直线 BC 和 AD 在平面β内, 即 AB,BC,CD,DA 都在平面β内, 即菱形是平面图形. 在③中,如图 3 所示梯形中, 与②同理可证,梯形是平面图形. 在④中,如图 4 所示,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起,成为一个空间四边形, 显然,此四边形的四边相等,但四边不共面, 故四边相等的四边形不一定是平面图形. 故答案为:④.

点评: 本题主要考查了平面的基本性质及其推论,关键是画出图形,创造性质和推论所需 的条件.

2.两条异面直线所成的角为θ,则θ的取值范围是



考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由异面直线所成角的定义直接求解即可. 解答: 解:由异面直线所成角的定义可知: 过空间一点, 分别作相应直线的平行线, 两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的 角. 故两条异面直线所成的角的取值范围是 故答案为: . .

点评: 本题主要考查异面直线所成的角,同时,还考查了转化思想,属基础题.

3.梯形 ABCD 中 AB∥CD,AB? 平面α,CD? 平面α,则直线 CD 与平面α内的直线的位置关 系 平行或异面 . 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由线面平行的性质定理,得 CD∥α,由此得到直线 CD 与平面α内的直线的位置关 系是平行或异面. 解答: 解:∵AB∥CD,AB? 平面α,CD? 平面α, ∴由线面平行的性质定理,得 CD∥α, ∴直线 CD 与平面α内的直线的位置关系是平行或异面. 故答案为:平行或异面. 点评: 本题考查直线的位置关系的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养. 4.若直线 a⊥b,且 a∥平面α,则直线 b 与平面α的位置关系 平行、相交或直线 b? 平 面α . 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 以正方体为载体,能够准确地判断直线 b 与平面α的位置关系. 解答: 解:如图,取 A1B1=a,取平面 ABCD 为α, 当 b=B1C1 时,满足直线 a⊥b,且 a∥平面α,此时直线 b 与平面α平行; 当 b=AA1 时,满足直线 a⊥b,且 a∥平面α,此时直线 b 与平面α相交; 当 b=AD 时,满足直线 a⊥b,且 a∥平面α,此时直线 b? 平面α. ∴直线 b 与平面α的位置关系是平行、相交或直线 b? 平面α. 故答案为:平行、相交或直线 b? 平面α.

点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的 培养. 5.已知 a,b 是两条异面直线,直线 c∥a,那么 c 与 b 的位置关系是 相交或异面 . 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 两条直线的位置关系有三种:相交,平行,异面.由于 a,b 是两条异面直线,直线 c∥a 则 c 有可能与 b 相交且与 a 平行,但是 c 不可能与 b 平行,要说明这一点采用反证比 较简单. 解答: 解:∵a,b 是两条异面直线,直线 c∥a ∴过 b 任一点可作与 a 平行的直线 c,此时 c 与 b 相交.另外 c 与 b 不可能平行理由如下: 若 c∥b 则由 c∥a 可得到 a∥b 这与 a,b 是两条异面直线矛盾,故 c 与 b 异面. 故答案为:相交或异面.

点评: 此题考查了空间中两直线的位置关系:相交,平行,异面.做题中我们可采用逐个 验证再结合反证法的使用即可达到目的,这也不失为常用的解题方法! 6.若空间四边形两条对角线的长度分别是 6 和 8,所成角是 45°,则连接各边中点所得四 边形的面积是 . 考点: 棱锥的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 根据题意,作出草图,找到所求的四边形,再探求该四边形的形状、各边及各角之 间的联系,将四边形的面积问题转化为两个三角形问题求解. 解答: 解:如右图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中 点, 由中位线的性质知,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG, ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 由于两对角线所成角为 45°,不妨设∠EFG=45°, 由题意又设对角线 AC=6,BD=8, 则 连接 EG,得 从而 故填 . . , , = ,

点评: 1、本题主要考查的两异面直线所成的角,三角形面积公式等,关键是能发现空间各 直线之间的位置关系; 2、对于四边形的面积问题一般是转化为两个三角形问题求解.求解时,应弄清三角形各边 长及内角等要素,然后运用三角形面积公式,常用的三角形面积公式有: S= 底×高. 和

7.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的 (3) .

考点: 斜二测法画直观图. 专题: 操作型;空间位置关系与距离. 分析: 观察直观图右边的边与纵轴平行,与 x 轴垂直,这样只有 A①②符合题意,由直观 图知,上下两条边是不相等的,只有③符合题意. 解答: 解:设直观图中与 x′轴和 y′轴的交点分别为 A′和 B′, 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的 A 和 B 点, 再由平行与 x′轴的线在原图中平行于 x 轴,且长度不变, 作出原图可知选③, 故答案为:③ 点评: 本题考查空间几何体的直观图,考查直观图的做法,这种题目是直观图经常考查的 题目,比较简单,是一个基础题. 8.△ABC 所在平面α外一点 P 到三角形三顶点的距离相等,那么点 P 在α内的射影一定是 △ABC 的 外 心(填“内” 、 ”外” 、 “重” 、 “垂” ) . 考点: 棱锥的结构特征. 专题: 常规题型;空间位置关系与距离. 分析: 连接点 P 与其射影及三角形三顶点,可得三个全等的直角三角形. 解答: 解:∵△ABC 所在平面α外一点 P 到三角形三顶点的距离相等, ∴可通过勾股定理证明, 点 P 在α内的射影到三角形三顶点的距离也相等, 则点 P 在α内的射影一定是△ABC 的外心. 故答案为:外. 点评: 本题考查了三角形的五心,及学生空间想象力. 9.以下命题(其中 a,b 表示直线,α表示平面) ①若 a∥b,b? α,则 a∥α ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b ③若 a∥b,b∥α,则 a∥α ④若 a∥α,b? α,则 a∥b 其中正确命题的个数是 0 . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;空间位置关系与距离. 分析: 由线面的位置关系即可判断①;由线面平行的性质和线线位置关系,即可判断②; 由线面平行的性质和线面位置关系, 即可判断③; 由线面平行的性质和线线位置关系即可判 断④. 解答: 解:①若 a∥b,b? α,则 a∥α或 a? α,故①错;

②若 a∥α,b∥α,则 a,b 平行、相交或异面,故②错; ③若 a∥b,b∥α,则 a∥α或 a? α,故③错; ④若 a∥α,b? α,则 a、b 平行或异面,故④错. 故答案为:0. 点评: 本题考查空间两直线的位置关系,直线与平面的位置关系,主要考查线面平行的判 定和性质,属于基础题. 10.设 m,n 是平面α外的两条直线,给出三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α 以其中的两个为条件,余下的一个为结论构成三个命题,写出你认为正确的一个命题: ① ②? ③或①③? ② . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由线面平行的性质定理,可过平面的平行线作平面与已知平面相交,所产生的交线 与已知直线平行,可得①②? ③或①③? ②;而不能由②③? ①,因为当两直线都平行于同 一个平面,可推得两直线相交,平行或异面. 解答: 解:可由①②? ③ 因为由②m∥α,由线面平行的性质定理,可过直线 m 可作出一个平面与α交于一直线 l, 可得 m∥l,故 n∥l,由线面平行的判定定理可得③n∥α; 也可由①③? ② 因为同理由③n∥α可知过直线 n 可作出一个平面与α交于一直线 l′ 可得 n∥l,故 m∥l,由线面平行的判定定理可得;②m∥α. 不能由②③? ①, 因为由②m∥α;③n∥α可推出直线 m、n 可能相交,平行或异面. 故答案为:①②? ③或①③? ② 点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断,正确理解线面平行的判断和性质定理是解 决问题的关键,属基础题. 11. A, B 是平面α外的两点, 它们在平面α内的射影分别是 A1, B1, 若 A1A=3, BB1=5, A1B1=10, 那么线段 AB 的长是 .

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出图形,直接利用解三角形求解线段 AB 的长即可. 解答: 解:如图:在图 1 中,过 A 作 AC⊥BB1 于 C, 由题意可知 AC=A1B1=10,BC=2, ∴AB= = =2 .

在图 2 中,过 B 作 BC⊥AA1 于 C, 由题意可知,AC=3+5=8,BC=A1B1=10, ∴AB= 所求 AB 的长为: 故答案为: = = . . = .

点评: 本题考查空间两点间的距离,注意两种情况,不可漏,是易错题. 12.如图,矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有两个点 Q 满足 PQ⊥ DQ,则 a 的取值范围是 a>2 .

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中 PA⊥平面 AC,在 BC 边上取点 Q,使 PQ⊥DQ,由线面垂直的判定定理及性 质可得满足条件时,AQ⊥DQ,即以 AD 为直径,AD 的中点为圆心的圆,再根据 AB=1,BC=a, 满足条件的 Q 点有 2 个,我们可得 a 的取值范围. 解答: 解:∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥DQ 又∵PQ⊥DQ,PA∩PQ=P ∴DQ⊥平面 PAQ ∴DQ⊥AQ 即以 AD 中点为圆心,以 AD 为直径的圆与 BC 的交点 ∵AB=1,BC=a,满足条件的 Q 点有 2 个, ∴a>2. 故答案为:a>2. 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系,其中根据满足条件时 AQ⊥ DQ,即以 AD 为直径的圆与 BC 的交点,判断出满足条件的 Q 点有 2 个,半径大于 1,进而得 到 a 的范围,是解答本题的关键. 13.如图 PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,E、F 分别是点 A 在 PC、PB 上的射影,给出下列结论: ①AF⊥PB ②EF⊥PB ③AF⊥BC ④AE⊥平面 PBC 其中真命题的序号是 ①、②、④ .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由条件可知①显然成立;通过线面垂直的判定和性质,即可判断②; ③若 AF⊥BC,运用线面垂直的判定和性质,推出矛盾,即可判断; 由②的分析即可判断④. 解答: 解:①由题意,显然成立; 由于 AB 是⊙O 的直径,则 AC⊥BC,PA⊥⊙O 所在平面,则 PA⊥BC, 则 BC⊥平面 PAC,AE? 平面 PAC,则有 AE⊥BC,由于 AE⊥PC, 则 AE⊥平面 PBC,AE⊥PB,由于 AF⊥PB,则 PB⊥平面 AEF,故 EF⊥PB,故②正确; ③若 AF⊥BC,由于 AF⊥PB,则 AF⊥平面 PBC,由于 AE⊥平面 PBC,AE,AF 重合,矛盾,故 ③错; 由上面分析可知④成立. 故选①②④.

点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系:垂直,掌握线面垂直的判定和性质定理,是 迅速解题的关键,本题属于中档题. 14.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是 ①③ .

考点: 异面直线及其所成的角;异面直线的判定. 专题: 阅读型.

分析: 先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体, 再根据所给结论进行逐一判定即可. 解答: 解:把正方体的平面展开图还原成原来的正 方体如图所示,则 AB⊥EF,EF 与 MN 为异面 直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确. 故答案为①③

点评: 本题主要考查了异面直线及其所成的角,直线与直线的位置关系,考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 二、解答题(本大题共 6 小题,满分 0 分) 15.如图,在四面体 PABC 中,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. 求证:DE∥平面 BCP.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 直接利用三角形的中位线证明直线的平行,通过张筱雨平面平行的判定定理证明即 可. 解答: 证明:∵D,E 分别是棱 AP,AC 的中点 ∴DE∥PC∵DE? 平面 BCP, PC? 平面 BCP ∴DE∥平面 BCP. 点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,考查基本知识的应用. 16.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点,求证:A1C∥平面 BDE.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: 欲证 A1C∥平面 BED,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 A1C 与平面 BED 内 一直线平行即可, 连接 AC 交 BD 于点 O, 连接 EO, 根据中位线可知 EO∥A1C, 而 EO? 平面 BED, A1C? 平面 BED,满足定理所需条件. 解答: 证明:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,连接 AC 交 BD 于 点 O,连接 EO,则有 O 为 AC 的中点, 又 E 是的 AA1 的中点,∴EO 为△A1AC 的中位线, ∴EO∥A1C,∵EO? 平面 BED,A1C? 平面 BED, ∴A1C∥平面 BED. 点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利用线 面平行的判定定理(a? α,b? α,a∥b? a∥α) ;③利用面面平行的性质定理(α∥β, a? α? a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a? α,a? ,a∥α? ? a∥β) . 17.如图所示,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点, 平面 PAD∩平面 PBC=l. (1)求证:l∥BC. (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

考点: 直线与平面平行的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)根据 BC∥AD,我们可以知道 BC∥平面 PAD,由于平面 PBC∩平面 PAD=l,可以 证得 BC∥l; (2)要证明 MN∥平面 PAD.关键是在平面 PAD 中找出直线与 MN 平行,由于 M、N 分别是 AB、 PC 的中点,故可利用取中点的方法求解. 解答: 解: (1)证明:因为 BC∥AD,BC? 平面 PAD. AD? 平面 PAD,所以 BC∥平面 PAD.

又因为平面 PBC∩平面 PAD=l,所以 BC∥l(6 分) (2) :平行.如图,取 PD 的中点 E,连接 AE、NE, ∵N 是 PC 的中点,E 是 PD 的中点 ∴NE∥CD,且 NE= ∵CD∥AB,M 是 AB 的中点 ∴NE∥AM 且 NE=AM. 所以四边形 AMNE 为平行四边形, 所以 MN∥AE. 又 MN? 平面 PAD,AE? 平面 PAD,所以 MN∥平面 PAD. (12 分)

点评: 本题以四棱锥为载体,考查线线平行,线面平行,证题的关键是合理运用线面平行 的判定及性质定理. 18.如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别 是 AB、PC 的中点,PA=AD.求证: (1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD.

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由线面垂直得 CD⊥PA,由矩形性质得 CD⊥AD,由此能证明 CD⊥PD. (2)取 PD 的中点 G,连结 AG,FG.由已知条件推导出四边形 AEFG 是平行四边形,所以 AG ∥EF.再由已知条件推导出 EF⊥CD,由此能证明 EF⊥平面 PCD. 解答: (本题满分 8 分) 证明: (1)∵PA⊥底面 ABCD,∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PD. (4 分)

(2)取 PD 的中点 G,连结 AG,FG. 又∵G、F 分别是 PD、PC 的中点, ∴GF 平行且等于 CD, ∴GF 平行且等于 AE, ∴四边形 AEFG 是平行四边形,∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点, ∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG? 平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. (8 分)

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查直线垂直于平面的证明,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60° (Ⅰ)求证:BD⊥PC; (Ⅱ)若 PA=AB,求二面角 A﹣PD﹣B 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)由菱形的性质,得 AC⊥BD,由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥BD.结合线面垂直判定 定理得 BD⊥平面 PAC,从而得到 BD⊥PC; (II)过点 B 作 BM⊥AD 于 M,则 BM⊥平面 PAD.然后在平面 PAD 内过 M 作 MN⊥PD 于 N,连 BN,可得 PD⊥平面 BMN,结合二面角平面角的定义,得到∠BNM 为二面角 A﹣PD﹣B 的平面 角.再利用解直角三角形的知识,Rt△BMN 中算出 MN、BN 的长,可得 即可得到 PA=AB 时二面角 A﹣PD﹣B 的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD. 又∵PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ,

∴PA⊥BD. 又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. ∵PC? 平面 PAC,∴BD⊥PC…(6 分) (Ⅱ)依题意,知平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD 与平面 ABCD 的交线为 AD, 过点 B 作 BM⊥AD,垂足为 M,则 BM⊥平面 PAD. 在平面 PAD 内过 M 作 MN⊥PD,垂足为 N,连 BN, 则 PD⊥平面 BMN, ∴∠BNM 为二面角 A﹣PD﹣B 的平面角.…(9 分) ∵AB=AD,∠BAD=60°, ∴ 又∵PA=AB,得 ,DM=1.…(10 分) ,∴ .…(11 分)

∴Rt△BMN 中,



即二面角 A﹣PD﹣B 的余弦值为

.…(12 分)

点评: 本题在三棱锥中求证线线垂直,并求二面角的大小.着重考查了空间线面垂直的判 定与性质、二面角平面角的作法和解三角形有关系知识,属于中档题. 20.已知三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB,CB⊥平面 PAB,PM=MC,AN=3NB. (1)求证明:MN⊥AB; (2)当∠APB=90°,BC=2,AB=4 时,求 MN 的长.

考点: 直线与平面垂直的性质;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 证明直线与直线垂直可将其中一条直线放到平面内,平面的选择可借助题目中已知 的一些垂直关系取寻找,有中点的问题可利用中位线性质解决 解答: (1)证明:如图:

取 AB,AC 的中点分别为 D、E, 取 BD、EC 的中点分别为 N、F, 连接 PD、PE、DE、MF、NF, 由 PA=PB 知 PD⊥AB,D、E 为直线 AB,AC 的中点,DE∥BC,而 BC⊥平面 PAB, ∴DE⊥AB,而 PD∩DE=D, ∴AB⊥平面 PDE,而 NF∥DE,MF∥PE 知平面 PDE∥平面 MNF, ∴AB⊥平面 MNF,MN? 平面 MNF, ∴MN⊥AB. (2)解:由(1)以及 BC=2 可得 GM=1,

取 BP 中点为 G,则 MG∥BC,又 BC⊥面 ABP, ∴MG⊥面 ABP, ∴MG⊥GN, GN= PD= ∴MN= =1, = .

点评: 本题主要考查了直线与直线的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证 能力.


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