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浙江省嘉兴市2013届高三3月教学测试(一)数学文试题(word版)


2013 年高三教学测试(一) 文科数学试题卷
注意事项: 1. 本科考试分试題卷和答題卷,考生须在答題卷上作答.答题前,请在答題卷的密 封线内填写 学校、班级、学号、姓名; 2. 本试題卷分为第 1 卷(选择題)和第π 卷(非选择題)两部分,共 6 页,全卷满 分 150 分, 考试时间 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么
P ?

A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

棱柱的体积公式
V ? Sh

如果事件 A , B 相互独立,那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
1 V ? Sh 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ? k ? ? Cn pk ?1 ? k ? n?k

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

, ? k ? 0,1,2,?, n ?

球的表面积公式

S ? 4? R 2

?

?

3 球的体积公式 V ? ? R

4 3

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面积,
h 表示棱台的高

其中 R 表示球的半径

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项 是符合题目要求的. 1. 若i为虚数单位,则复数 A. i B. -i C.

1? i = 1? i
D.-

2i

2i

2. 函数 f ( x) ? sin( x ? A.

?
2

). cos x 的最小正周期是
C. 2π D. 4π

? 2

B. π

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是

A. O

B. -1
C. ?

3 2

D. ?

7 4

4. 已知α ,β 是空间中两个不同平面,m , n是空间中两条不 同直线,则下列命题中错误的是 A. 若m//n B. 若m//α m 丄α , 则n 丄α 则m//n 则α //β 则 α 丄β

α

?β ,

C. 若 m 丄 α , m 丄β , D. 若m丄α , m ? β 5

如图,给定由6个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中 任意取2个点,则两点间的距离为2的概率是 A

1 10

B

1 5

C

3 10

D

2 5

6. 已知函数 ?

? f1 ( x), x ? 0 ,下列命题正确的是 ? f 2 ( x), x ? 0

A. 若 f 1 ( x ) 是增函数, f 2 ( x) 是减函数,则 f (x) 存在最大值 B. 若 f (x) 存在最大值,则 f 1 ( x ) 是增函数, f 2 ( x) 是减函数 C. 若 f 1 ( x ) , f 2 ( x) 均为减函数,则 f (x) 是减函数 D. 若 f (x) 是减函数,则 f 1 ( x ) , f 2 ( x) 均为减函数 7. 已知a,b∈R,a.b≠O,则“a>0,b>0” 是“ A.充分不必要条件 C. 充要条件 8. 已知双曲线 c:

a?b ? ab ”的 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,以右焦点 F 为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线两渐 a2 b2

近线于点 M、N (异于原点 O),若|MN|= 2 3a ,则双曲线 C 的离心率 是 A.

2

B.

3

C. 2

D.

3 ?1

9 已知在正项等比数列{an}中,a1=1, a2a4=16 则|a1-12|+|a2-12|+?+|a8-12|= A 224 B 225
2

C 226

D 256

10. 已知函数f(x)=x +bx+c,(b,c∈R),集合A = {x丨f(x)=0}, B = {x|f(f(x)))= 0},若存在x0∈B,x0 ? A则实数b的取值范围是 A b?0 C 0?b?4 B b<0或 b ? 4 D b ? 4或b ? 4

非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 已知奇函数f(x),当x>0时,f(x)= log2(x+ 3), 则f(-1)=__▲__

?x ? y ? 2 ? 12. 已知实数x,y满足 ? x ? y ? 2 则z = 2x+y的最小值是__▲__ ?? 1 ? x ? 2 ?
13. —个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__▲__

14. 某高校高三文科学生的一次数学周考成绩绘制了如右图的频率分布直方图,其中成绩在[40, 80]内的学生有 120 人,则该校高三文科学生共有__▲__人 15. 已知正数 x,y 满足

1 2 ? ? 1 则 xy 的最小值是 =__▲__. x y

16. 已知椭圆 C1:

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F,点 P 为椭圆上一动点,过点以 F 为圆心,1 为半径 16 15

的圆作切线 PM,PN,其中切点为 M,N 则四边形 PMFN 面积的最大值 为__▲__. 17. 若 a, b 是两个非零向量,且 | a |?| b |? ? | a ? b |, ? ? [ 围是__▲_. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟? 18. (本题满分 14 分) 在Δ ABC 中,a,b,c 分 别 是 角 (I )求角 B 的大小 (II) 若 S ?ABC ? 3, b ? 13 ,求 a+c 的值. A,B,C 所 对 的 边 , 且 a=

3 ,1] ,则 b 与 a ? b 的夹角的 取值范 3

1 c + bcosC . 2

19. (本题满分 14 分) 已知等差数列{an}的公差不为零,且 a3 =5, a1 , a2.a5 成等比数列 ( I ) 求数列{an}的通项公式: (II)若数列{bn}满足b1+ 2 b 2+ 4 b 3 + ?+2n-1bn=an求数列{bn}的通项公式

20. (本题满分 15 分) 如图,直角梯形 ABCD 中,AB//CD, ?BCD = 90° , BC = CD = ABCD, FD 丄底面 ABCD 且有 EC=FD=2.

2 ,AD = BD:EC 丄底面

(I

)求证:AD 丄 BF :

(II )若线段 EC 的中点为 M,求直线 AM 与平面 ABEF 所成角的正弦值

21 (本题满分 15 分) 已知函数 f(x)=mx -x+ (I)求 m,n 的值 (II)已知. g ( x) ? ? 试求实数 a 的取值范围。
3

1 ,以点 N(2,n)为切点的该图像的切线的斜率为 3 3 a ?1 2 x ? (a ? 1) x(a ? 0) ,若 F(x)=f(x)+g(x)在[0,2]上有最大值 1, 2

22 已知 F 为抛物线 C:y2=4x 焦点,其准线交 x 轴于点 M,点N是抛物线C上一点

(1)如图①,若 MN 的中垂线恰好过焦点 F,求点 N 的 y 轴的距离 (II)如图②,已知直线 l 交抛物线 C 于点 P,Q,若在抛物线 C 上存在点 R,使 FPRQ 为平行四边 形,试探究直线 l 是否过定点?并说明理由


?ADB ? 90? ,即 AD? DB ;

…3 分 …5 分 …7 分

∵ FD ? 底面 ABCD 于 D, AD? 平面 ABCD,∴ AD? DF , ∴ AD ? 平面 DBF.又∵ BF ? 平面 DBF,∴可得 AD? BF . (Ⅱ)如图,过点 M 作 MN ? BE 于 N,连接 AN.

F
N

E

M

D A
又由 AB ? BC , AB ? EC ,?AB ? 平面 BCE.

C

(第 20 题)

B
…9 分

? AB? MN ,可得 MN ? 平面 ABEF.
故 ?MAN 即为直线 AM 与平面 ABEF 所成角. …11 分

又由 ?EMN ∽ ?EBC ,可得 MN ? 且 AM ?

3 ; 3

AB 2 ? BC 2 ? CM 2 ? ( 2 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 12 ? 11 ,

…13 分

? sin?MAN ?

MN 33 . ? AM 33 33 . 33

故直线 AM 与平面 ABEF 所成角的正弦值为

…15 分

21.解: (Ⅰ) f ' ? x ? ? 3mx 2 ? 1 ? f ' ?2? ? 12m ? 1 ? 3 ? m ? ∴ f ( x) ?

1 3

…2 分 …4 分

1 3 1 x ? x ? ,∴ n ? f ?2? ? 1 3 3 1 3 a ?1 2 1 x ? x ? ax ? 3 2 3

(Ⅱ)∵ F ( x ) ? f ( x ) ? g( x ) ?

∴ F ?( x ) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ,令 F ?( x ) ? 0 得 x ? 1 或 x ? a 当 0 ? a ? 1 时, x , F ?( x ), F ( x ) 的变化如下表:

…6 分

x
F ?( x )

0

( 0, a ) + 增

a
0 极大

( a ,1 ) - 减

1 0 极小

(1,2) + 增 …9 分

2

F ( x)

1

∵ F ( x ) 在 [0, 2] 有最大值 1,∴ F (a ) ? 1 即 a 3 ? 3a 2 ? 4 ? 0 记 g(a ) ? a 3 ? 3a 2 ? 4 ,则 g ?(a) ? 3a 2 ? 6a) ? 3a(a ? 2) ∴ g ?(a ) ? 0 ∴ g(a ) ? g(1) ? 0 ∴ 0 ? a ? 1 当 a ? 1 时, F ?( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0 ,∴ F ( x ) ? f ( 2) ? 1 成立 当 1 ? a ? 2 时 x , F ?( x ), F ( x ) 的变化如下表:

…11 分 …12 分

x
F ?( x )

0

( 0,1 ) + 增

1 0 极大

( 1, a ) - 减

a
0 极小

( a ,2) 2 + 增 …14 分 1

F ( x)

∵ F ( x ) 在 [0,2] 有最大值 1,∴ F (a ) ? 1 即 a ?

5 5 ∴1 ? a ? 3 3

当 a ? 2 时,由 F ( x ) 的单调性知, F ( x ) max ? F (1) ? F ( 2) 故不成立 综上:实数 a 的取值范围是 0 ? a ?

5 3

…15 分

22. (Ⅰ)∵MN 的中垂线恰好过焦点 F,∴ NF ? MF ? 2 , 所以 x N ? 1 ? 2 ,所以 x N ? 1 ,即 N 到 y 轴的距离为 1. (Ⅱ) F (1, 0) ,

…3 分 …5 分 …6 分

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