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高二数学平几选讲


平面几何选讲
1.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆 的割线,分别交⊙O1 ,⊙O2 于点 D,E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥ EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9, 求 AD 的长; A O1 D B O2 P C 2.如图:

已知 AD 为⊙O 的直径,直线 BA 与⊙O 相切于点 A ,直线 OB 与弦 AC 垂直并相 交于点 G,连接 DC. 求证:BA ·DC=GC·AD. E

3. 已知: 如图, △ABC 中,AB=AC, ∠ BAC=90°,AE= 求证: (1)EF⊥BC; (2)∠ADE=∠EBC。

1 1 1 AC,BD= AB, 点 F 在 BC 上, 且 CF= BC。 3 3 3

4.如图,在△ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BD 的中点, AE 的延长线交 BC 于 F . (1)求

BF 的值; FC

A

(2)若△ BEF 的面积为 S1 ,四边形 CDEF 的面 积为 S 2 ,求 S1 : S 2 的值.
B F E

D

C

1

5.已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,DC 是 ?ACB 的平分线交 AE 于点 F,交 AB 于 D 点. (1)求 ? ADF 的度数; (2)若 AB=AC,求 AC:BC .
B D F O E C A

6.自圆O外一点P引切线与圆切于点A, M为PA中点,过 M引割线交圆于 B,C两点. 求证:∠ MCP=∠ MPB.

7.如图所示,已知⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A,B 两点,过点 A 作⊙ O1 的切线交⊙ O2 于点 C,过点 B 作两圆的 割线,分别交⊙ O1 ,⊙ O2 于点 D,E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥ EC; (2)若 AD 是⊙ O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9, 求 AD 的长; A O1 D B O2 P C E

BM ? MN ? NC , AD 是⊙ O 的直径, 8. 如图, AB 是⊙O 于点 M、 N, 直线 BMN 交 AD 的延长线于点 C, AB ? 2 ,求 BC 的长和⊙ O 的半径.

9.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB ,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM·MB =DF ·DA.

2

10.如图,已知 AP 是⊙O 的切线, P 为切点, AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B 、 C 两点,圆心 O 在 ?PAC P 的内部,点 M 是 BC 的中点. (Ⅰ)证明 A ,P ,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求∠OAM+∠APM 的大小.

A B M

O

C

11.如图 ,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点 A,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM, 垂足为 P. 2 (Ⅰ)证明:OM·OP=OA ; (Ⅱ)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点,过 B 点的切线交直线 ON 于 K. 证明:∠OKM=90°

12.如图,在四边形 ABCD 中,△ ABC≌△ BAD. 求证:AB∥ CD.

13.已知 ? ABC E。

中,AB=AC,

D 是 ? ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至

(1) 求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2) 若 ? BAC=30, ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ,求 ? ABC 外 接圆的面积。

3

14. 如图, 已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交 F 在 AC 上,且 AE ? AF 。 (I) 证明:B,D, H,E 四点共圆: (II) 证明: CE 平分 ? DEF 。

于 H, ?B ? 600 ,

15.已知:如右图, 在等腰梯形 ABCD 中,AD∥ BC, AB=DC, 过点 D 作 AC 的平行线 DE, 交 BA 的延长线于点 E E.求证: (1)△ABC≌△DCB A D (2)DE· DC= AE· BD.
B C

4

平面几何选讲练习题答案
1. (1)证明:连接 AB,∵ AC 是⊙O1 的切线,∴∠ BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠ E。∴ AD∥ EC (4 分) (2)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,∴xy=12,① ∵AD∥ EC,∴ 由①②可得, ?

DP AP 9 ? x 6 ? ? ? ②, PE PC y 2

? x ? 3 ? x ? ?12 或? (舍去)∴DE=9+x+y=16, ? y ? 4 ? y ? ?1

∵AD 是⊙O2 的切线, ∴AD2 =DB ? DE=9×16, ∴AD=12。 (6 分) 2.证法一:∵ AC ^ OB ,∴ ? AGB 又 AD 是⊙O的直径,∴ ? DCA 又 ∵ ? BAG ∴ ∴ ∴

90 , 90 ,

ADC (弦切角等于同弧对圆周角)………4 分

Rt △ AGB ∽ Rt △ DCA …………………………………5 分
BA = AD BA = AD AG , 又∵ OG ^ AC ∴ GC = AG …………………………7 分 DC GC …………………………………………………9 分 DC

即 BA ?DC=GC?AD………………………………………10 分 证法二:∵ BA 与⊙O相切于 A ∴ ? BAO

90

又 AG ^ BO 于 G , ∴ ? ABG

GOA

∴ Rt △ BGA ∽ Rt △ AGO …………………………3 分 ∵

BA AO = ………………………………………①…5 分 AG OG

∵ OG ^ 弦AC于G ,∴ G 为 AC 的中点 又 ∵ O 为直径 AD 的中点, ∴ AO =

1 1 AD , OG = DC ………………………7 分 2 2

5

1 AD BA 2 AD ∴ ∴ BA?DC=GC? AD……………………………10 分 = = 1 AG DC DC 2
3. 证明:设 AB=AC=3a,则 AE=BD=a,CF= (1)

2a.

CE 2a 2 CF 2a 2 ? ? , ? ? . CB 3 2a 3 CA 3a 3

又∠C 公共,故△BAC∽△EFC,由∠ BAC=90°, ∴∠EFC=90°,∴EF⊥ BC …………4 分 (2)由(1)得 EF ?

2a, 故

AE a 2 AD 2a 2 ? ? , ? ? . EF 2 BF 2 2a 2 2a
…………6 分 …………8 分

?

AE AD ? . EF BF

∴∠DAE=∠ BFE=90°∴△ ADE∽△FBE,

∴∠ADE=∠EBC。 …………10 分 4.证明: (1)过 D 点作 DG∥BC,并交 AF 于 G 点, -------------------------2 分 ∵E 是 BD 的中点,∴BE=DE,又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG, ∴△BEF≌△DEG,则 BF=DG,∴BF:FC=DG:FC, 又∵D 是 AC 的中点,则 DG:FC=1:2, 则 BF:FC=1:2;----------------------------------------------4 分 A (2)若△BEF 以 BF 为底,△BDC 以 BC 为底, 则由(1)知 BF:BC=1:3, 又由 BE:BD=1:2 可知 h1 : h2 =1:2,其中 h1 、 h2 分别为△BEF 和△BDC 的高,则
G E D

S ?BEF 1 1 1 ? ? ? , S ?BDC 3 2 6
B F

C

则 S1 : S 2 =1:5. -----------------------8 分 5.

?AC 为圆 O 的切线, ∴ ?B ? ?EAC 又知,DC 是 ?ACB 的平分线, ∴ ?ACD ? ?DCB ∴ ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD 即 ?A D F? ?A F D 又因为 BE 为圆 O 的直径, ∴ ?DAE ? 90? 1 ∴ ?ADF ? (180 ? ? ?DAE ) ? 45 ? 2 AC AE ? (2)? ?B ? ?EAC , ?ACB ? ?ACB , ∴ ?ACE ∽ ?ABC ∴ BC AB 又?AB=AC, ∴ ?B ? ?ACB ? 30? , AC AE 3 ? ? tan ?B ? tan30? ? ∴在 RT ⊿ABE 中, ……10 分 BC AB 3

6.证明:∵ PA 与圆相切于 A , ∴ MA2 ? MB ? MC , ………………2 分 ∵ M 为 PA 中点,∴ PM ? MA , ………………3 分
6

PM MB . ………5 分 ? MC PM ∵ ?BMP ? ?PMC , ………………6 分 ∴△ BMP ∽△ PMC ,………………8 分 ∴ ?MCP ? ?MPB . ………………10 分 7. (1)证明:连接 AB,∵ AC 是⊙O1 的切线,∴∠ BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠ E。∴ AD∥ EC (4 分) (2)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,∴xy=12,①
∴ PM 2 ? MB ? MC ,∴ ∵AD∥ EC,∴

DP AP 9 ? x 6 ? ? ? ②, PE PC y 2

由①②可得, ?

? x ? 3 ? x ? ?12 或? (舍去)∴DE=9+x+y=16, ? y ? 4 ? y ? ?1

∵AD 是⊙O2 的切线,∴ AD2 =DB ? DE=9×16,∴ AD=12。 (6 分) 8.证明:? AD 是⊙ O 的直径, AB 是⊙ O 的切线,直线 BMN 是⊙ O 的割线,

? ?BAC ? 90? , AB2 ? BM ? BN .

? BM ? MN ? NC, AB ? 2,? 2BM 2 ? 4,? BM ? 2,? BC ? 3BM ? 3 2 …4 分
? AB2 ? AC 2 ? BC 2 , 4 ? AC 2 ? 18 , AC ? 14 .

? CN ? CM ? CD ? CA,? 2 ? 2 2 ?? CD ? 14 ,? CD ?

2 14 7

1 5 14 ………………………………………8 分 ?⊙ O 的半径为 (CA ? CD ) ? 2 14
9.解: (I)连结 OC,∴∠OAC=∠OCA ,又∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC,∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD. ………………3 分 ∵CD⊥AF ,∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线. …………5 分 (Ⅱ)连结 BC,在 Rt△ACB 中, CM⊥AB ,∴CM2 =AM·MB . 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2 =DF ·DA. 易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM,∴AM·MB =DF ·DA …………10 分 P 10. (Ⅰ)证明:连结 OP ,OM. 因为 AP 与⊙O 相切于点 P ,所以 OP ⊥AP . 因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC. A M C 于是∠OPA +∠OMA =180°,由圆心 O 在 ?PAC 的内部, O

B 可知四边形 APOM 的对角互补,所以 A ,P ,O,M 四点共圆…6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A ,P ,O,M 四点共圆,所以∠OAM=∠OPM. 由(Ⅰ)得 OP ⊥AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知∠OPM+∠APM=90°. 所以∠OAM+∠APM=90°. ……10 分 11. (Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA⊥ AM

又因为 AP⊥OM,在 Rt△OAM 中,由射影定理知,
7

OA2 ? OM ? OP.
(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线,BN⊥OK, 同(Ⅰ) ,有 OB2 =ON·OK,又 OB=OA, 所以 OP·OM=ON·OK,即

ON OM ? . OP OK

又∠NOP=∠MOK,所以△ONP∽△OMK,故∠ OKM=∠OPN=90° 12.证明:由△ABC≌△ BAD 得∠ ACB=∠ BDA,故 A、 B、C、D 四点共圆,从而∠CBA=∠ CDB。再由 △ABC≌△ BAD 得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥ CD。 13.解: (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A, B, C,D 四点共圆,∴∠CDF=∠ABC 又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,即 AD 的延长线平分∠CDE. (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15 , ∠ACB=75 ,∴∠OCH=60 .
3 r=2+ 3 ,a 得 r=2,外接圆的面积为 4 ? 。 2 14.解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠ B=60°, 所以∠BAC+∠ BCA=120°.
0 0 0

设圆半径为 r,则 r+

因为 AD,CE 是角平分线,所以∠ HAC+∠ HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠ AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°,所以 B,D,H,E 四点共圆. (Ⅱ)连结 BH, 则 BH 为∠ ABC 的平分线,得∠ HBD=30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆,所以∠CED=∠ HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得 EF⊥AD,可得∠CEF=30°. 所以 CE 平分∠DEF. 15.证明:(1) ∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AC= DB ∵AB= DC, BC=CB,∴△ ABC≌△ BCD (2)∵△ABC≌△ BCD, ∴∠ACB=∠DBC,∠ ABC=∠ DCB ∵AD∥ BC, ∴∠DAC=∠ ACB,∠ EAD=∠ ABC ∵ED∥ AC,∴∠ EDA=∠DAC ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠ DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD= AE:CD,
E A D

B

C

∴DE·DC=AE· BD.

8


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