当前位置:首页 >> 数学 >>

11.2 排列与组合


11.2

排列与组合

第十一章

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-2-

考纲要求

题型

五年考题统 命题角度分析 计

1.理解排列组 合的概念. 2.能利用计数 原

理推导排列 数公式、组合 选择题 数公式. 填空题 3.能利用排列 组合知识解决 一些简单的实 际问题.

2012 全 国,理 2 2013 全国 Ⅱ,理 14 2014 全国 Ⅰ,理 5

从近五年高考试题看,尽管 排列、组合是高考命题的热点, 但往往较少单独命题,而是同概 率结合起来考查.其中优选法、 捆 绑法、插空法、间接法以及平均 分组问题是经常考查的方法.

第十一章
知识梳理 双击自测

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-3-

1.排列 (1)排列的定义 :从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的
顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.

(2)排列数的定义 :从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A 表示. n(n-1)(n-2)…(n-M+1) . (3)排列数公式 :A = (4)全排列 :n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一个全 n! 排列,A .排列数公式写成阶乘的形式为 =n×(n-1)×(n-2)×…×2×1= A =
! ,这里规定 (-)!

0!= 1

.

第十一章
知识梳理 双击自测

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-4-

2.组合 (1)组合的定义 :一般地,从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元 素 合成一组 ,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2)组合数的定义 :从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合
的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 C

(3)组合数的计算公式 :C

=

0 定C = 1 . - -1 C C (4)组合数的性质 :① C = C ;② C = + . +1

A A

表示.

=

! !(-)!

=

(-1)(-2)…(-+1) .这里规 !

第十一章
知识梳理 双击自测

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-5-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (3)若组合式C = C ,则 x=m 成立. (4)(n+1)!-n!=n· n!. (5)A =nA -1 . (6)kC =nC -1 .
-1 -1

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

关闭

(1)× (2)√

(3)× (4)√

(5)√

(6)√

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-6-

1 2 3 4 5

2.(2014 辽宁,理 6)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的 坐法种数为( A.144 ) B.120 C.72 D.24

关闭

插空法.在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可.故排法种数为 A3 4 =24. 故选 D.
关闭

D

解析

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-7-

1 2 3 4 5

3.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( A.8 B.24 C.48 D.120

)

关闭
3 1 3 先排个位有A1 2 种排法,再排前三位有A4 种排法,故共有 A2 A4 =48 种排法.

关闭

C

解析

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-8-

1 2 3 4 5

4.从 5 种蔬菜品种中选出 4 种,分别种植在不同土质的 4 块土地上进行 实验,不同种植方法的种数为 .

关闭

由题意知,从 5 种蔬菜品种中选出 4 种 ,分别种植在 4 块不同的土地上 ,相当于从 5 个不同 的元素选出 4 个进行排列 ,每一个排列对应着一种不同的种植方法,因此有 A4 5 =120 种. 关闭

120

解析

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-9-

1 2 3 4 5



5.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共 个.(用数字作答)

关闭

可用排除法 ,这个四位数每一位上的数字只能是 2 或 3,则共有 24 个,而这其中要求数字 2 或 3 至少出现一次,所以全是 2 和全是 3 不满足,即满足要求的四位数有 24 -2=14 个. 关闭

14

解析

答案

第十一章
知识梳理 双击自测

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-10-

1 2 3 4 5

自测点评

1.排列与组合最根本的区别在于“ 有序”和“无序”.取出
2

元素后交换顺序,如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合. 2.组合数的性质的应用主要是三个方面,一是简化运算,当 m> 时,通常
将计算 C 转化为计算C - ;二是列等式,由 C = C 可得 x=y 或 x+y=n;三是

主要用于恒等变形简化运算.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-11-

考点一排列问题★自助训练过关
1.(2014 北京,理 13)把 5 件不同产品摆成一排.若产品 A 与产品 B 相邻,且产 品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有 种.

关闭
4 产品 A,B 相邻时,不同的摆法有 A2 2 A4 =48 种. 而 A,B 相邻 ,A,C 也相邻时的摆法为 A 在中 3 间,C,B 在 A 的两侧,不同的摆法共有 A2 2 A3 =12(种).

故产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻的不同摆法有 48-12=36(种).

关闭

36

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-12-

2.(2014 东北三校联考)在数字 1,2,3 与符号“+”,“-”这五个元素的所有 全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列方法共有 种.

关闭

先排符号 “+”,“-” ,有 A2 2 种排列方法 ,此时两个符号中间与两端共有 3 个空位 ,把数字
2 3 1,2,3 “插空”,有 A3 3 种排列方法 ,因此满足题目要求的排列方法共有 A2 A3 =12 种.

关闭

12

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-13-

方法总结

1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析

法、元素分析法.在实际进行排列时,一般采用特殊元素优先原则,即先安排 有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间 接法. 2.对相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法,定序问题采用倍缩 法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-14-

考点二组合问题★★师生互动探究
某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种不合格商品.现从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种 ? (2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种 ? (3)恰有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种 ? (4)至少有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种 ? (5)至多有 2 种不合格商品在内,不同的取法有多少种 ?

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-15-

2 解:(1)从余下的 34 种商品中 ,选取 2 种有C34 =561(种 ),故某一种不合格商品必

须在内的不同取法有 561 种 .
3 种或者C 3 ? C 2 = C 3 =5 984(种 ). (2)从 34 种可选商品中 ,选取 3 种 ,有C34 35 34 34

故某一种不合格商品不能在内的不同取法有 5 984 种 .
2 (3)从 20 种合格商品中选取 1 件 ,从 15 种不合格商品中选取 2 件有C1 20 C15 =2

100(种 ).故恰有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 2 100 种 .
2 3 (4)选取 2 件不合格商品有C1 20 C15 种 ,选取 3 件不合格商品有C15 种 ,共有选取 2 3 方式C1 20 C15 + C15 =2 100+455= 2 555(种 ).故至少有 2 种不合格商品在内的不同

的取法有 2 555 种 .
3 3 3 (5)选取 3 件的总数有C35 种 ,因此共有选取方式C35 ? C15 =6 545-455= 6

090(种 ).故至多有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 6 090 种 .

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-16-

方法总结

组合问题常有以下两类题型变化 :

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 :若“含”,则先将这些元素取 出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中 去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型 :解这类题目必须十分重 视“至少”与“最多” 这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接 法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-17-

对点练习 (2014 大纲全国 ,理 5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A .60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种

关闭
2 1 从 6 名男医生中选出 2 名有 C6 种选法,从 5 名女医生中选出 1 名有C5 种选法 ,故共有 2 1 C6 ·C5 =

6×5 ×5=75 种选法,选 C. 2×1

关闭

C

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-18-

考点三

排列、组合的综合应用★★★分类深度研析

排列与组合的综合问题是高考的重点,其中的分组分配问题 又是重点中的热点.解决这类问题的一般方法是先分组再分配,常见的分组 方法有 :整体均分、部分均分和不等分分组.

考情分析

类型一 整体均分问题
某校高二年级共有 6 个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两 个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为( )
2 A. A2 6 C4 2 B. A2 6 C4

1 2

2 C.A2 6 A4

D.2A2 6
关闭

1 2 1 2 2 所以不同的安排方法有 C4 A6 种. 2

2 将 4 人平均分成两组有 C4 种方法,将此两组分配到 6 个班级中的 2 个班有 A2 6 种.

关闭

B

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-19-

类型二 部分均分问题
有 将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 人,每人至少 1 本的不同分法共 种.(用数字作答)
关闭

把 6 本不同的书分成 4 组,每组至少 1 本的分法有 2 种:

①有 1 组 3 本,其余 3 组每组 1 本,不同的分法共有

1 1 1 C3 6 C3 C2 C 1

A3 3

=20 种;

2 1 1 C2 6 C4 C2 C1 ②有 2 组每组 2 本,其余 2 组每组 1 本,不同的分法共有 2 · 2 =45 种. A2 A2

所以不同的分组方法共有 20+45=65 种. 然后把分好的 4 组书分给 4 个人 ,所以不同的分法共有 1 560 65×A4 4 =1 560 种.

关闭

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-20-

类型三

不等分问题

(2014 贵州遵义模拟)某公司新招聘进 8 名员工,平均分给下属的甲、 乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门,另三名电脑编程 人员也不能分给同一个部门,则不同的分配方案有( ) A.36 种 B.38 种 C.108 种 D.114 种

关闭
1 2 1 分两步完成 ,第一步分组有C2 C3 C3 种方法 ;第二步分配到两个部门有A2 2 种方法.由分步乘 1 2 1 2 法计数原理得,共有 C2 C3 C3 A2=36 种分配方案. A

关闭

解析

答案

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-21-

方法总结 解决分组分配问题的策略:
(1)对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一 种情况,所以分组后一定要除以A (n 为均分的组数),避免重复计数. (2)对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有 m 组元素个数相等,则分组时应除以 m!,分组过程中有几个这样的均匀分组, 就要除以几个这样的全排列数. (3)对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个 数都不相等,所以不需要除以全排列数.

第十一章
考点一 考点二 考点三

11.2 排列与组合
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-22-

对点练习 国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学
免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有 6 个免费培 养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教,有 种不 同的分派方法.

关闭

先把 6 个毕业生平均分成 3 组 ,有

2 2 C2 6 C4 C2

A3 3

种方法,再将 3 组毕业生分到 3 所学校 ,有 A3 3 =6 种
2 2 C2 6 C4 C2

方法,故 6 个毕业生平均分到 3 所学校 ,共有
90

A3 3

·A3 3 =90 种分派方法.

关闭

解析

答案

第十一章
易错警示 核心规律

11.2 排列与组合
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-23-

审题不清致误
现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中 任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取 法的种数为( ) A.232 B.256 C.472 D.484 答案 :C
2 解析 :第一类,含有 1 张红色卡片,不同的取法有 C1 4 C12 =264(种). 3 3 第二类,不含有红色卡片,不同的取法有 C12 - 3C 4 =220-12=208(种).

由分类加法计数原理知,不同的取法共有 264+208=472(种).

第十一章
易错警示 核心规律

11.2 排列与组合
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-24-

反思提升
本题易错解的原因是没有理解“3 张卡片不能是同一种颜色”的含义,误 认为“取出的三种颜色不同”.真实的意义是取出的 3 张卡片不能都是红色 也不能都是黄色、蓝色、绿色,两种颜色或三种颜色都满足要求.

第十一章
易错警示 核心规律

11.2 排列与组合
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-25-

对点练习 把典例中的条件“要求这 3 张卡片不能是同一种颜色”改为
“要求这 3 张卡片的颜色都不同”其余条件不变,则不同取法的种数 为 .

关闭

1 第一类,含有一张红色卡片 ,取出红色卡片有 C4 种方法,再从黄、蓝、绿三色中选出两色, 2 1 1 并各取一张卡片有 C3 C4 C4 种方法. 1 2 1 1 因此满足条件的取法有 C4 C3 C4 C4 =192 种. 1 1 1 第二类,不含有红色卡片,从其余三色卡片中各取一张有C4 C4 C4 =64 种取法.

关闭

故由分类加法计数原理 ,不同的取法共有 192+64=256 种. 256

解析

答案

第十一章
易错警示 核心规律

11.2 排列与组合
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-26-

1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑 : (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列 数或组合数. 2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步 ;(3)排列、组合混合问题 要先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5) 不相邻问题插空处理;(6)定序问题排 除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部 ;(9)构 造模型;(10)正难则反,等价条件. 3.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类 型 :不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意各种分组类型中,不同分组方 法的求法.

第十一章
易错警示 核心规律

11.2 排列与组合
考情概览 满分策略 知识梳理 核心考点 学科素养

-27-

1.解决受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类) 和间接法 (排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏. 2.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义. 3.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平 均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.


相关文章:
11.2排列与组合
11.2排列与组合_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 11.2排列与组合_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第十一章 计数原理、...
(可用)11-2排列组合
(可用)11-2排列组合_数学_高中教育_教育专区。1. 某单位要邀请 10 位教师中的 6 位参加一个会议,其中甲、乙两位教师不能同时参加,则邀请的不同方 法有( )...
11-2排列与组合(理)
11-2排列与组合(理) 2013届走向高考高三第一轮复习资料(北师大版)2013届走向高考高三第一轮复习资料(北师大版)隐藏>> 一、选择题 1.8 名学生和 2 位老师站...
【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业:11.2 排列与组合]
【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业:11.2 排列与组合]_高中教育_教育专区。【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业:11.2 排列与组合]3...
2014高考课时训练 11.2排列与组合
2014高考课时训练 11.2排列与组合_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014 高考课时训练 (六十五) (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)...
11-2排列、组合
11-2排列组合 高考一轮复习数学高考一轮复习数学隐藏>> 第11 模块一、选择题 第2节 1.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50000 的...
11.2第十一讲:排列组合和概率论(历年高考真题)
11.2第十一讲:排列组合和概率论(历年高考真题)_数学_高中教育_教育专区。排列组合和概率论,多年高考第三讲:高考历年真题汇编和解析第一节:排列组合 第一组:2010...
排列与组合二(带答案)
一个排列与组合的混合问题.因恰有一个空盒,所以必有一个盒 子要放 2 个球...这样用 6 块 闸板插在 11 个间隔中, 共有 =462 种不同方法. 所以名额...
第11章 第2课时排列与组合
从 7 盆不同的花中任选 5 盆的排列数为 A75,其中两盆不许摆 放正中间的花摆在了正中间的排法有 A21A64 种,所求即为 A75-A21A64=2 520-720=1 800(...
更多相关标签:
11个数字排列组合 | 11选5排列组合 | 排列组合2的n次方 | 排列组合c10 2 | 1 2 3 4排列组合 | 排列组合a10 2 | 2个数字排列组合 | 4位数 1和2排列组合 |