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2极坐标


石楼中学高二数学选修 4-4 导学案

编号:g2sx2

班级:

编写时间:201406

二、极坐标系
主备:薛 涛 审核: 备课组长:刘五儿

预习学案 学习目标:掌握极坐标系、极坐标、点与极坐标的关系、点的极坐标和直角坐标的互化; 学习过程:
一、学习探究: 情境 1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便。 问题 1:如何进行极坐标与直角坐标的互化? 问题 2:平面内的一个点的直角坐标是 (1, 3) ,这个点如何用极坐标表示? 二、新课导学 1、极坐标系的建立: 在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个 单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向) ,这样 就建立了一个极坐标系。 (其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。 ) 2、极坐标系内一点的极坐标的规定: 对于平面上任意一点 M,用 ? 表示线段 OM 的长度,用 ? 表 示从 OX 到 OM 的角度,? 叫做点 M 的极径, ? 叫做点 M 的极角, 有序数对(?,?)就叫做 M 的极坐标。 特别强调: 由极径的意义可知 ?≥0;当极角 ? 的取值范围是[0,2 ? )时,平面上的点(除去极点) 就与极坐标(?,?)建立一一对应的关系 .约定极点的极坐标是极径 ?=0,极角是任意角. 3、负极径的规定: 在极坐标系中, 极径 ? 允许取负值, 极角 ? 也可以去任意的正角或负角, 当 ?<0 时, 点 M (?, ?) 位于极角终边的反向延长线上, 且 OM= M (?, ?) 也可以 ( ? ,? ? 2k? )或(?? ,? ? (2k ? 1)? ) ?。

(k ? z )
4、极坐标与直角坐标的互化 直角坐标系的原点O为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面 内任意一点的直角坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ,则由三角函数的定义可以得到如下两组 公式:

{

x ? ? cos? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y2
{

tan? ?

y x

说明:1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2、通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时, 取 ? ≥0, 0 ≤ ? < 2? 。

3

石楼中学高二数学选修 4-4 导学案 3、互化公式的三个前提条件

编号:g2sx2

班级:

编写时间:201406

(1)极点与直角坐标系的原点重合;(2) 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; (3)两种坐标系的单位长度相同. 例 1、在极坐标系中,做出以下各点:

? ? ? ? ? ? ? 7? ? A(4,0), B? 3, ?, C ? 2, ?, D? 3, ? ? 4? ? 2? ? 4 ?
例 2:在极坐标系中,已知 ?ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A(2, (1)判断 ?ABC 的形状 (2)求 ?ABC 的面积 变式:已知极坐标的极点为 O , M ? 2,

?

? 5? ? ), B?2, ? ?, C ? 2, ? , 3 ? 3 ?

? ?? ? 11? ? ? , N ? 2, ? , 求 ?MON 重心 G 的极坐标(限定 6 ? ? 6? ?

0 ? ? ? 2? )
例 3、 (1)分别把下列点的极坐标化为直角坐标: (2,

? ?

?? ? ? ? );? 4,? ?; ?5,?5?; ? 4,? ? 3 ? 2? 12 ? ?

(2)分别把下列点的直角坐标化为极坐标: (限定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )

?0,0? ; ?? 1,?1?; ?? 2,2
练案

? 3? 3? ? 3 ;? , ? ? 2 2 ?

?

1.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是 A. ? 2,

?

?

? ?

??
? 3?

B. ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 2,?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?


2.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

3? ? )和 B ( 2, ) ,则 A 、 B 两点间的距离是 . 4 4 ? 5? ) ,且 ?ABC 为等腰直角三角形,求直 4.在极坐标系中,如果点 A,B 的极坐标为 A( 2, ), B ( 2, 4 4
3.在极坐标系中,已知点 A (1, 角顶点 C 的极坐标. 5.将点 M 的极坐标 (5,

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), (k ? Z )

2? ) 化成直角坐标。 3

6.将点 M 的直角坐标 (? 3,?1) 化成极坐标.
4


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