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等比数列的前n项和说课


等比数列的前 n 项和
下面我将从教材分析、教学目标分析、教学重点难点分析、教法与学法 分析、教学过程五个方面进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 《等比数列的前 n 项和》是人教版高中数学必修 5 第二章数列第五 节。是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式,等差数列 的前 n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知识和解决一类求 和问题的重要基

础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应 用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的 类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学 习和工作中必备的数学素养. 2、 学情分析 认识上:从学生的思维特点看,易与等差数列前 n 项和从公式的形 成、特点等方面进行类比,但本节公式的推导与等差数列前 n 项和的推 导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,还应强调 q=1 的特殊 情况。 能力上:教学对象是高一学生,在课堂教学过程中,应注重过程、 激发兴趣、发展学生的个性思维品质和实践能力 ,还应注意学生缺乏 冷静、深刻,易片面、不严谨。 二、教学目标 1、知识与技能 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、 公式的特点, 在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题 2、过程与方法 通过对公式推导方法的探索与发现, 向学生渗透特殊到一般、 类比与转 化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等思维能力 3、情感态度与价值观 通过公式的探索发现过程, 学生经历结论的“再创造”过程, 体验成功 与快乐,优化学生的思维品质,感悟数学美 三、重点、难点分析 公式的推导方法错位相减法及公式应用中 q 与 1 的关系 公式推导所使用的 “错位相减法” 是高中数学数列求和方法中最常用的 方法之一,它蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点. 四、教法、学法分析 1、 教法: 创设情境:提出问题,鼓励学生合作讨论,通过自己的努力解决问
1

题,激发进一步深入学习的兴趣和欲望。 启发引导:获得等比数列前 n 项和公式的推导的多种方法。 例题选讲:针对知识点精选例题,初步掌握公式运用。 变式强化:深化对公式的理解与灵活运用,巩固强化。 归纳总结:鼓励学生自己总结,使自身的认知结构得以提高和发展。 2、 学法: 自主探究:引导学生通过自己动脑解决相应问题(例题,变式练习的 处理。 ) 启迪思维:引导学生寻求多种方法解决问题,开阔思维,培养能力。 五、教学过程 1、复习旧知,创设情境 什么是等比数列?等比数列的通项公式? (设计意图:建立与旧知识的联系 ,为发现错位相消法做好铺垫) 在古印度,有个大臣发明了国际象棋,国王大为赞赏,对他说:我可 以满足你的任何要求.西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒 小麦,第二格放 2 粒,第三格放 4 粒,后每一格都是前一格的 2 倍,直至第 64 格.问这位大臣要多少麦子?国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国 王大吃一惊.为什么呢? (设计意图:引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性.故 事内容紧扣本节课的主题与重点.) 此时我问:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写 2 63 出麦粒总数 1+2+2 +...+2 .这样的问题会引起学生的思考,该问题提出后 让学生思考 2-3 分钟。 (设计意图:在实际教学中,受时间限制,教师舍不得花时间让学生 去做所谓的“无用功”,匆忙给出“错位相减法”,这样做有悖学生的认 知规律,在整个教学关键处学生难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时 间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍.) 2、启发引导 探索发现 2 63 在肯定他们的思路后,我接着问:1,2,2 ,?,2 是什么数列?有何 2 63 特征?1+2+2 +...+2 应归结为什么数学问题呢? 2 63 探讨 1:S= 1+2+2 +...+2 ,记为(1)式,注意观察每一项的特征, 有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,(1)式 2 3 64 两边同乘以 2 则有 S= 2+2 +2 +...+2 ,记为(2)式.比较(1)(2)两式, 你有什么发现? (设计意图:留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推 导关键是整体代入,变“加”为“减”,在教师看来这是很自然的,但在学 生看来却是难以理解的,因此教学中有充分的缓冲.) 经过比较、研究,学生发现:(1)( 2)两式有许多相同的项,把两 式相减,相同的项就消去了,得到:s64 ? 264 ? 1 .老师指出:这就是错位相
2

减法,并要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? (设计意图:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼: 真是太简洁了!让学生在探索过程中,充分感受到成功的情感体验,从而 增强学习数学的兴趣和学好数学的信心.) 3、类比联想,解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列{an}首项为 a1,公比 为 q,求其前 n 项和 (设计意图:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知, 步步深入,让学生自己探究公式,从而体验知识形成的过程.)

在学生推导完成后, 我再问:由(1 - q)sn = a1 - a1q n 得sn =

a1 - a1q n 1- q

对不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是 什么数列?此时 sn=?(这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式,同时 为后面的例题教学打下基础.) n-1 再次追问:结合等比数列的通项公式 an=a1q ,如何把 sn 用 a1、an、q 表 示出来?(引导学生得出公式的另一形式) (设计意图:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善 知识结构,另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识, 从而进一步提高分析、类比和综合的能力.) 4、变式训练,深化认识

例1: 求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ? 前8项和; 2 4 8 16 63 变式 1、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ?前多少项的和是 ? ? 2 4 8 16 64 1 ,1 ,1 , 1 , ? ?, 求第5项到第 项的和. 2、 等比数列 ? 10 2 4 8 16
(设计意图:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解, 通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决, 促进学生新的数学认知结构的形成. ) 5、例题讲解,形成技能 例 2:求下列等比数列前 8 项的和。 (1) a1 ? 27 , a9 ?

1 ,q ? 0 243
(2) a1 ? ?2 , q ? ? , an ?

变式、 根据下列各题中的条件,求相应的等比数列的前 n 项和。 (1) a1 ?

1 , q ? 1 ,n=100 2

1 3

3 4

3

(设计意图:熟练运用公式,根据已知条件灵活运用 Sn ?

a1 ?1 ? qn ? 或 1? q

Sn ?

a1 ? a1q n ) 1? q
3 9 , S 3 ? ,求公比 q . 2 2

例 3、在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 a 3 ?

变式、在等比数列中已知 a1 ? 2 , S3 ? 26 ,求 a3 与 q

a1 ?1 ? qn ? (设计意图:让学生熟记用求和公式 Sn ? 时一定要分清 1? q
q ? 1 或 q ? 1 ,体会除求和公式外,项数很少时用各项相加更简单)
例 4、在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 5 , S20 ? 15 ,求 S30 . 变式、正项等比数列中,前 2 项和是 7,前 6 项和是 91,则前 4 项和是多少? (设计意图:方法一是用求和公式列方程组,引导学生发现方法二: 即等比数列{an}的前 n 项和 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ... 也构成等比数列,并熟 记此性质) 例 5、已知一个等比数列项数是偶数,奇数项和是 85,偶数项和是 170,这 个数列的公比是多少? 变式、已知一个等比数列其首项是 1,项数是偶数,奇数项和是 85,偶数项 和是 170,这个数列的项数是? 例 6、在等比数列 ?an ? 中,前 3 项和为 7,前 8 项和为 255,且公比为 2, 求前 11 项和. 例 7、等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 ? 3n ? a ,则 a 为? 变式、在等比数列 {an } 中,已知对 n ? N ? , a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? 2 n ? 1 ,求
2 2 2 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n

4

(设计意图:若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 S n? m = Sn ? q n Sm , 公比不为 1 的等比数列, S n ? A ? Aq n , 此性质会大大降低难度) 例 8、求和 1+a+a +a +?+a
2
2 3 n

A?

a1 ,在解决小题时,用 1? q

变式、求数列 1, a ? a , a a ? a ,? ? ? 的前 n 项和
4 5

3?

(设计意图:此题极易出错,以学生分析为主,教师适时给予点拨, 该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想,分情况讨 论 a ? 1或 a ? 1) 变式、设数列 ?an ? 为 1, 2 x,3x , 4 x ,? , nx
2 3
n ?1

?x ? 0? ,求此数列前 n 项

的和 Sn (设计意图:重新回顾错位相减法,用它解决与等比数列有关的简单求和问题) 6、总结归纳,加深理解 以问题的形式出现, 引导学生回顾公式、 推导方法, 鼓励学生积极回答, 然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结. ①等比数列求和公式以及公式的应用

(q ?na1, ? 1) ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q 或 1 ? q , (q ? 1) ?
②等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法:错位相减 ③利用方程的思想,解决“知三求二型”的问题。 7、故事结束,首尾呼应 最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 19 1.84×10 粒,大约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世界一年粮食产量的 459 倍,显然国王兑 现不了他的承诺. 8、课后作业 作业 1、2. 六、教学困惑 从课本来看,以等比数列的应用题为主,涉及到了复利问题,需要用计 算器计算的对数问题,以及程序和函数问题,但是从高考内容来看,主要是

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公式的简单应用,计算也比较简单。在教学过程中,应用题,尤其是课本中 的应用题到底要不要讲,如果讲,讲到什么程度。

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