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省实验中学2016届高三上学期阶段性测试(二)(文数)


省实验中学 2016 届高三上学期阶段性测试(二) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔 将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑

; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1) 设集合 A={x|x2-2x-3<0},B={ y | 1 ? y ? 4 },则 A∩B=( A.[0,2] B. (1,3) C.[1,3) ) D. (1,4)

(2) 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i

2 ?z ? z
D. 3 ? i

C. 3 ? i

(3)在下列条件下,可以判断平面 α 与平面 β 平行的是 A. α、β 都垂直于平面 γ C. l,m 是 α 内两条直线且 l∥β,m∥ β B. α 内不共线的三个点到 β 的距离相等 D. l,m 是异面直线,且 l∥α,m∥α,l∥β,m∥β

2 2 (4) 将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0

相切,则实数 ? 的值为 A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11 )

(5) 某几何体的三视图如右图所示,且该几何体体积是 3,则 x 的值是( A.2 B.3 C.2.5 D.4

(6) 如图所示为函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像,其中 A, B 两点之 间的距离为 5,那么 f (?1) ? A.2 B. 3 C. ? 3
1

D.-2

y

A

2 1 O -2 x

B

?x ? 2 y ? 0 ? (7) 已知 z ? x ? y, 其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最小值为 -3 ,则 z 的最大值是 ?0 ? y ? m ?
( ) A.6 B. 7
2

(第 6 题图)

C. 8

D.9

(8)已知实数 20, m ,52 构成一个等差数列,则圆锥曲线 A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

(9)函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ? )(? ? 0) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0

?

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 m 5 D. 或 7 6

? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) 等于 4 4 4 D. ?2 或 0

?

?

1 ,则 a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 =( ) 4 32 32 ?n ?n ?n ?n A.16( 1 ? 4 ) B.16( 1 ? 2 ) C. ( 1 ? 4 ) D. (1 ? 2 ) 3 3 1 (11) 函 数 f ( x) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f ( x) ? f (1 ? x) , 且 当 x ? 时 , 有 2
(10) 已知 ?a n ? 是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?
2 3? 1 ) , b ? f (lg 10) , c ? f (8 3 ) ,则 ( x ? ) ? f ' ( x) ? 0 ,设 a ? f (tan 4 2

A. a ? b ? c
x

B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

D. b ? c ? a

(12) 已知函数 f ( x) ? e ? mx ? 1 的图像是曲线 C,若曲线 C 不存在与直线 y=ex 垂直的切 线,则实数 m 的取值范围是 A. ( ?? ,? ]

1 e

B. [ , ?? )

1 e

C. ( ?? , )

1 e

D. ( ?? , ]

1 e

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 (a 2 ? c 2 ? b 2 ) tan B ? 3ac , 则角 B 的值为__________.

2

(14) 在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点,若 BP ? 3PA , | OA |? 4 , | OB |? 2 ,且

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ,则 OP ? AB = OA 与 OB 的夹角为 60°

.

(15)已知三棱锥 S-ABC, 满足 SA ? SB, SB ? SC, SC ? SA, ,且 SA=SB=SC,若该三棱锥 外接球的半径为 3 , Q 是外接球上一动点, 则点 Q 到平面 ABC 的距离的最大值为________ (16)定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ?R,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ?[0,1] 时, f ( x) ? ?2 x 2 ? 4 x ? 2 ,若函数 y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点, 则 a 的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

17.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .

1 1 1 (n ? N*) ,若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 证明: ? Tn ? . , 8 4 an ? 1
2

18.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,已知 c ? 2, C ? (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

?
3

.

19.(本小题满分 12 分) 三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1 =60° ,AB⊥B1C. (I)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C; (II)若 AB=2,求三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积. 20. (本小题满分 12 分)如图, 设椭圆的中心为原点 O, 长轴在 x 轴上, 上顶点为 A, 左、右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 作直线交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求△PB2Q 的面积.

3

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) .
2

(1)若定义域内存在 x 0 ,使不等式 f ( x 0 ) ? m ? 0 成立,求实数 m 的最小值; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? a 在区间 [0,3] 上恰有两个不同的零点, 求实数 a 取值
2

范围. 请从下面三题中选择一题作答,并把答题的题号写在答卷上。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲[] 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? ? | x ? 3 | ? m . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ( a ? R ) ; (2)若函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围.

选修 4—4:坐标系与参 数方程 23. 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数 ),以坐标原点为极点 , x 轴的正 ? y ? 5 ? 5sin t

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ).

24. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形, 以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的半圆 O 交于点 F ,延长 CF 交 AB 于 E . (1) 求证: E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长.

4

数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 B 6 A 7 A 8 C 9 B 10 C 11 B 12 D

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

?
3



2? 3

14.

-9

15.

4 3 __ 16. 3

(0,

3 ) 3

17.解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? 2 a ? 10 d ? 26 ? 1
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ;

(3 分)

(4 分) (6 分)

Sn = 3n+

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 , 所以 bn=

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( ( 8 分) 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? (11 分) ? (1- + ? + ? + ) = (1 ? 4 2 2 3 n n+1 4 n ?1 4 1 1 1 又 ? T1 ? Tn,所以 ? Tn ? . (12 分) 8 8 4
2 2

18.(第 9 次周四测原题)解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得 a ? b ? ab ? 4 又? ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 联立 ?

1 2

……3 分

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4 ?ab ? 4

解得 a ? 2, b ? 2

……5 分

(Ⅱ)由题意得, sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? 4 sin A cos A 即 sin B cos A ? 2 sin A cos A . ……7 分

当cos A ? 0时, A ?

?
2

,B ?

?
6

,a ?

4 3 2 3 ,b ? 3 3
……9 分

?ABC 的面积 S ?

1 2 3 bc ? 2 3

5

当 cos A ? 0时, 得 sin B ? 2 sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 联立方程 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4 ?b ? 2a

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? 3 3

所以 ?ABC 的面积 S ?

2 3 1 2 3 ab sin C ? ,综上, ?ABC 的面积为 .……12 分 3 2 3

19. 解:(I)由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1.

又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB ? 平面 AA1B1B,所以平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C. ……5 分 (II)由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点,连接 CO,则 CO⊥BB1.

由(I)知,CO⊥平面 AA1B1B,且 CO=

3 3 BC= AB= 3. 2 2

1 1 2 3 连结 AB1,则 V C—ABB1= S△ABB1· CO= AB2· CO= . 3 6 3 1 2 3 因为 VB1—ABC=V C—ABB1= V ABC—A1B1C1= , 3 3 故三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积 VABC—A1B1C1=2 3.……12 分 20. 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 ,F2(c,0)

∵△AB1B2 是的直角三角形,|AB1|=AB2|,∴∠B1AB2 为直角,从而|OA|=|OB2|,即 ∵c =a ﹣b ,∴a =5b ,c =4b ,∴
2 2 2 2 2 2 2

……………………3 分

在△AB1B2 中,OA⊥B1B2,∴S= ∵S=4,∴b =4,∴a =5b =20 ∴椭圆标准方程为
2 2 2

|B1B2||OA|=

;……………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1(﹣2,0) ,B2(2,0) ,由题意,直线 PQ 的倾斜角不为 0,故可设直 线 PQ 的方程为 x=my﹣2 2 2 代入椭圆方程,消元可得(m +5)y ﹣4my﹣16=0①……………………7 分
6

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , ∴ , ……………………8 分





∴ ∵PB2⊥QB2,∴

= ……………………9 分



,∴m=± 2……………………10 分

当 m=± 2 时,①可化为 9y ± 8y﹣16﹣0, ∴|y1﹣y2|= = ……………………11 分 = .……………………12 分

2

∴△PB2Q 的面积 S= |B1B2||y1﹣y2|= × 4×

21.解: (1)存在 x0 使 m≥f(x0)min---------------1 分
f ' ( x ) ? 2(1 ? x ) ? 2 x ( x ? 2) 2 ? ( x ? ?1) ---------------2 分 1? x 1? x
[来

令 f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

f ' ( x) ? 0 ? -1 ? x ? 0
∴y=f(x)在(-1,0)上单减,在(0,+ ? )单增 f(x0)min=f(0)=1---------------4 分 ∴m≥1 ∴mmin=1 --------------------------------------------------5 分

∴y=f(x)在[0,1]上单减,(1,3]上单增 h(0)=1-2ln1=1 h(1)=2-2ln2 h(3)=4-2ln4>1 ∴2-ln2<a≤1 ---------------------------------------------12 分 22.解: (1)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ? a ? 1 ? 0 ,

7

当 a ? 1 时,解集为 x ? 2 , 即 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? 1 时,解集为全体实数 R ; 当 a ? 1 时,解集为 (??, a ? 1) ? (3 ? a, ??) ------------------5 分 (2) f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方, 即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ? m 对任意实数 x 恒成立,即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立, 又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ,于是得 m ? 5 , 即 m 的取值范围是 (??,5) ----------------------------------10 分

23 解:(1)将 ?
2

? x ? 4 ? 5cos t ,消去参数 t,化学普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t
2

即 C1: x ? y ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 , 将

? x ? p cos ? , 代入x2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0得 ? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ? 16 ? 0 ; ? y ? p sin ? ?
所以 C1 极坐标方程为

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 . --------------6 分

(2) C2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,
2 2
2 2 ? ? x =1, ? x =0, ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 解得 或? ? 2 ? 2 y=2 , x ? y ? 2 y ? 0 ? ? ? y=2. ?

所以 C1与C2 交点的极坐标为 ( 2,

?

), (2, ) . --------------10 分 4 2

?

24.解: (1)证明:连结 DF , DO ,则 ?CDO ? ?FDO ,

因为 BC 是的切线,且 CF 是圆 D 的弦,所以
8

?BCE ?

1 ?CDF 2 ,即

?CDO ? ?BCE ,
故 Rt△CDO ? Rt△BCE ,所以

EB ? OC ?

1 AB 2 ; ----------------------------------5 分

9


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