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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《2.2.3独立重复实验与二项分布》教案2


2.2.3 独立重复实验与二项分布 一、复习引入: 1
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事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;

必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件
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2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件

A 发生的频率

m 总是接近某个常数,在 n

A 的概率,记作 P( A) .

3.概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4.概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为 0 ? 事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
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P( A) ? 1 ,必然

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5 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件

A )称为一个基本事件

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6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个 基本事件的概率都是

1 ,这种事件叫等可能性事件 n

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7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可能的,如果事件

A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P( A) ?
8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法
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m n

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9.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P( A ? B)
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? P( A) ? P( B)

一般地:如果事件
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A1 , A2 ,?, An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥

11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P( A ? 12.互斥事件的概率的求法:如果事件

A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( A)

A1 , A2 ,?, An 彼此互斥,那么
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P( A1 ? A2 ? ? ? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )
做相互独立事件 若

13.相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫
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A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立
P( A) ? P( B)

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14.相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? 一般地,如果事件

A1 , A2 ,?, An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的
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概率的积, P( A1 ? A2 ??? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ??? P( An ) 二、讲解新课:

1 独立重复试验的定义:
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指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 2.独立重复试验的概率公式:

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一般地, 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P , 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) 它是
k ? C n P k (1 ? P) n ? k .
n

?(1 ? P) ? P ?

展开式的第 k

?1项

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3.离散型随机变量的二项分布:在 一 次 随 机 试 验 中 ,某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 ,在 n 次独立重复 试验中这个事件发生的次数 ξ 是 一 个随 机变 量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次 独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k Pn (? ? k ) ? C n p k q n?k , k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) ( .

于是得到随机变量 ξ 的 概率分 布 如下 : ξ 0
0 Cn p 0 q n

1
1 C n p 1 q n ?1

? ?

k
k Cn p k q n?k

? ?

n
n Cn p n q 0

P
由 于 Cn
k

p k q n?k 恰好是二项展开式

0 1 k n (q ? p) n ? C n p 0 q n ? C n p1q n?1 ? ? ? C n p k q n?k ? ? ? C n p n q 0

中 的 各 项 的 值 , 所 以 称 这 样 的 随 机 变 量 ξ 服 从 二 项 分 布 ( binomial distribution ), 记 作 ξ ~ B ( n , p ),其中 n , p 为参 数, 并记 C n
k

p k q n?k =b(k;n,p).

三、讲解范例: 例 1.某射手每次射击击中目标的概率是 0 . 8.求这名射手在 10 次射击中, (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字.) 解:设 X 为击中目标的次数,则 X~B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中,恰有 8 次击中目标的概率为 P (X = 8 ) = C10 ? 0.8
8 8

? (1 ? 0.8)10?8 ? 0.30 .

(2)在 10 次射击中,至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
8 9 10 C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? C10 ? 0.89 ? (1 ? 0.8)10?9 ? C10 ? 0.810 ? (1 ? 0.8)10?10

? 0.68 .
例 2. (2000 年高考题)某厂生产电子元件,其产品的次品率为 5%.现从一批产品中任意地连续取出 2 件,写出其中次品数 ξ 的概率分布. 解:依题意,随机变量 ξ ~B(2,5%).所以,

P(ξ =0)= C 2 (95%) =0.9025,P(ξ =1)= C 2 (5%)(95%)=0.095, P( ?
2 ? 2 )= C 2 (5%) 2 =0.0025.

0

2

1

因此,次品数 ξ 的概率分布是 ξ 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025

P

例 3.重复抛掷一枚筛子 5 次得到点数为 6 的次数记为 ξ ,求 P(ξ >3). 解:依题意,随机变量 ξ ~B ? 5,

? 1? ?. ? 6?
,P(ξ

∴P(ξ

? 1 ? 5 25 =4)= C ? ? ? = ? 6 ? 6 7776
4 5

4

?1? =5)= C ? ? ?6?
5 5

5

=

1 7776



13 3888 例 4.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字) :
∴P(ξ >3)=P(ξ =4)+P(ξ =5)=
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(1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率
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解: (1)记“预报 1 次,结果准确”为事件 复试验中某事件恰好发生

A .预报 5 次相当于 5 次独立重复试验,根据 n 次独立重

k
? 5

次的概率计算公式,5 次预报中恰有 4 次准确的概率
4 4 ? 0.8 ? 0.41

P5 (4) ? C54 ? 0.8 4? (1 ? 0.8)

答:5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41. (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率,就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次预报都准确的概 率的和,即
5 P ? P5 (4) ? P5 (5) ? P5 (4) ? C54 ? 0.84 ? (1 ? 0.8)5?4 ? C5 ? 0.85 ? (1 ? 0.8)5?5

? 0.84 ? 0.85 ? 0.410 ? 0.328 ? 0.74

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答:5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74. 例 5.某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是 要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字) 解:记事件 试验
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1 ,求 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需 4

,1 A =“1 小时内,1 台机器需要人照管” 小时内 5 台机器需要照管相当于 5 次独立重复

1 5 3 ) ? ( )5 , 4 4 1 1 4 1 1 小时内 5 台机床中恰有 1 台需要工人照管的概率 P (1) ? C5 ? ? (1 ? ) , 5 4 4
1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率 P (0) ? (1 ? 5 所以 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率为

P ? 1 ? ? P5 (0) ? P5 (1)? ? 0.37

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答:1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率约为 0.37 . 点评: “至多”“至少”问题往往考虑逆向思维法 , 射击几次? 解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次
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例 6.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应

记事件

,则 A =“射击一次,击中目标” P( A) ? 0.25 .

∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验, ∴事件

A 至少发生 1 次的概率为 P ? 1 ? Pn (0) ? 1 ? 0.75n .
lg

1 3 n 1 n 4 ? 4.82 , 由题意,令 1 ? 0.75 ? 0.75 ,∴ ( ) ? ,∴ n ? 3 4 4 lg 4 ∴ n 至少取 5.
答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击 5 次
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例 7.十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少?停几次概率最大? 解:依题意,从低层到顶层停不少于 3 次,应包括停 3 次,停 4 次,停 5 次,??,直到停 9 次 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率
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1 1 1 1 3 1 5 1 9 1 P ? C9 ( )3 ( )6 ? C94 ( )4 ( )5 ? C9 ( )5 ( )4 ? ? ? C9 ( )9 2 2 2 2 2 2 2 1 1 233 3 5 9 1 1 ? (C9 ? C94 ? C9 ? ? ? C9 )( )9 ? ?29 ? (C90 ? C9 ? C92 ) ? ( )9 ? (29 ? 46)( )9 ? ? ? 2 2 2 256 1 k 1 k 1 9? k 设从低层到顶层停 k 次,则其概率为 C9 ( ) ( ) ? C9k ( )9 , 2 2 2 1 9 k k ∴当 k ? 4 或 k ? 5 时, C9 最大,即 C9 ( ) 最大, 2 233 答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为 ,停 4 次或 5 次概率最大. 256
例 8.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出 并停止比赛) . (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 记事件

1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2

,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , A =“甲打完 3 局才能取胜” 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜 ∴甲打完 3 局取胜的概率为 P( A) ? C3 (
3
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1 3 1 ) ? . 2 8
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②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜 1 负 ∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P( B)

1 1 1 3 ? C32 ? ( ) 2 ? ? ? . 2 2 2 16
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③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负

1 1 1 3 ? ( )2 ? ( )2 ? ? . 2 2 2 16 (2)事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥,
∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C ) ? C4
2

1 3 3 1 P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? ? . 8 16 16 2 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2
故 P ( D) ? 例 9.一批玉米种子,其发芽率是 0.8.(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率 大于 98% ?(2)若每穴种 3 粒,求恰好两粒发芽的概率. lg 2 ? 0.3010 ) ( 解:记事件 ,则 A =“种一粒种子,发芽” P( A) ? 0.8 , P( A) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 ,

(1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽” ,则
0 P( B) ? Pn (0) ? Cn 0.80 (1 ? 0.8) n ? 0.2n .

∴ P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 0.2 .
n

由题意,令 P( B) ? 98% ,所以 0.2

n

? 0.02 ,两边取常用对数得,

n lg 0.2 ? lg 0.02 .即 n(lg 2 ? 1) ? lg 2 ? 2 ,
∴n

?

lg 2 ? 2 1.6990 ? ? 2.43 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 . lg 2 ? 1 0.6990

答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . (2)∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验, ∴每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 P

? C32 ? 0.82 ? 0.2 ?? 0.384 ,
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答:每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 0.384 四、课堂练习: 1.每次试验的成功率为 为( )
3 ( B) C10 p3 (1 ? p)3

p(0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验,其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率

3 ( A) C10 p3 (1 ? p)7

(C ) p3 (1 ? p)7

( D) p 7 (1 ? p)3


2.10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,每人购买 1 张,则前 3 个购买者中,恰有一人中奖的概率为(

( A) C ? 0.7 ? 0.3
3 10 2

( B) C ? 0.7 ? 0.3
1 3 2

3 (C ) 10

1 3A72 ? A3 ( D) 3 A10

3.某人有 5 把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开,则此人在 3 次内 能开房门的概率是 ( )

( A) 1 ?

3 A3 3 A5

( B)

1 1 2 A32 ? A2 A3 ? A2 ? 3 3 A5 A5

3 2 3 2 1 ( D) C32 ? ( )2 ? ( ) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 5 5 5 5 4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 3: 2 ,比赛时均能正常发挥技术水平,则在
5 局 3 胜制中,甲打完 4 局才胜的概率为( )

3 (C ) 1 ? ( )3 5

3 2 ( A) C32 ( )3 ? 5 5
为 为

3 2 ( B) C32 ( ) 2 ( ) 5 3

2 3 3 (C ) C4 ( )3 ( ) 5 5

1 3 2 ( D) C4 ( )3 ( ) 3 3

5.一射手命中 10 环的概率为 0.7,命中 9 环的概率为 0.3,则该射手打 3 发得到不少于 29 环的概率 . (设每次命中的环数都是自然数) .

6.一名篮球运动员投篮命中率为 60% ,在一次决赛中投 10 个球,则投中的球数不少于 9 个的概率

7.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为

80 ,则此射手的命中率为 81



8.某车间有 5 台车床,每台车床的停车或开车是相互独立的,若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率 为

1 ,求: (1)在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率; (2)至少有一台处于停车的概率 3
⑵全部死亡的概率; ⑷至少成活 4 棵的概率
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9.种植某种树苗,成活率为 90%,现在种植这种树苗 5 棵,试求: ⑴全部成活的概率; ⑶恰好成活 3 棵的概率;

80 ,试求在一次试验中事件 A 发生的 81 1 概率 (2)某人向某个目标射击,直至击中目标为止,每次射击击中目标的概率为 ,求在第 n 次才击中 3
10. (1)设在四次独立重复试验中,事件

A 至少发生一次的概率为

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目标的概率 答案:1. C

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2. D

3. A
3 5

4.
3

A
2

5. 0.784 6. 0.046

7.

2 3
5

?1? 8.(1) P5 ? 3? ? C ? ? ?3?
5

211 ? 2 ? 40 5?2? (2) P ? B ? ? 1 ? P B ? 1 ? C5 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 243 ? 3 ? 243
⑵ C5 0.1 ⑷P
5 5

??

5

9.⑴ C5 0.9 ⑶P 5 10.(1)

? 0.59049 ;

? 0.00001 ;

? 3? ? C53 0.93 ? 0.12 ? 0.0729 ;
P? 2 3
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? P5 ? 4 ? ? P5 ? 5? ? 0.91854

(2)

1 2 P ? ? ( )n?1 3 3
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五、小结 :1.独立重复试验要从三方面考虑 第一:每次试验是在同样条件下进行 第二:各次试验中的事
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件是相互独立的 第三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生

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2.如果 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为
k Pn (k ) ? C n P k (1 ? P) n ? k
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对于此式可以这么理解:由于 1 次试验中事件 A 要么发生,要么不发生,所 次,则在另外的 n ? k 次中

以在

n 次 独 立 重 复 试 验中 A 恰 好 发 生 k
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A 没有发生,即 A 发生,由

P( A) ? P , P( A) ? 1 ? P

所以上面的公式恰为 [(1 ? P) ?
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P]n 展开式中的第 k ? 1 项,可见排列组

合、二项式定理及概率间存在着密切的联系


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