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辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三下学期第五次模拟数学(文)试卷


辽宁省沈阳市东北育才学校 2015 届高考数学五模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|x>2},若 m=lne (e 为自然对数底) ,则( A.?∈A B.m?A C.m∈A
2 e

) D.A?{x|x>m}

/>
2.设 a,b∈R,则“(a﹣b)a <0”是“a<b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若 z=1+i,则 z? +| |﹣1=( A.2 ﹣1 B. +1 ) C. +3 ) <1 D. D.2 +1

4.已知 log2a>log2b,则下列不等式一定成立的是( A. B.log2(a﹣b)>0 C.2
a﹣b

5.如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助 作用) ,则四面体 ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )

A.①②⑥

B.①②③

C.④⑤⑥ )

D.③④⑤

6.阅读如图所示的程序框图,则该算法最后输出的结果为(

A.15

B.31

C.63

D.127

7.设 x,y 满足

,则 z=x+y(

)

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

8.从某高中随机选取 5 名 2015 届高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 160 165 170 175 180 体重 y(kg) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程 =0.56x+ ,据此模型预报身高为 172cm 的 2015 届高三男生的 体重为( ) A.70.09kg

B.70.12kg
2

C.70.55kg

D.71.05kg

9.已知曲线 C:

﹣y =1 的左右焦点分别为 F1F2,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交 ) D.4

于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 PF1Q 的周长为( A. B.5 C.

10.将函数 y=sin(2x+ 函数解析式是( A.y=2cos x
2

)的图象向左平移

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的

) B.y=2sin x
2

C.

D.y=cos2x

11.若在曲线 f(x,y)=0(或 y=f(x) )上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲 线 f(x,y)=0 或 y=f(x)的“自公切线”.下列方程: 2 2 ①x ﹣y =1;

②y=x ﹣|x|; ③y=3sinx+4cosx; ④|x|+1= 对应的曲线中存在“自公切线”的有( A.①③ B.①④ ) C.②③

2

D.②④ )

12.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1,则圆锥的体积为( A.π B.2π C.3π D.4π

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,则他能等到公共 汽车的概率为__________. 14.已知单调递增的等比数列{an}中,a2?a6=16,a3+a5=10,则数列{an}的前 n 项和 Sn=__________.

15.若关于 x 的函数 f(x)= M+N=4,则实数 t 的值为__________.

(t>0)的最大值为 M,最小值为 N,且

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 在椭圆 =6,则向量 在

=1 上,点 P 满足

,且

方向上的正射影的数量为__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 已知△ ABC 是斜三角形, 内角 A、 B、 C 所对的边的长分别为 a、 b、 c. 若 csinA= acosC. (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c= ,且 sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ ABC 的面积. 18.在直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,D′是棱 A′C′的中点, 且 AA′=2 . (Ⅰ)证明:BC′∥平面 AB′D′; (Ⅱ)棱 CC′上是否存在一点 M,使 A′M⊥平面 AB′D′,若存在,求出 CM 的长;若不存在, 说明理由.

19.“光盘行动”已经发起两年,为了调查人们的节约意识,某班几位同学组成研究性学习小 组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次调查,得到如下统计表: 组数 分组 频数 频率 关盘组占本组的比例 第一组 [25,30) 50 0.05 30% 第二组 [30,35) 100 0.1 30% 第三组 [35,40) 150 0.15 40% 第四组 [40,45) 200 0.2 50% 第五组 [45,50) a b 65% 第六组 [50,55) 200 0.2 60% (1)求 a,b 的值,并估计本社区[25,55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例; (2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取 8 人参加节约粮食宣传活动, 并从这 8 人中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队分别来自[35,40)和[40,45)两个年 龄段的概率. 20.已知椭圆的焦点坐标为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1MN 的内切圆的面积是否存在最 大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=e ﹣ax (1)求函数 f(x)在点 P(0,1)处的切线方程; (2)当 a>0 时,若函数 f(x)为 R 上的单调递增函数,试求 a 的范围; (3)当 a≤0 时,证明函数 f(x)不出现在直线 y=x+1 的下方.
x 2

四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选 修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已 知 AC=AB. (1)求证:FG∥AC; (2)若 CG=1,CD=4.求 的值.

选修 4-4:极坐标与参数方程 23. (选做题) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的极坐标方程为

ρsin(θ+

)=

,圆 C 的参数方程为

, (θ 为参数,r>0)

(Ⅰ)求圆心 C 的极坐标; (Ⅱ)当 r 为何值时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3.

选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣a|,a<0. (Ⅰ)证明 f(x)+f(﹣ )≥2; (Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围.

辽宁省沈阳市东北育才学校 2015 届高考数学五模试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. e 1.设集合 A={x|x>2},若 m=lne (e 为自然对数底) ,则( ) A.?∈A B.m?A C.m∈A D.A?{x|x>m} 考点:元素与集合关系的判断. 专题:集合. 分析:先求出 m 的值,从而判断出 m 属于结合 A. 解答: 解:∵m=elne=e,

∴m∈A, 故选:C. 点评:本题考查了集合和运算的关系的判断,是一道基础题. 2.设 a,b∈R,则“(a﹣b)a <0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2

)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分必要条件定义判断,结合不等式求解. 解答: 解:∵a,b∈R,则(a﹣b)a <0, ∴a<b 成立, 2 由 a<b,则 a﹣b<0,“(a﹣b)a ≤0, 所以根据充分必要条件的定义可的判断: 2 a,b∈R,则“(a﹣b)a <0”是 a<b 的充分不必要条件, 故选:A 点评:本题考查了不等式,充分必要条件的定义,属于容易题. 3.若 z=1+i,则 z? +| |﹣1=( A.2 ﹣1 B. +1 ) C. +3 D.2 +1
2

考点:复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接把 z=1+i 代入 z? +| |﹣1,然后由复数摸的计算公式得答案. 解答: 解:∵z=1+i, ∴z? +| |﹣1= = = .

故选:B. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题. 4.已知 log2a>log2b,则下列不等式一定成立的是( A. B.log2(a﹣b)>0 C.2
a﹣b

) <1 D.

考点:指、对数不等式的解法. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得 a>b>0,依次比较即可. 解答: 解:∵log2a>log2b,∴a>b>0, 所以 0< ,2
a﹣b

>2 =1,故 A、C 不正确;

0

当 a﹣b>1 时,log2(a﹣b)>0, 当 0<a﹣b≤1 时,log2(a﹣b)≤0,故 B 不正确;



,∴选项 D 正确;

故选:D. 点评:本题考查函数的单调性,函数值的比较,属于中档题. 5.如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助 作用) ,则四面体 ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )

A.①②⑥

B.①②③

C.④⑤⑥

D.③④⑤

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由已知中的四面体 ABCD 的直观图,分析出四面体 ABCD 的三视图的形状,可得答 案. 解答: 解:由已知中四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点, 可得:四面体 ABCD 的正视图为①, 四面体 ABCD 的左视图为②, 四面体 ABCD 的俯视图为③, 故四面体 ABCD 的三视图是①②③, 故选:B 点评:本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,难度不大,属于基础题. 6.阅读如图所示的程序框图,则该算法最后输出的结果为( )

A.15

B.31

C.63

D.127

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 A,i 的值,当 i=7 时,满足条件 i>6, 退出循环,输出 A 的值为 63. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 A=0,i=1 A=1,i=2 不满足条件 i>6,A=3,i=3 不满足条件 i>6,A=7,i=4 不满足条件 i>6,A=15,i=5 不满足条件 i>6,A=31,i=6 不满足条件 i>6,A=63,i=7 满足条件 i>6,退出循环,输出 A 的值为 63. 故选:C. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的 A,i 的值是解题的 关键,属于基本知识的考查.

7.设 x,y 满足

,则 z=x+y(

)

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值 考点:简单线性规划.

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

分析:本题考查的知识点简单线性规划问题,我们先在坐标系中画出满足约束条件

对应的平面区域,根据目标函数 z=x+y 及直线 2x+y=4 的斜率的关系,即可得

到结论.

解答: 解析:如图作出不等式组表示

的可行域,如下图所示:

由于 z=x+y 的斜率大于 2x+y=4 的斜率, 因此当 z=x+y 过点(2,0)时,z 有最小值, 但 z 没有最大值. 故选 B 点评:目判断标函数的有元最优解,处理方法一般是:①将目标函数的解析式进行变形, 化成斜截式②分析 Z 与截距的关系,是符号相同,还是相反③根据分析结果,结合图形做 出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析,即可得到答案. 8.从某高中随机选取 5 名 2015 届高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 160 165 170 175 180 体重 y(kg) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程 =0.56x+ ,据此模型预报身高为 172cm 的 2015 届高三男生的 体重为( ) A.70.09kg

B.70.12kg

C.70.55kg

D.71.05kg

考点:回归分析的初步应用. 专题:应用题;概率与统计. 分析:根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,利 用待定系数法做出 的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的 x 的值,代入线性回 归方程,预报身高为 172cm 的 2015 届高三男生的体重 解答: 解: 由表中数据可得 ∵( = =170, = =69

, )一定在回归直线方程 =0.56x+ 上 =﹣26.2

故 69=0.56×170+ 解得



=0.56x﹣26.2

当 x=172 时, =0.56×172﹣26.2=70.12 故选 B. 点评:本题主要考查线性回归方程的求解与运用,解题的关键是线性回归方程 经过样本点 的中心 同时注意理解线性回归方程中相关系数的意义.
2

9.已知曲线 C:

﹣y =1 的左右焦点分别为 F1F2,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交 ) D.4

于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 PF1Q 的周长为( A. B.5 C.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出双曲线的 a,b,c,求得焦点,判断三角形 PF1Q 为等腰三角形,PQ⊥x 轴,令 x=2,求得|PQ|,再由勾股定理,求得|PF1|,即可求得周长. 解答: 解:双曲线 C: c= =2, ﹣y =1 的 a=
2

,b=1,

则 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , 由于点 P 的横坐标为 2,则 PQ⊥x 轴, 令 x=2 则有 y = ﹣1= , 即 y= |PF1|= .即|PF2|= , = = . + +
2

则三角形 PF1Q 的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|= = .

故选:A. 点评:本题考查双曲线的方程和性质,考查直线与双曲线的关系,考查运算能力,属于基础 题.

10.将函数 y=sin(2x+ 函数解析式是( A.y=2cos x
2

)的图象向左平移

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的

) B.y=2sin x
2

C.

D.y=cos2x

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:首先根据函数的图象变换求出关系式 y=cos2x+1,进一步利用诱导公式求出结果. 解答: 解:函数 y=sin(2x+ 得到:y=sin(2(x+ )+ )的图象向左平移 个单位,

)=cos2x

函数图象再向上平移 1 个单位, 2 得到:y=cos2x+1=2cos x 故选:A 点评:本题考查的知识要点:函数图象的变换问题,诱导公式的应用,属于基础题型. 11.若在曲线 f(x,y)=0(或 y=f(x) )上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲 线 f(x,y)=0 或 y=f(x)的“自公切线”.下列方程: 2 2 ①x ﹣y =1; 2 ②y=x ﹣|x|; ③y=3sinx+4cosx; ④|x|+1= 对应的曲线中存在“自公切线”的有( A.①③ B.①④ ) C.②③

D.②④

考点:命题的真假判断与应用. 专题:新定义. 分析:化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线. 解答: 解:①、x ﹣y =1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;
2 2

②、y=x ﹣|x|=

2

,在 x=

和 x=﹣

处的切线都是 y=﹣ ,故②有自

公切线. ③、y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ) ,cosφ= ,sinφ= , 此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线. ④、由于|x|+1= ,即 x +2|x|+y ﹣3=0,结合图象可得,此曲线没有自公切线.
2 2

故答案为 C. 点评:本题考查函数的自公切线的定义,函数图象的特征,准确判断一个函数是否有自公切 线,是解题的难点. 12.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1,则圆锥的体积为( A.π B.2π C.3π D.4π )

考点:球内接多面体. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析: 过圆锥的旋转轴作轴截面, 得△ ABC 及其内切圆⊙O1 和外切圆⊙O2, 且两圆同圆心, 即△ ABC 的内心与外心重合,易得△ ABC 为正三角形,由题意⊙O1 的半径为 r=1,进而求 出圆锥的底面半径和高,代入圆锥体积公式,可得答案. 解答: 解:过圆锥的旋转轴作轴截面,得△ ABC 及其内切圆⊙O1 和外切圆⊙O2, 且两圆同圆心,即△ ABC 的内心与外心重合,易得△ ABC 为正三角形, 由题意⊙O1 的半径为 r=1, ∴△ABC 的边长为 2 , ∴圆锥的底面半径为 ,高为 3, ∴V= .

故选:C. 点评: 本题考查的知识点是旋转体, 圆锥的体积, 其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高, 是解答的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,则他能等到公共 汽车的概率为 .

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:由已知中公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,我们 可以分别求出所有基本事件对应的时间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长 度,代入几何概型公式可得答案. 解答: 解:∵公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站, 故所有基本事件对应的时间总长度 LΩ=20 某人 8:15 到达该站, 记“他能等到公共汽车”为事件 A 则 LA=5 故 P(A)= 故答案为 . 点评:本题考查的知识点是几何概型,几何概型分长度类,面积类,角度类,体积类,解答 的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量 14.已知单调递增的等比数列{an}中,a2?a6=16,a3+a5=10,则数列{an}的前 n 项和 Sn= . ;

考点:等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列.

分析: 由题意和等比数列的性质可得 a3 和 a5 为方程 x ﹣10x+16=0 的两根, 解方程可得数列 的首项和公比,由求和公式可得. 解答: 解:由等比数列的性质可得 a3a5=a2?a6=16, 2 又 a3+a5=10,∴a3 和 a5 为方程 x ﹣10x+16=0 的两根, 解方程可得 x=2 或 x=8, ∵等比数列{an}单调递增, ∴a3=2,a5=8,∴公比 q=2,a1= ,

2

∴Sn= 故答案为:

=

点评:本题考查等比数列的求和公式,涉及等比数列的性质和韦达定理,属中档题.

15.若关于 x 的函数 f(x)= M+N=4,则实数 t 的值为 2. 考点:函数的最值及其几何意义. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意 f(x)=t+g(x) ,其中 g(x)= t 的值. 解答: 解:由题意,f(x)= 显然函数 g(x)= 是奇函数,

(t>0)的最大值为 M,最小值为 N,且

是奇函数,从而 2t=4,即可求出实数

=t+



∵函数 f(x)最大值为 M,最小值为 N,且 M+N=4, ∴M﹣t=﹣(N﹣t) ,即 2t=M+N=4, ∴t=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查函数的最大值、 最小值, 考查函数是奇偶性, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 在椭圆 =6,则向量 在 方向上的正射影的数量为 2

=1 上,点 P 满足 .

,且

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用.

分析:由

便得

,所以



的夹角为 0°,而根据

可得出

,从而根据射影的定义即可求出答案. 解答: 解:根据已知条件, 并且 ∴ ∴由 ∴ ∴ 在 ; ; =6 得, ; 方向的正射影的数量为:| |cos0°=2 . ; 同向,所以 和 同向;

故答案为: . 点评:考查共线向量基本定理,数量积的运算,以及向量减法的几何意义,正射影的定义. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 已知△ ABC 是斜三角形, 内角 A、 B、 C 所对的边的长分别为 a、 b、 c. 若 csinA= acosC. (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c= ,且 sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ ABC 的面积. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (I)由 ,利用正弦定理可得 sinCsinA= sinAcosC,于是 ,即可得出; (II)由 sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,sinC=sin(A+B) ,可得 sinB=5sinA,由正弦定理可知 2 2 2 b=5a,由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC,联立解出,再利用三角形面积计算公式即可得出. 解答: 解: (I)∵ ,由正弦定理可得 sinCsinA= sinAcosC, sinA≠0, ∴ , 得 ∵C∈(0,π) , ∴ . ,

(II)∵sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,sinC=sin(A+B) , ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=5sin2A, ∴2sinBcosA=2×5sinAcosA, ∵△ABC 为斜三角形, ∴cosA≠0, ∴sinB=5sinA,

由正弦定理可知 b=5a (1) 由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC, ∴ , (2)
2 2 2

由(1) (2)解得 a=5,b=1, ∴ .

点评:本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 18.在直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,D′是棱 A′C′的中点, 且 AA′=2 . (Ⅰ)证明:BC′∥平面 AB′D′; (Ⅱ)棱 CC′上是否存在一点 M,使 A′M⊥平面 AB′D′,若存在,求出 CM 的长;若不存在, 说明理由.

考点:点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 连结 A′B 交 AB′于点 E,连结 D′E,证明 D′E∥BC′,利用在与平面平行的判定 定理证明 BC′∥平面 AB′D′. (Ⅱ) 作 A′M⊥AD′,交 CC′于 M,通过证明△ A′AD∽△C′A′M,求出 CM 的长,得到结 果. 解答: 解: (Ⅰ) 连结 A′B 交 AB′于点 E,连结 D′E, ∵四边形 A′ABB′为矩形,∴E 为 A′B 的中点, 又∵D′是棱 A′C′的中点 ∴D′E∥BC′ ∵D′E?平面 AB′D′BC′?平面 AB′D′ ∴BC′∥平面 AB′D′… (Ⅱ) 作 A′M⊥AD′,交 CC′于 M ∵D′是棱 A′C′的中点 ∴B′D′⊥A′C′ ∴B′D′⊥平面 A′ACC′ ∴B′D′⊥A′M ∴A′M⊥平面 AB′D′

此时△ A′AD∽△C′A′M ∴ 即当 ,即 时,A′M⊥平面 AB′D′.… ,∴

点评:本题考查空间点线面距离的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象 能力以及计算能力. 19.“光盘行动”已经发起两年,为了调查人们的节约意识,某班几位同学组成研究性学习小 组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次调查,得到如下统计表: 组数 分组 频数 频率 关盘组占本组的比例 第一组 [25,30) 50 0.05 30% 第二组 [30,35) 100 0.1 30% 第三组 [35,40) 150 0.15 40% 第四组 [40,45) 200 0.2 50% 第五组 [45,50) a b 65% 第六组 [50,55) 200 0.2 60% (1)求 a,b 的值,并估计本社区[25,55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例; (2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取 8 人参加节约粮食宣传活动, 并从这 8 人中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队分别来自[35,40)和[40,45)两个年 龄段的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (1)由第一组的人数和频率可得 n 值,进而可得 b 值,可得 a 值,易得样本中光盘族 的人数,可得所占比例; (2)可得采用分层抽样抽取 8 人则应分别抽取 3 人和 5 人,分别记为 a、b、c 和 1、2、3、 4、5,列举可得总的基本事件共 28 种,符合题意的有 15 种,由概率公式可得. 解答: 解: (1)第一组的人数为 50,第一组的频率里为 0.05,故 n= =1000,

第五组的频率 b=1﹣(0.2+0.2+0.15+0.1+0.05)=0.3, 第五组的人数 a=1000×0.3=300 人,样本中光盘族的人数为 50×30%+100×30% +150×40%+200×50%+300×65%+200×60%=520, ∴光盘族所占的比例为 =52%;

(2)[35,40)的“光盘族”人数为 150×40%=60,[40,45)的“光盘族”人数为 200×50%=100, ∴两段的人数比值为 3:5,采用分层抽样抽取 8 人则应分别抽取 3 人和 5 人,分别记为 a、 b、c 和 1、2、3、4、5, 任取 2 人有(a,b) , (a,c) , (a,1) , (a,2) , (a,3) , (a,4) , (a,5) , (b,c) , (b,1) , (b,2) , (b,3) , (b,4) , (b,5) , (c,1) , (c,2) , (c,3) , (c,4) , (c,5) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 28 种 其中来自不同年龄段的有(a,1) , (a,2) , (a,3) , (a,4) , (a,5) , (b,1) , (b,2) , (b,3) , (b,4) , (b,5) , (c,1) , (c,2) ,

(c,3) , (c,4) , (c,5)共 15 种, ∴所求概率 P= .

点评:本题考查列举法计算基本事件数以及事件发生的概率,涉及频率分布表,属基础题. 20.已知椭圆的焦点坐标为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1MN 的内切圆的面积是否存在最 大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设椭圆方程,由焦点坐标可得 c=1,由|PQ|=3,可得 可求椭圆方程; (2) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 不妨 y1>0, y2<0, 设△ F1MN 的内切圆的径 R, 则△ F1MN 的周长=4a=8, (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R,因此 最大,R 就最大.设 =3,又 a ﹣b =1,由此
2 2

直线 l 的方程为 x=my+1,与椭圆方程联立,从而可表示△ F1MN 的面积,利用换元法,借 助于导数,即可求得结论. 解答: 解: (1)设椭圆方程为 =1(a>b>0) ,由焦点坐标可得 c=1…

由|PQ|=3,可得
2 2

=3,… ,…

又 a ﹣b =1,解得 a=2,b= 故椭圆方程为 =1…

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,不妨 y1>0,y2<0,设△ F1MN 的内切圆的径 R, 则△ F1MN 的周长=4a=8, 因此 最大,R 就最大,… (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,
2 2



得(3m +4)y +6my﹣9=0,…









=

,…

令 t= 则

,则 t≥1, ,…

令 f(t)=3t+ ,则 f′(t)=3﹣



当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f(t)≥f(1)=4,S△ F1MN≤3, 即当 t=1,m=0 时,S△ F1MN≤3, S△ F1MN=4R,∴Rmax= ,这时所求内切圆面积的最大值为 故直线 l:x=1,△ F1MN 内切圆面积的最大值为 π… π.

点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考 查学生分析解决问题的能力,分析得出 最大,R 就最大是关键.

21.已知函数 f(x)=e ﹣ax (1)求函数 f(x)在点 P(0,1)处的切线方程; (2)当 a>0 时,若函数 f(x)为 R 上的单调递增函数,试求 a 的范围; (3)当 a≤0 时,证明函数 f(x)不出现在直线 y=x+1 的下方. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,切线斜率,切点坐标,然后求解 f(x)在点 P(0,1)处的切 线方程. x (2)由题意推出 f′(x)=e ﹣2ax≥0 恒成立,通过构造函数,求出新函数的最值,即可求解 0<a≤ (3)记 F(x)=e ﹣ax ﹣x﹣1,a≤0,利用函数的导数,判断函数的单调性,求解 最值即可证明函数 f(x)不出现在直线 y=x+1 的下方. x 解答: 解: (1)∵f′(x)=e ﹣2ax,∴f′(0)=1 所以 f(x)在点 P(0,1)处的切线方程为 y﹣f(0)=f′(0) (x﹣0) ,即 y=x+1.… (2)由题意 f′(x)=e ﹣2ax≥0 恒成立 x>0 时 2a≤ ,令 g(x)= ,则 g′(x)= ,
x x 2

x

2

由 g′(x)=0 得 x=1,x>1 时 g′(x)>0,x<1 时 g′(x)<0. ∴g(x)min=g(1)=e,∴a≤ ; x<0 时 2a≥ ,∵ <0,2a≥0 恒成立;

综上,若函数 f(x)为 R 上的单调递增函数,则 0<a≤
x 2



(3)记 F(x)=e ﹣ax ﹣x﹣1,a≤0 x 则 F′(x)=e ﹣2ax﹣1, x F′′(x)=e ﹣2a>0,∴F′(x)单调递增,又 F′(0)=0 ∴F(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增 ∴F(x)≥F(0)=0,即函数 f(x)不出现在直线 y=x+1 的下方. … 点评:本题考查函数的导数的综合应用,转化思想以及计算能力,注意二次求导的应用. 四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选 修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已 知 AC=AB. (1)求证:FG∥AC; (2)若 CG=1,CD=4.求 的值.

考点:与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 专题:直线与圆;推理和证明. 2 2 分析: (1)由切割线定理得 AB =AD?AE,从而 AD?AE=AC ,进而△ ADC∽△ACE,由此 能证明 FG∥AC. (2)由题意可得:G,E,D,F 四点共圆,从而△ CGF∽△CDE,由此能求出 解答: (1)证明:∵AB 为切线,AC 为割线,∴AB =AD?AE, 2 又∵AC=AB,∴AD?AE=AC . ∴ ,又∵∠EAC=∠DAC,
2



∴△ADC∽△ACE,∴∠ADC=∠ACE, 又∵∠ADC=∠EGF,∴∠EGF=∠ACE, ∴FG∥AC. (2)解:由题意可得:G,E,D,F 四点共圆, ∴∠CGF=∠CDE,∠CFG=∠CED. ∴△CGF∽△CDE,∴ 又∵CG=1,CD=4,∴ = .

=4.

点评: 本题考查两直线平行的证明, 考查两线段比值的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意切割线定理的合理运用. 选修 4-4:极坐标与参数方程 23. (选做题) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的极坐标方程为

ρsin(θ+

)=

,圆 C 的参数方程为

, (θ 为参数,r>0)

(Ⅰ)求圆心 C 的极坐标; (Ⅱ)当 r 为何值时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. 考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系. 专题:计算题. 分析: (1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线 l 的普通方程; 利用同角三角函数的基本关系, 消去 θ 可得曲线 C 的普通方程,得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可. (2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式,及正弦函数的有界性求得点 P 到直线 l 的距离的最大值,最后列出关于 r 的方程即可求出 r 值. 解答: 解: (1)由 ρsin(θ+ )= ,得 ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线 l:x+y﹣1=0.



得 C:圆心(﹣

,﹣

) .

∴圆心 C 的极坐标(1,

) .

(2)在圆 C:

的圆心到直线 l 的距离为:

∵圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3, ∴ r=2﹣ ∴当 r=2﹣ 时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. .

点评:本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程、参数方程与 普通方程的互化,点到直线距离公式、三角变换等内容.

选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣a|,a<0. (Ⅰ)证明 f(x)+f(﹣ )≥2; (Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围.

考点:绝对值不等式的解法;其他不等式的解法. 专题:计算题;分类讨论;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)运用绝对值不等式的性质和基本不等式,即可得证; (Ⅱ)通过对 x 的范围的分类讨论去掉绝对值符号,转化为一次不等式,求得(f(x)+f (2x) )min 即可. 解答: (Ⅰ)证明:函数 f(x)=|x﹣a|,a<0, 则 f(x)+f(﹣ )=|x﹣a|+|﹣ ﹣a| =|x﹣a|+| +a|≥|(x﹣a)+( +a)| =|x+ |=|x|+ ≥2 =2.

(Ⅱ)解:f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0. 当 x≤a 时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则 f(x)≥﹣a; 当 a<x< 时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣ <f(x)<﹣a; 当x 时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则 f(x)≥﹣ .

则 f(x)的值域为[﹣ ,+∞) , 不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,即为 >﹣ ,解得,a>﹣1,由于 a<0, 则 a 的取值范围是(﹣1,0) . 点评:本题考查绝对值不等式的解法,通过对 x 的范围的分类讨论去掉绝对值符号是关键, 考查不等式恒成立问题转化为求最值问题,考查分类讨论思想,属于中档题.


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