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第一章集合与简易逻辑


第一章 集合与简易逻辑 §1.1 集合的概念及其基本运算

基础自测 1. (2008· 山东理, 1) 满足 M ? ?a , a , a , a ? ,且 M ??a , a , a ? ? ?a , a ? 的集合 M 的个数是
1 2 3 4 1 2 3 1 2





A.1

B.2 C.3 D.4 答案 B 2. (2009· 成都市第一次诊断性检测) 设集合 A= ?x | ?1 ? x ? 2, x ? N? , 集合 B= ?2,3? , 则 A ? B 等于 A. ?1,2,3? B. ?0,1,2,3? C. ?2? D. ??1,0,1,2,3? 答案 B 3.设全集 U= ?1,3,5,7? ,集合 M= ?1, | a ? 5 |?, M ? U, UM= ?5,7? ,则 a 的值为 A.2 或-8 B.-8 或-2 C.-2 或 8 答案 D 4.(2008· 四川理, 1)设集合 U= ?1,2,3,4,5?, A ? ?1,2,3?, B ? ?2,3,4?, 则 ( 等于 U A ? B) A. ?2,3? B. ?1,4,5? C. ?4,5? 答案 B 5.设 U 为全集,非空集合 A、B 满足 A B,则下列集合为空集的是 ( ) A.A ? B B.A ?( UB) C.B ?( UA) 答案 B D.2 或 8









( D. ?1,5?



D.( UA) ? ( UB)

例1 解

? ? 若 a,b ? R,集合 ? 1, a ? b, a? ? ?0, , b?, 求 b-a 的值. b ? a ? ? ? 由? 1, a ? b, a? ? ?0, , b? 可知 a≠0,则只能 a+b=0,则有以下对应关系: b ? a ?

? ?a ? b ? 0 ?a ? b ? 0 ? ? ?b ② ? ? a ①或 ?b ? a ?a ?b ? ? ?1 ?b ? 1 ?a

由①得 ? 例2

?a ? ?1 , 符合题意;②无解.所以 b-a=2. ?b ? 1
? 1 2 ?

? 已知集合 A= ?x | 0 ? ax ? 1 ? 5? ,集合 B= ? ? x | ? ? x ? 2?.

(1)若 A ? B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R;

1

4 1? ②若 a<0,则 A= ? ?x | ? x ? ? ?; ? ? a a? a? 1 4? ③若 a>0,则 A= ? ?x | ? ? x ? ?, a

(1)当 a=0 时,若 A ? B,此种情况不存在.当 a<0 时,若 A ? B,如图,
1 ?4 ?? ?a ? ?8 ? ?a 2 ∴? 则? , 1 ∴a<-8. ? ?a ? ? 2 , ?? 1 ? 2 ? ? ? a

当 a>0 时,若 A ? B,如图,
1 ? 1 ? ?? ? ?a ? 2 ? a 2 则? ,?? . ?a≥2.综上知,此时 a 的取值范围是 a<-8 或 a≥2. ?a ? 2 ?4 ? 2 ? ?a

(2)当 a=0 时,显然 B ? A;当 a<0 时,若 B ? A,如图,
1 ?4 ?? ?a ? ?8 ? 1 ?a 2 则? ?? , 1 ?- <a<0;当 a>0,若 B ? A,如图, ? 2 1 a ? ? , ? ?? ? 2 2 ? ? a ? 1 ? 1 ? ?? ? ?a ? 2 1 ? a 2 则? ,?? , ?0<a≤2.综上知,当 B ? A 时,- ? a ? 2. 4 2 a ? 2 ? ? ?2 ? ?a

(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 由(1) 、 (2)知,a=2. 例 3(12 分)设集合 A= ?x | x ? 3x ? 2 ? 0?, B ? ?x | x ? 2(a ? 1) x ? (a ? 5) ? 0?. (1)若 A ? B ? ?2?, 求实数 a 的值;
2 2 2

(2)若 A ? B=A,求实数 a 的取值范围; (3)若 U=R,A ? ( UB)=A.求实数 a 的取值范围. 2 解 由 x -3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A= ?1, 2?. (1)≧A ? B ? ?2?, ?2 ? B,代入 B 中的方程, 得 a +4a+3=0,?a=-1 或 a=-3; 1分 当 a=-1 时,B= ?x | x ? 4 ? 0? ? ??2,2?, 满足条件; 当 a=-3 时,B= ?x | x ? 4 x ? 4 ? 0? ? ?2?, 满足条件;
2 2

2

综 上 , a 3分 (2)对于集合 B, 2 2 ? =4(a+1) -4(a -5)=8(a+3). ≧A ? B=A,?B ? A,







-1



-3.

①当 ? <0,即 a<-3 时,B= ? ,满足条件; ②当 ? =0,即 a=-3 时,B= ?2? ,满足条件; ③ 当 ? > 0 , 即 a > -3 5分





B=A=

?1,2?















2

则由根与系数的关系得
5 ? ?1 ? 2 ? ?2(a ? 1) a?? 即? 2 , 矛盾; ? ? 2 ?1? 2 ? a ? 5 ?a 2 ? 7 ?

综 7分 ( 3

上 ) ≧

, A
?

a (


U

取 B ) =A

值 ,

范 ? A


?


U

a , ?

≤ A

-3.
? B ? ?;

B

8分 ①若 B= ? ,则 ? <0 ? a ? ?3 适合; ②若 B≠ ? ,则 a=-3 时,B= ?2? ,A ? B ? ?2? ,不合题意; a>-3,此时需 1 ? B 且 2 ? B. 将 2 代入 B 的方程得 a=-1 或 a=-3(舍去) ; 将 1 代入 B 的方程得 a +2a-2=0 ? a ? ?1 ? 3. ? 11 分 综上, a 的取值范围是 a< -3 或 -3<a <-1- 3 或 -1- 3 < a< -1 或 -1 <a< -1+ 3 或 a >-1+ 3 . 12 分 例 4 若集合 A1、A2 满足 A1 ? A2=A,则称(A1,A2)为集合 A 的一种分拆,并规定:当且仅当 A1=A2 时, (A1, 1,2,3? 的不同分拆种数是 A2)与(A2, ,A1)为集合 A 的同一种分拆,则集合 A= ? ( A.27 答案 ) B.26 A C.9 D.8 a ≠ -1 且 a ≠ -3 且 a ≠ -1
? 3.
2

1.设含有三个实数的集合可表示为 ?a, a ? d , a ? 2d ?, 也可表示为 ?a, aq, aq ?, 其中 a,d,q ? R,求常数 q.
2



依元素的互异性可知,a≠0,d≠0,q≠0,q≠ ?1 .
?a ? d ? aq , ?a ? d ? aq 2 , 或( 2 ) ? 2 ?a ? 2d ? aq. ?a ? 2 d ? aq
2 2

由两集合相等,有(1) ?

由(1)得 a+2a(q-1)=aq ,≧a≠0, ?q -2q+1=0,?q=1(舍去). 由(2)得 a+2a(q -1)=aq,≧a≠0,?2q -q-1=0,?q=1 或 q=- . ≧q≠1, ?q=- , 综上所述,q=- . 2.(1)若集合 P= ?x | x ? x ? 6 ? 0?, S ? ?x | ax ? 1 ? 0?, 且 S ? P,求 a 的可取值组成的集合; (2)若集合 A= ?x | ?2 ? x ? 5?, B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1?, 且 B ? A ,求由 m 的可取值组成的集合. 解 (1)P= ??3,2?. 当 a=0 时,S= ? ,满足 S ? P;
2

2

2

1 2

1 2

1 2

当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解为 x=- ,
1 1 1 1 1 1? 为满足 S ? P,可使 ? ? ?3 或 ? ? 2, 即 a= 或 a=- . 故所求集合为 ? ?0, ,? ?.
a a

1 a

3

2

? 3

2?

(2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B= ? ,满足 B ? A;若 B≠ ? ,且满足 B ? A,如图所示,
3

则? ?m ? 1 ? ?2

?m ? 1 ? 2m ? 1, ?m ? 2 ? , 即 ?m ? ?3, ?2≤m≤3. ?2 m ? 1 ? 5 ?m ? 3 ? ?
2

综上所述,m 的取值范围为 m<2 或 2≤m≤3,即所求集合为 ?m | m ? 3?. 3.已知集合 A= ?x | x ? (2 ? a) x ? 1 ? 0, x ? R?, B ? ?x ? R | x ? 0? ,试问是否存在实数 a,使得 A ? B ? ?? 若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解 方法一 假设存在实数 a 满足条件 A ? B ? ? , 则有 (1)当 A≠ ? 时,由 A ? B ? ? , B ? ?x ? R | x ? 0? ,知集合 A 中的元素为非正数, 设方程 x +(2+a)x+1=0 的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系,得
?? ? (2 ? a) 2 ? 4 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? ?(2 ? a) ? 0, 解得a ? 0; ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
2

(2)当 A= ? 时,则有 ? =(2+a) -4<0,解得-4<a<0. 综上(1) 、 (2) ,知存在满足条件 A ? B ? ? 的实数 a,其取值范围是(-4,+≦). 2 方法二 假设存在实数 a 满足条件 A ? B≠ ? , 则方程 x +(2+a)x+1=0 的两实数根 x1, x2 至少有一个为 正, 因为 x1·x2=1>0,所以两根 x1,x2 均为正数. 则由根与系数的关系,得 ?
?? ? ( 2 ? a ) 2 ? 4 ? 0
?a ? 0或a ? ?4 , 即 a ? ?4 . , 解得 ? x ? x ? ? ( 2 ? a ) > 0 ? a ? ?2 2 ? 1

2

又≧集合 ?a | a ? ?4? 的补集为 ?a | a ? ?4?, ?存在满足条件 A ? B= ? 的实数 a,其取值范围是(-4,+≦). 4.设集合 S= ?A , A , A , A ? ,在 S 上定义运算 ? 为:Ai ? Aj=Ak,其中 k 为 i+j 被 4 除的余数,i,j=0,1,2,
0 1 2 3

3,则满 足关系式(x ? x) ? A2=A0 的 x(x ? S)的个数为 A.1 B.2 答案 B

( C.3 D.4



一、选择题 1.(2008·江西理,2)定义集合运算:A*B= ?z | z ? xy, x ? A, y ? B?. 设 A= ?1,2?, B ? ?0,2?, 则集合 A*B 的 ( 所 有 元 素 之 和 D.6 ( ) 为 ) A.0 B.2 C.3 答案 D 2. (2009· 武汉武昌区调研测试) 设集合 M ? ?x || x ? 1 |? 1?, N ? ?x | x( x ? 3) ? 0?, 则

A. M ? N ? M B. M ? N ? N C. M ? N ? ? D. M ? N ? M 答案 A 3.设全集 U=R,集合 M={x|x≤1 或 x≥3},集合 P= ?x | k ? x ? k ? 1, k ? R? ,且 UM ? P≠ ? ,则实数 k 的取值 范 围 是 ( ) A.k<0 或 k>3 B.1<k<2 C.0<k<3 D.-1<k <3 答案 C

4

4.(2008· 安徽理, 2)集合 A= ?y ? R | y ? 1g x, x ? 1?,B ? ??2,?1,1,2?, 则下列结论中正确的是





( -∞,0) A.A ? B ? ??2,?1? B.( RA) ? B ? ? 1? C.A ? B=(0,+∞) D.( RA) ? B ? ??2, 答案 D 2 2 5. 已 知 集 合 P={ ( x , y ) ||x|+|y|=1} , Q={ ( x , y ) |x +y ≤ 1} , 则 ( ) ? A.P Q ? B.P=Q C.P Q ? D.P∩Q=Q ? 答案 A ??
6.(2008 · 长 沙 模 拟 ) 已 知 集 合 A={x|y= 1 ? x ,x ∈ Z} , B={y|y=x +1,x ∈ A}, 则 A ∩ B 为
2

2

( ) ? A. ? B. [0, +∞) ? C.{1} ? 答案? C ?? 二、填空题 2 7.集合 A={x||x-3|<a,a>0},B={x|x -3x+2<0},且 B ? A,则实数 a 的取值范围是

? D.{ (0, 1) }

.

答案 [2,+∞)? 8.(2008·福建理,16) 设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、 ab、
a ∈P(除 b

数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F={a+b 2 |a,b∈Q}也是数域.有下列命 题: ①整数集是数域;? ②若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域;? ③数域必为无限集;? ④存在无穷多个数域.? 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)? 答案 ③④? 三、解答题 2 9.已知集合 A={x|mx -2x+3=0,m∈R}.? (1)若 A 是空集,求 m 的取值范围;? (2)若 A 中只有一个元素,求 m 的值;? (3)若 A 中至多只有一个元素,求 m 的取值范围.? 2 解 集合 A 是方程 mx -2x+3=0 在实数范围内的解集.? 2 (1)≧A 是空集,?方程 mx -2x+3=0 无解.? ?Δ=4-12m<0,即 m> .? (2)≧A 中只有一个元素,? 2 ?方程 mx -2x+3=0 只有一个解.? 若 m=0,方程为-2x+3=0,只有一解 x= ;? 若 m≠0,则Δ=0,即 4-12m=0,m= .?
1 3 3 2 1 3

5

?m=0 或 m= .? (3)A 中至多只有一个元素包含 A 中只有一个元素和 A 是空集两种含义,根据(1) 、 (2)的结果, 得 m=0 或 m≥ . 10.(1)已知 A={a+2, (a+1) ,a +3a+3}且 1∈A,求实数 a 的值;? 2 (2)已知 M={2,a,b},N={2a,2,b }且 M=N,求 a,b 的值.? 解(1)由题意知:? 2 2 a+2=1 或(a+1) =1 或 a +3a+3=1,? ?a=-1 或-2 或 0,根据元素的互异性排除-1,-2,??a=0 即为所求.?
1 ? a? ? ?a ? 2 a ?a ? b 2 ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?? (2)由题意知, ? 或? 或? 或 ? 4, 2 ?b ? b ?b ? 2a ?b ? 1 ?b ? 0 ?b ? 1 ? 2 ? ? ?a ? ?a ? 0 根据元素的互异性得 ? 或? ? ?b ? 1 ?b ? ? ? 1 4 即为所求. 1 2
2 2

1 3

1 3

11.已知集合 A= ? ?x |
?

6 ? ? 1, x ? R ?, B= ?x | x 2 ? 2 x ? m ? 0?, x ?1 ?

(1)当 m=3 时,求 A ? ( RB) ; (2)若 A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4? ,求实数 m 的值. 解 由
6 x?5 ? 1, 得 ? 0. ?-1<x≤5,?A= ?x | ?1 ? x ? 5? . x ?1 x ?1

(1)当 m=3 时,B= ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 RB= ?x | x ? ?1或x ? 3? , ?A ? ( RB)= ?x | 3 ? x ? 5? . 2 (2)≧A= ?x | ?1 ? x ? 5?, A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4?, ?有 4 -2×4-m=0,解得 m=8. 此时 B= ?x | ?2 ? x ? 4? ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 12.设集合 A={(x,y)|y=2x-1,x∈N },B={(x,y)|y=ax -ax+a,x∈N },问是否存在非零整数 a,使 A ∩B≠ ? ?若存在,请求出 a 的值;若不存在,说明理由.? 解 假设 A∩B≠ ? ,则方程组?
? y ? 2x ? 1 2 有正整数解,消去 y,得 ax -(a+2)x+a+1=0. ? 2 y ? ax ? ax ? a ?
* 2 *

由Δ≥0,有(a+2) -4a(a+1)≥0,解得-

2

2 3 2 3 .因 a 为非零整数,?a=±1,? ?a? 3 3

当 a=-1 时,代入(*) ,?解得 x=0 或 x=-1,? * 而 x∈N .故 a≠-1.当 a=1 时,代入(*),? 解得 x=1 或 x=2,符合题意.故存在 a=1,使得 A∩B≠ ? , 此时 A∩B={(1,1) , (2,3)}. §1.2 简易逻辑

基础自测

6

1. 下 ( ) A.|x+a|











命 C. 元素与集合





是 D. 真

B. ?0? ? N

子集 答案 B 2. (2008· 湖北理, 2) 若非空集合 A、 B、 C 满足 A∪B=C, 且 B 不是 A 的子集, 则 ( ) ? A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件? ? B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件? ? C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件? ? D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 答案? B ?? 3. 若 命 题 p 的 否 命 题 为 r , 命 题 r 的 逆 命 题 为 s , 则 s 是 p 的 逆 命 题 t 的 ( ) ? A.逆否命题? B.逆命题? C.否命题 D.原命题? 答案? C ?? 4. 已 知 命 题 p:3 ≥ 3;q:3>4, 则 下 列 选 项 正 确 的 是 ( ) A.p ? q 为假,p ? q 为假, ? p 为真 B. p ? q 为真,p ? q 为假, ? p 为真 C. p ? q 为假,p ? q 为假, ? p 为假 D. p ? q 为真,p ? q 为假, ? p 为 假 答案 D 5.(2008· 广东理,6)已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题 中 为 真 命 题 的 是 (

) A.( ? p ) ? q B. p ? q C. ( ? p ) ? ( ? q) D . (
?

p )

7

?

?

q ) 答案 D

例 1 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.? (1)正三角形的三内角相等;? (2)全等三角形的面积相等;? (3)已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d.? 解 (1)原命题:若一个三角形是正三角形,则它的三个内角相等.? 逆命题:若一个三角形的三个内角相等,则这个三角形是正三角形(或写成:三个内角相等的三角 形是正三角形). 否命题:若一个三角形不是正三角形,则它的三个内角不全相等.? 逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,那么这个三角形不是正三角形(或写成:三个内角 不全相等的三角形不是正三角形).? (2)原命题:若两个三角形全等,则它们的面积相等.? 逆命题:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等(或写成:面积相等的三角形全等).? 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等(或写成:不全等的三角形面积不相 等).? 逆否命题:若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等.? (3)原命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d. 逆命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c=b+d,则 a 与 b,c 与 d 都相等.? 否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a 与 b,c 与 d 不都相等,则 a+c≠b+d.? 逆否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a 与 b,c 与 d 不都相等.? 例 2 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答).? (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;? (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6;? (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B;??
8

(4)已知 x、y∈R,p: (x-1) +(y-2) =0,q: (x-1) (y-2)=0.? 解 (1)在△ABC 中,∠A=∠B ? sinA=sinB,反之,若 sinA=sinB,因为 A 与 B 不可能互补(因为 三角形三个内角和为 180°),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件.? (2)易知: ? p:x+y=8, ? q:x=2 且 y=6,显然 ? q ? ? p.但 ? p ? q,即 ? q 是 ? p 的充分不必要 条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件.? (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件.? (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,? 所以 p ? q 但 q p,故 p 是 q 的充分不必要条件.? 例 3 已知 ab≠0,? 3 3 2 2 求证:a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0.? 证明(必要性)? ∵a+b=1,∴a+b-1=0, 3 3 2 2 2 2 2 2 ∴a +b +ab-a -b =(a+b) (a -ab+b )-(a -ab+b ) 2 2 =(a+b-1) (a -ab+b )=0. (充分性)? 3 3 2 2 2 2 ∵a +b +ab-a -b =0,即(a+b-1) (a -ab+b )=0, 又 ab≠0,?a≠0 且 b≠0,∴a -ab+b =(a- ) ?
2

2

2

2

2

b 2

3 2 b >0,? 4

∴a+b-1=0,即 a+b=1, 3 3 2 2 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0. 2 例 4(12 分)已知两个命题 r(x):sinx+cosx>m,s(x):x +mx+1>0.如果对 ? x ? R,r(x)与 s(x)有且仅有 一个是真命题.求实数 m 的取值范围. 解 ≧sinx+cosx= 2 sin(x+ ) ? ? 2 , ?当 r(x)是真命题时,m<- 2 , 2分 又≧对 ? x ? R,s(x)为真命题,即 x +mx+1>0 恒成立,
2

? 4

有 4分

?

=m -4<0,

2

?

-2<m<2,

?当 r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2 , 同 时 6分 当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2 且-2<m<2, 即 8分 综 12 分 上 , 实 数 m 的 取 值 范 围 是 m ≤ -2 或 2

m



-2



m



2





m



-2

;

-

2



m<2.



m<2.

9

1. 写出下列命题的否命题,并判断原命题及否命题的真假:? (1)如果一个三角形的三条边都相等,那么这个三角形的三个角都相等;? (2)矩形的对角线互相平分且相等;? (3)相似三角形一定是全等三角形.? 解 (1)否命题是: “如果一个三角形的三条边不都相等,那么这个三角形的三个角也不都相等”. ? 原命题为真命题,否命题也为真命题.? (2)否命题是: “如果四边形不是矩形,那么对角线不互相平分或不相等”? 原命题是真命题,否命题是假命题.? (3)否命题是: “不相似的三角形一定不是全等三角形”.? 原命题是假命题,否命题是真命题. 2. ( 2008 · 湖 南 理 , 2 ) “ |x-1|<2 成 立 ” 是 “ x(x-3)<0 成 立 ” 的 ( ) ? A.充分不必要条件? ? B.必要不充分条件? ? C.充分必要条件? D.既不充分也不必要条件? 答案? B ?? 3. 证明一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.? 证明 充分性:若 ac<0,则 b2-4ac>0,且
c <0,? a

?方程 ax2+bx+c=0 有两个相异实根,且两根异号,即方程有一正根和一负根.? 必要性:若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根,则 ? =b2-4ac>0,x1x2=
c <0,?ac<0.? a

综上所述,一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0. x 4.已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递减, q: 不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R,若 p 和 q 中有且只有一 个命题为真命题,求 a 的取值范围. x 解 由函数 y=a 在 R 上单调递减知 0<a<1 ,所以命题 p 为真命题时 a 的取值范围是 0<a<1, 令 y=x+|x-2a|, 则 y= ?
?2 x ? 2a ?2a (x ? 2a), 不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R,只要 ymin>1 即可,而函数 y 在 R 上的最小值为 ( x ? 2a).
1 2 1 2 1 2

2a,所以 2a>1,即 a> . 即 q 真 ? a> . 若 p 真 q 假,则 0<a≤ ; 若 p 假 q 真,则 a≥1,所以命题 p 和 q 有且只有一个命题正确时 a 的取值范围是 0<a≤ 或 a≥1.
1 2

一、选择题 1.下列命题:①5>4 或 4>5;②9≥3;③命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题;④命题“矩形的两条 对 角 线 相 等 ” 的 逆 命 题 . 其 中 假 命 题 的 个 数 为 ( ) ? A.0 B.1 ? C.2 D.3 ?
10

答案 B ?? 2. (2008· 重庆理, 2) 设 m, n 是整数, 则 “m, n 均为偶数” 是 “m+n 是偶数” 的 ? ? A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件? ? C.充要条件 D.既不充分也不必要条件? 答案? A ?? 2 3. “ x>1 ” 是 “ x >x ” ( ) A.充分而不必要条件 ? B.必要而不充分条件? C.充要条件 D.既不充分也不必要条件? 答案? A ?? A ? B, 4. 若 命 题 p:x 则 ?p ? (









) A. x ? A 且x ? B B. x ? A或x ? B C. x ? A且x ? B D. x ? A? B 答案 B 5. 若 p 、 q 是 两 个 简 单 命 题 , 且 “ p ? q” 的 否 定 是 真 命 题 , 则 必 有 ( )A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 答案 B 2 6. ( 2008 · 安 徽 理 , 7 )“ a<0” 是 “ 方 程 ax +2x+1=0 至 少 有 一 个 负 数 根 ” 的 ( ) ? A.必要不充分条件 ? B.充分不必要条件? ? C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件? 答案? B ?? 二、填空题 7.设集合 A= ?x || x |? 4?, B ? ?x | x ? 4 x ? 3 ? 0?, 则集合 ?x | x ? A且x ? A ? B?= . 答案 ?x | 1 ? x ? 3?
2

8.(2008·全国Ⅱ理,16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行. 类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件. 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 答案 两组相对侧面分别平行; 一组相对侧面平行且全等; 对角线交于一点; 底面是平行四边形等.(答 案不唯一) 三、解答题 2 9. 求关于 x 的方程 x -mx+3m-2=0 的两根均大于 1 的充要条件.? 解 设方程的两根分别为 x1、x2,则原方程有两个大于 1 的根的充要条件是?
?? ? m 2 ? 4(3m ? 2) ? 0, ?? ? m 2 ? 12m ? 8 ? 0, ? ? ?( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 0, ?即 ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0, ? x ? 1)(x ? 1) ? 0, ? x x ? ( x ? x ) ? 1 ? 0. ( 2 1 2 ? 1 ? 1 2
? ? m ? 6 ? 2 7 或m ? 6 ? 2 7 , ? 又≧x1+x2=m,x1x2=3m-2,?? ?m ? 2, ? 1 ?m ? . 2 ?

11

故所求的充要条件为 m≥6+2 7 . 10. 已知 x,y∈R.? 求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0.? 证明(充分性)? 若 xy≥0,则 x,y 至少有一个为 0 或同号.?|x+y|=|x|+|y|一定成立.? 2 2 2 2 2 2 (必要性)?若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y) =(|x|+|y|) ,? x +2xy+y =x +2|xy|+y ,? ?xy=|xy|,∴xy≥0.?综上,命题得证. 2 2 11.已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实数根; 命题 q:方程 4x +4 (m-2) x+1=0 无实数根.若 “p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围. 解 由 p 得: ?
?? ? m 2 ? 4 ? 0 , 则 m>2. ?m ? 0
2 2

由 q 知: ?? =16 (m-2) -16=16(m -4m+3)<0,则 1<m<3. ≧“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,?p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真. 则?
?m ? 2 ?m ? 2 或? , 解得 m≥3 或 1<m≤2. m ? 1 或 m ? 3 ? ?1 ? m ? 3
2

12.(1)是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件?如果存在,求出 p 的取值范围; 2 (2)是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的必要条件?如果存在,求出 p 的取值范围. 解 (1)当 x>2 或 x<-1 时,x -x-2>0,由 4x+p<0,得 x<- , 故“x<2

p 4

p ≤-1 时, 4

p 2 2 ” ? “x<-1” ? “x -x-2>0”. ?p≥4 时, “4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件. 4

(2)不存在实数 p 满足题设要求. 章末检测一 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2008·北京理,1) 已知全集 U=R,集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1 或 x>4},那么集合 A∩( uB)等于 ( ) A. ?x | ?2 ? x ? 4? B. ?x | x ? 3或x ? 4? ? ? ? C. x | ?2 ? x ? ?1 D. x | ?1 ? x ? 3? 答案 D 2.已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立的 ( ) ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件? ? C.充要条件? D.既不充分也不必要条件? 答案? A ?? 2 3.(2009·合肥模拟)已知条件 p: (x+1) >4,条件 q:x>a,且 ?p是?q 的充分而不必要条件,则 a 的 取值 范 ( ) A.a≥1 ≤-3 ? ? 答案? A ?? 4. “ a=2 ” 是 “ ( ) A.充分而不必要条件? 围 B.a≤1 ? C.a≥-3 ? 是 D.a



线

ax+2y=0









线

x+y=1





B.必要而不充分条件?
12

C.充分必要条件? D.既不充分也不必要条件? 答案? C ?? 5. 设 集 合 M={x|x>2} , P={x|x<3}, 那 么 “ x ∈ M 或 x ∈ P ” 是 “ x ∈ M ∩ P ” 的 ( ) ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件? C.充要条件 D.既不充分也不必要条件? 答案? B ?? 6. 在 下 列 电 路 图 中 , 表 示 开 关 A 闭 合 是 灯 泡 B 亮 的 必 要 但 不 充 分 条 件 的 线 路 图 是 ( ) ?

答案? B ?? 2 2 7.(2008 · 浙 江 理 , 3) 已 知 a,b 都 是 实 数 , 那 么 “ a >b ” 是 “ a>b” 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 8.(2008 · 天 津 理 , 6) 设 集 合 S={x||x-2|>3},T={x|a<x<a+8} , S ∪ T=R , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A.-3<a<-1 ? B.-3≤a≤-1 ? C.a≤-3 或 a≥-1 ? ? D.a<-3 或 a>-1 ? 答案? A ?? 2 9. ( 2008 ·北京海淀模拟)若集合 A={1 , m } ,集合 B={2 , 4} ,则“ m=2 ”是“ A ∩ B={4} ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件? ? C.充分必要条件 ? D.既不充分也不必要条件 ? 答案? A ?? 10.若数列{an}满足
an2?1 * =p(p 为正常数,n∈N ) ,则称{an}为“等方比数列”.? 2 an

甲:数列{an}是等方比数列;? 乙 : 数 列 {an} 是 等 比 数 列 , 则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件? ? B.甲是乙的必要条件但不是充分条件? ? C.甲是乙的充要条件? D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件? 答案? B ?? 11. (2008·浙江理, 2) 已知 U=R, A={x|x>0},B={x|x≤-1}, 则 (A∩ UB) ∪ (B ? UA) 等于 ( ) ? A. ? ? B.{x|x≤0}? C.{x|x>-1} D.{x|x>0 或 x≤-1}?
13

答案? D ? 12.命题 p:若 a、b ? R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件.命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的 定义域是

??? , ? 1? ? ?3, ? ??
( )





A. “p 或 q”为假 B. “p 且 q”为真 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)? 13.设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B= . 答案 {1,2,5}? 2 14.已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:5x-6>x ,则非 p 是非 q 的 条件.? 答案 充分不必要? 15.不等式|x|<a 的一个充分条件为 0<x<1,则 a 的取值范围为 .? 答案 a≥1 ? 16.已知下列四个命题: ①a 是正数;②b 是负数;③a+b 是负数;④ab 是非正数. 选择其中两个作为题设,一个作为结论,写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 答案 若①③则②(或若①②则④或若①③则④) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)? 2 2 17.(12 分)设命题 p: (4x-3) ≤1;命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围.? 2 2 解 设 A={x|(4x-3) ≤1},B={x|x -(2a+1)x+a(a+1)≤0},? 易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.?
1 ? ?a ? 2 , ?a ? 1 ? 1 ?

1 2

由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A B,? ?
1 2

故所求实数 a 的取值范围是[0, ].
2 2 18.(12 分)已知集合 U=R, UA= ?x | x ? 6 x ? 0? ,B={x|x +3(a+1)x+a -1=0},且 A∪B=A,求实数 a
2

的取值范围 解 ≧A={0,-6},A∪B=A,?B ? A.? (1)当 B=A 时,由 ?
?0 ? ( ?6) ? ?3( a ? 1) , 得 a=1,? 2 ?0 ? a ? 1

(2)当 B A 时,? 2 2 ①若 B= ? ,则方程 x +3(a+1)x+a -1=0 无实根.? 即Δ<0,得 9(a+1) -4(a -1)<0,解得2 2 2 2

13 <a<-1.? 5

②若 B≠ ? ,则方程 x +3(a+1)x+a -1=0 有相等的实根, 即Δ=0,即 a=-1 或 a=13 .? 5

由 a=-1 得 B={0},有 B A;?
14

由 a=-

13 12 ,得 B={ }不满足 B A,舍去,? 5 5 13 <a≤-1 或 a=1. 5 x ?1 2 2 |≤2,q:x -2x+1-m ≤0(m>0) ,且 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件, 3

综上可知,-

19.(12 分)已知 p:|1-

求实数 m 的取值范围. 2 2 解 方法一 由 x -2x+1-m ≤0,得 1-m≤x≤1+m,? ? ?q :A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0},由|1x ?1 |≤2,得-2≤x≤10,? 3

? ?p : B ? ?x | x ? 10或x ? ?2? ,≧ ?p 是 ? q 的必要而不充分条件,? ?A B ? ? ?1 ? m ? ?2, 解得 m≥9.
?1 ? m ? 10 ? ?m ? 0

方法二?≧ ?p 是 ? q 的必要而不充分条件,? ?q 是 p 的必要而不充分条件,?p 是 q 的充分而不必要条件, 2 2 由 x -2x+1-m ≤0.得 1-m≤x≤1+m(m>0),?q:B= ?x | 1 ? m ? x ? 1 ? m? . 又由|1x ?1 |≤2,得-2≤x≤10, 3

?p:A= ?x | ?2 ? x ? 10? .又≧p 是 q 的充分而不必要条件.? ?B A ? ? ?1 ? m ? ?2 ,解得 m≥9.
?1 ? m ? 10 ? ?m ? 0

20.(12 分)求关于 x 的方程 ax -(a +a+1)x+a+1=0 至少有一个正根的充要条件.? 解 方法一 若 a=0,则方程变为-x+1=0,x=1 满足条件,若 a≠0,则方程至少有一个正根等价于 ? ?
?a ? 1 ? 0 a ?1 ? ? 0 或 ? a2 ? a ? 1 a ?0 ? a ?

2

2

? a2 ? a ? 1 ?0 ? a ? a ?1 或? ?0 ? -1<a<0 或 a>0.? ? ? a ?? ? (a 2 ? a ? 1) 2 ? 4a(a ? 1) ? 0 ? ?

综上:方程至少有一正根的充要条件是 a>-1.? 方法二 若 a=0,则方程即为-x+1=0,? ?x=1 满足条件;? 2 2 2 2 2 若 a≠0,≧Δ=(a +a+1) -4a(a+1)=(a +a) +2(a +a)+1-4a(a+1)? 2 2 2 2 =(a +a) -2a(a+1)+1=(a +a-1) ≥0,?方程一定有两个实根.?
? a2 ? a ? 1 ?0 ? a 故而当方程没有正根时,应有 ? , 解得 a≤-1, ? ?a ?1 ? 0 ? ? a

?至少有一正根时应满足 a>-1 且 a≠0,综上:方程有一正根的充要条件是 a>-1.

15

21.(12 分)记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg ?( x ? a ? 1)(2a ? x)?(a ? 1) 的定义域为 B. x ?1

(1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围. 解 (1)由 2x?3 x ?1 ? 0, 得 ? 0, ?x<-1 或 x≥1,即 A=(-≦,-1) ? [1,+≦). x ?1 x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x) >0,得(x-a-1)(x-2a)<0.≧a<1,?a+1>2a, ?B=(2a,a+1). 又≧B ? A,?2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a≤-2.≧a<1,? ≤a<1 或 a≤-2,
? 故 B ? A 时,a 的取值范围是 ?? ?,?2?? ? ? ,1?. 1 ?2 ?
2 2 2 2

1 2

1 2

22.(14 分)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x -x-6≤0,或 x +2x-8>0, 且 ?p是?q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.? 解 设 A={x|p}={x|x -4ax+3a <0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},? 2 2 2 2 B={x|q}={x|x -x-6≤0 或 x +2x-8>0}={x|x -x-6≤0}∪{x|x +2x-8>0}? ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}= ?x | x ? ?4或x ? ?2?. 方法一 ≧ ?p是?q 的必要不充分条件,? ?q ? ?p, 且?p ?q . 则 ?x | ?q? ?x | ?p?. 而 ?x | ? q? ? RB= ?x | ?4 ? x ? ?2?, ?x | ?p?= RA= ?x | x ? 3a或x ? a, a ? 0?, ? ?x | ?4 ? x ? ?2? ?x | x ? 3a或x ? a, a ? 0?, 则?
?3a ? ?2, ?a ? ?4, 2 综上可得- ? a ? 0或a ? ?4. 或? 3 a ? 0 , a ? 0 . ? ?
2 2

方法二 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, ?p 是 q 的充分不必要条件, ?A B,?a≤-4 或 3a≥-2,又≧a<0, ?a≤-4 或- ≤a<0.
2 3

16


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