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2.4.1


影响我们人生的绝不仅仅是环境,其实是 心态在控制—个人的行动和思想。同时,心态 也决定了一个人的视野、事业和成就,甚至— 生。

一.复习
1、向量的夹角是怎样定义的?

2 、一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算?
F θ s

W ?| F || s |cos?<

br />? 是F 与s 的夹角, 其中力F 和位移s 是向量, 而功是数量.

二、平面向量的数量积
1、定义
已知非零向量 a 与 b ,我们把数量 | a || b | cos? 叫作 a 与 b 的 数量积(或内积),记作 a ? b ,即规定

a ? b ?| a || b | cos?
其中θ 是 a 与 b 的夹角,| b | cos? (| a | cos? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影.并且规定,零向量与任一向量 的数量积为零,即 a ? 0 ? 0 。
B

| OB1 |?| b | cos?

b
θ O B1

a

A

2、向量的数量积的几何意义:

a ? b ?| a || b | cos ?
B

b
?
O

a
A

| b | cos?

数量积a ? b等于 a 的长度 a 与b在a 的方向上的投影数量 b cos ?的乘积.

3、数量积的主要性质

设a, b是两个非零向量

?1?a ? b ? a ? b ? 0

(点积为零是判定两向量垂直的条件)

思考:当a ? 0时, a ? b ? 0 ? b ? 0?
(2)当a和b同向时, a ? b ? a ? b

? ? ? ? ? ? ?a ?b 当a和b 反向时 , a ?b ? ? ? ?2 ? 2 特别地, a ? a ? a ? a (用于计算向量的模)

? ? ? ? a ? a?a

?3?. cos?

?

. 用于计算向量的夹角, a ? b 以及判断三角形的形状

a ?b

?4?. a ? b

? a?b

例1.已知 | a |? 5,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角θ =120? , 求 a ?b 。
解:

a ? b ?| a || b | cos ?
=5 ? 4 ? cos120

1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10

4、数量积的运算规律:

(1)a ? b ? b ? a; (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

练习
1、已知|p|=8,|q|=6,p和q的夹角是60°,求p?q 24 2、设|a|=12,|b|=9,a?b=-54 2 ,求a和b的夹角 135° 3、已知 ?ABC 中,AB=a,AC=b
钝角 当a?b<0时,?ABC 是___三角形; 直角 ? ABC 当a?b=0时, 是___三角形

4、已知|a|=6,e为单位向量,当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时,求出a在e方向上的投影 ?3 2 3 2 0

5、已知 ?ABC 中a=5,b=8,∠C=60°,求BC?CA
-20

如图可知:

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

| OB1 |?| OB | cos? ?| a ? b | cos? | OA1 |?| a | cos?1 | A1B1 |?| AB2 |?| b | cos?2
| OB1 |?| OA1 | ? | A1 B1 | ?| a ? b | cos ? ?| a | cos ?1 ? | b | cos ? 2

A

a
?1

b
?

?2

B2

B

c ? (a ? b) ?| c || a ? b | cos ? ? c ?a ? c ?b

O

?| c || a | cos ?1 ? | c || b | cos ? 2

A1 c B1 C

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

例2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ,(a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b2 .
对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论?
2 2

(1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ;
2

(2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .
解: (1)(   a ? b)2 ? (   a ? b) (   a ? b)          ?    a a?  a b?b a?b b          ? a ? 2  a b?b ( 2)(   a ? b) (   a ? b) ?    a a  ?a b?b a?b b
2 2

2

2

        ? a ? b

2

2

例3.已知 | a |? 6,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角60? , 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b),| a ? b |。

解:   (a ? 2b) (a ? 3b) ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b ?| a | ?a ? b ? 6 | b |  
2 2

?| a | ? | a || b | cos ? ? 6 | b |
2
2 ?

2
2

? 6 ? 6 ? 4 ? cos 60 ? 6 ? 4   ? ?72

例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,k为何值时, 向量 a ? kb 与

a ? kb 互相垂直。
2 2

解: a ? kb与a ? kb互相垂直的条件是 (a ? kb) (a ? kb) ? 0, 即a ? k b ? 0
2

  a ? 3 ? 9, b ? 4 ? 16
2 2

2

2

  ? 9 ? 16k 2 ? 0
3 ?k ? ? 4 3 也就是说, 当k ? ? 时, a ? kb与a ? kb互相垂直. 4

练习:6、下列命题是真命题的是(

? ? ? ? ? A.若a ? 0, 则对任一非零向量b , 有a ? b ? 0; ? ? ? ? ? ? B.若a ? 0, a ? b ? 0, 则b ? 0; ? ? ? ? ? C.若a ? b ? 0, 则a、b 中至少有一个为0; ?2 ?2 ? ? ? D.若a ? b ? 0, 则a ? b ? 0; ? ? ? ? ? ? ? ? E.非零向量a与b , 若 | a ? b |?| a ? b |, 则a ? b ? 0. ? ? ? ? 7.已 知 | a?|? 2 2 , | b |? 3, a ? b ? 6,

D

E )

? 2 则a在b 上的投影为 ________


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