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2015-2016学年高中数学必修4同步课件:1.2.1 任意角的三角函数的定义及应用


第1章

三角函数

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数的定义及应用

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1.理解任意角的三角函数的定义,理解单位圆中的三 角函数线. 2.掌握求特殊角的三角函数值的方法. 3.理解并掌握诱导公式一,会判断各种三角函数值在 各象限的符号.
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一、任意角的三角函数

1 .单位圆:在直角坐标系中,以原点 O 为圆心,以单 单位圆 位长度为半径的圆称为 ________. 2.三角函数的定义:设角α的顶点与原点重合,始边 与x轴非负半轴重合.在直角坐标系中,角α终边与单位圆 交于一点P(x,y),则r=|OP|=1.那么:
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α的正弦,记作sin α,即y=sin α; (1)y叫做________

的余弦 ,记作cos α,即x=cos α; (2)x叫做α ________

α的正切 , 记 作 tan α , 即 yx = tan (3)yx 叫 做 ________
α(x≠0).
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点

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的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们把它们统称为 三角函数. ________

二、三角函数值在各个象限内的符号 1 .由三角函数的定义,以及各象限内的点的坐标的符 号,可以确定三角函数在各象限的符号. sin α= y ,其中r>0,于是sin α的符号与y的符号相 r 一、二 象限角时,sin α>0;当α是第 同,即:当α是第________ 三、四 象限角时,sin α<0. ________
x cos α= ,其中r>0,于是cos α的符号与x的符号相 r 一、四 象限角时,cos α>0;当α是 同,即:当α是第__________ 二、三 象限角时,cos α<0. 第________
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y tan α= ,当x与y同号时,它们的比值为正,当x与y x 异号时,它们的比值为负,即:当α是第________ 象限角时, 一、三

二、四 tan α>0;当α是第 ________ 象限角时,tan α<0. 2.根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1:
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x y “sin α= :上正下负横为 0 ; cos α= :左负右 r r y 正纵为0;tan α= :交叉正负.” x

形象的识记口诀2:“一全正、二正弦、三正切、四余 弦.”

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三、诱导公式一

由定义可知,三角函数值是由角的终边的位置确定的, 因此,终边相同的角的同一三角函数的值相等 ________ ,这样 就有下面的一组公式(诱导公式一): sin(2kπ+α)= sin α, cos(2kπ+α)= cos α,

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tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z.

四、三角函数线 1.有向线段:有向线段是规定了方向 (即起点、终点) 有长度 、 ________ 有正负 的.在直角坐标系中, 的线段,它是________ 和坐标轴同向的有向线段为正,反向的为负. 2.正弦线、余弦线、正切线:三角函数线是用来形象 方向 地表示三角函数值的有向线段.有向线段的 ________ 表示
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长度 正负 三角函数值的 ________ ,有向线段的 ________ 表示三角函 大小 数值的绝对值的 ________.

三角函数线的作法如下: 设角α的终边与单位圆的交点为 P,过点P作x轴的垂线, 垂足为M,则有向线段MP,OM就分别是α角的正弦线与余弦 线,即MP=y=sin α,OM=x=cos α. 过点 A(1,0) 作单位圆的切线,设这条切线与α角的终 边(或终边的反向延长线)交于点T,则有向线段AT就是α角 的正切线,即AT=tan α.
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3.填写下表中三角函数的定义域、值域:

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知识点1

任意角的三角函数的定义

1.正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到 一个比值的集合的映射,它们都是以角为自变量,以比值为
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函数值的函数.
2.三角函数值是比值,是一个实数.这个实数的大小 和点P(x,y)在终边上的位置无关,而是由角α的终边位置 所决定.对于确定的角α,其终边的位置也是唯一确定 的.因此,三角函数是角的函数.

(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关, 与P点在终边上的位置无关. (2)三角函数值是一个比值,没有单位.
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知识点2

三角函数值的符号

三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置,
栏 具体说取决于 x , y 的符号,记忆时结合三角函数定义式记,目 链 也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余 接

弦”.

知识点3

三角函数线

对于三角函数线,须明确以下几点:
(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正 切线不存在. (2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成 点.
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(3) 正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有
向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位 圆.

(4) 线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、 正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;
栏 或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,目 链 接

以此线段与x轴的公共点为起点.

(5) 三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致,三

种有向线段的长度与三种三角函数值相同.

知识点4

三角函数的定义域

1 .由三角函数的定义式可以知道,无论角α终边落
在哪里, sin α, cos α都有唯一的值与之对应,但对正 切则要求α终边不能落在y轴上,否则正切将无意义. 2 .角和实数建立了一一对应关系,三角函数就可以 看成是以实数为自变量的函数,所以就可以借助单位圆, 利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数.
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题型1

求值

例1 已知角α终边在直线 y= 3x 上,求α的三角函数值.

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分析:本题首先要确定终边上的点,再利用三角函数的定义即 可求出. 解析:设 P(a, 3a)(a≠0)是终边上任一点,则 tan α= 3.

r= a2+? 3a?2=2|a|.
3 1 当 a>0 时,sin α= ,cos α= ; 2 2 3 1 当 a<0 时,sin α=- ,cos α=- . 2 2 ∴sin α= 3 1 3 , cos α= , tan α= 3或 sin α=- , cos 2 2 2
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1 α=- ,tan α= 3. 2

变 式 训 练

1.若角α终边上有一点 P(m,5)(m≠0),且 cos α= ,求 sin 13

m

α+cos α的值.
解析:∵cos α= = 2 , 2 13 m +5 ∴m=12 或 m=-12. 17 当 m=12 时,sin α+cos α= ; 13 7 当 m=-12 时,sin α+cos α=- . 13

m

m

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题型2

判断符号

例2 判断下列各式的符号:

(1)sin 3?cos 4?tan 5;
(2)α是第二象限角,sin α?cos α.

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分析:根据角所在的象限,结合三角函数定义即可得出. π 3π 3π 解析:(1) <3<π,π<4< , <5<2π, 2 2 2 ∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0, ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. (2)α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin αcos α<0.

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变 式 训 练

2.确定下列各式的符号: (1)sin 105°·cos 230°; (2)cos 6·tan 6; (3)tan 191°-cos 191°.
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分析:角度确定了,所在象限就确定了,三角函数值的符号也 就确定了,因此,由角所在的象限分别判断两个三角函数的符号, 进一步确定各式的符号.

变 式 训 练
解析:(1)∵105°,230°分别是第二、第三象限角, ∴sin 105°>0,cos 230°<0. ∴sin 105°·cos 230°<0. 3 (2)∵ π<6<2π,∴6 是第四象限角, 2 ∴cos 6>0,tan 6<0,∴cos 6·tan 6<0. (3)∵191°是第三象限角, ∴tan 191°>0,cos 191°<0, ∴tan 191°-cos 191°>0.
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题型3

解三角不等式

例3 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边或终边所在的范
围,并由此写出角α的集合: 1 (1)sin α= ; 2 1 (2)sin α≥ . 2
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分析:对于(1),可设角α的终边与单位圆交于 A(x,y), 则 sin 1 α=y,所以要作出满足 sin α= 的终边,只要在单位圆上找出纵 2 1 坐标为 的点 A, 则 OA 即为角α的终边; 对于(2), 可先作出满足 sin 2 栏 1 α= 的角的终边,然后根据已知条件确定角 α的范围. 2 1 解析:(1)作直线 y= 交单位圆于 A 与 B 两点,连接 OA,OB, 2 则 OA 与 OB 为角α的终边,如下图所示.
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故满足上述条件的角 α的集合为:
? ? π 5 ?α|α=2kπ+ 或α=2kπ+ π,k∈Z ?. 6 6 ? ?

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1 (2)作直线 y= 交单位圆于 A 与 B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 2

OB 围成的区域(图中的阴影部分)即为角α的终边所在的范围.
故满足条件的角α的集合为:
? ? π 5 ?α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 6 6 ? ?

? 1 2 ? ? ◎规律总结:求解一些简单的特殊值?如± , 等 ? 2 2 ? ? ?

的三角等式或三角不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终 边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连接交点与坐标原点作 射线 ),一般情况下,用 (0,2π)内的角表示它,然后画出满足原等 式或不等式的区域,用集合表示出来. 本题把正弦改为余弦,你能利用单位圆求出角 α的范围吗?进 一步,你能求函数 y= 1+2cos x的定义域吗?
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变 式 训 练

3.求函数 y= -sin x-tan x 的定义域.
分析:建立不等式组求交集. 解析:要使函数有意义,必须有: -sin x≥0, ? ? π ? x ≠kπ+ ,k∈Z ? 2 ? sin x≤0, ? ? ?? π x ≠kπ+ ,k∈Z ? 2 ?

?
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2kπ+π≤x≤2kπ+2π, ? ? π ? x≠kπ+ ,k∈Z. ? 2 ? 故函数的定义域为:
? 3π x?2kπ+π≤x<2kπ+ 2 ?

或 2kπ+

3π <x≤2kπ+2π, k 2

∈Z.


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