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2.2.2《等差数列的前n项和》


2.2.2等差数列的 前n项和(1)

D

学习目标:
探索并掌握等差数列的前n项和的公式

复习数列的有关概念1 按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项(或首项)用 第2项用

a2 表示

a

1表示 …, 第n项用 a 表示 n

…,

数列的一般形式可以写成:

a1 , a2 , a3 , …, an , …,
简记作 :

?an ?

复习数列的有关概念2 如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的
关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫 做这个数列的通项公式。

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 叫做数列 ?an ? 的前n项和。
? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

复习等差数列的有关概念
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子)
等差数列

an ? a1 ? (n ?1)d

?an ? 的通项公式为

当d≠0时,这是关于n的 一个一次函数。

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项。 a?b

A?

2

思考题:如何求下列和?
①前100个自然数的和:1+2+3+…+100=

5050 ;
n2 ;

②前n个奇数的和:1+3+5+…+(2n-1)=
③前n个偶数的和:2+4+6+…+2n=

n(n+1) .

学习新课
一、等差数列前n 项和 n(a ? a ) 1 n n( n ? 1) na1 ? d ㈠等差数列前n 项和Sn = = . 2 2
=an2+bn a、b 为常数

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

(1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1

(2)

(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)

㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ; ②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 ; ③{an}为等差数列? Sn=an2+bn ,这是一个关于 n 的

没有 常数项 的“ 二次函数 ( ” 注意 a 还可以是 0) 例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n, 求证:{an}是等差数列.

由等差数列 a1 , a 2 , a3 , …

(三)等差数列的前n项和公式的推导
an ,

… 的前n项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an 得
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ?? [a1 ? (n ?1)d ]
n个 ?????? ? ? ?????? ? 2S n ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an )

Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ?? [an ? (n ?1)d ]

? n(a1 ? an )
n(a1 ? an ) Sn ? 2

二、等差数列的前n项和公式的其它形式 n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) an ? a1 ? ( n ?1) d d ???? ?? S n ? na1 ? 2 n ( n ? 1 ) a1 ? an ?( n ?1) d d ???? ?? S n ? na n ? 2

三、等差数列的前n项和例题
例1 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上 每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔?
解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔, 且自下而上各层的铅笔数组成等差数 列,记为 a

? a1 ? 1, a120 ? 120, n ? 120
? S120 120 ? (1 ? 120 ) ? ? 7260 . 2

? n?

n(a1 ? an ) Sn ? 2

答:V形架上共放着7260支铅笔.

例2 求集合 M ? m | m ? 7n, n ? N , 且m ? 100 的元素个数,并求这些元素的和.
解:? 7 n

等差数列的前n项和例题2

?

?

? 100

7, 2 ? 7, 3 ? 7, 4 ? 7,


所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出,得

100 2 ?n ? ? 14 7 7

?,14? 7,

7,14,21,28,…,98 这个数列是成等差数列,记为 ?a ? n ? a1 ? 7, a14 ? 98, n ? 14 14 ? (7 ? 98) ? S14 ? ? 735 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.

等差数列的前n项和练习1
1. 根据下列条件,求相应的等差数列

?an ? 的 Sn

(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
? S10

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;

10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

(4)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.
32 ? 14.5 n? ? 1 ? 26, ? S 26 0.7

50 (50 ? 1) S50 ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2 2 3 Sn (3) a1 ? , an ? ? , n ? 14; 3 2 14 ? [2 / 3 ? (?3 / 2)] 35 ? S14 ? ?? . 2 6

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

n(a1 ? an ) ? 2

26 ? (14 .5 ? 32 ) an ? a ? (n ? ? ?1604 .5 . 1)d 2

2 4 例3.已知等差数列 5, 4 ,3 ,?的前n项和为Sn,求使得Sn 7 7 最大的序号n的值.
5 解:由题意知,a1=5,公差d= ? 7

二、例题

Sn ? An ? Bn,( A, B为常数)
2

n( n ? 1) 5 5 2 75 ? Sn ? 5n ? ? (? ) ? ? n ? n 2 7 14 14 5 15 2 1125 ? ? (n ? ) ? 14 2 56 15 ?当n取与 最接近的整数即7或8时,Sn取最大值 2

2 4 例3.已知等差数列 5, 4 ,3 ,? 的前n项和为Sn,求使得Sn 7 7 最大的序号n的值. 5 解2:∵由题意知,a1=5,公差d = ? 7 5 5 40 ? an ? 5 ? ( n ? 1)(? ) ? ? n ? 7 7 7


二、例题

an ? 0 an ?1 ? 0

5 40 ? n? ?0 7 7 得 5 40 ? (n ? 1) ? ?0 7 7

解得7≤n≤8
∴当n取7或8时,Sn最大

小结
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法:

(1)利用Sn=An2+Bn进行配方,求二次函数的最值, B 此时n应取最接近 ? 的正整数值; 2A (2)利用等差数列的增减性及an的符号变化,
当a1>0,d<0时,Sn有最大值,

此时可由an≥0、an+1≤0求出n的值;
当a1<0,d>0时,Sn有最小值,

此时可由an≤0 、an+1 ≥ 0求出n的值;
注意:当数列中有数值为0时,n应有两解.

三、练习 1.在等差数列{an}中,若a2=-61,a5=-16,则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值,最小值是多少? 解:∵ a2=-61,a5=-16 a1+d=-61 解得a1=-76,d=15 ∴ a1+4d=-16
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91

an =15n-91≤0 令 an+1 =15(n+1) -91≥0

1 1 ,解得 5 ? n ? 6 15 15

∴当n=6时,Sn取最小值,此时

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d ? 6 ? (?76) ? 15 ?15 ? ?231 2

四、总结
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法:

(1)利用Sn=An2+Bn进行配方,求二次函数的最值, B 此时n应取最接近 ? 的正整数值; 2A (2)利用等差数列的增减性及an的符号变化,
当a1>0,d<0时,Sn有最大值,

此时可由an≥0、an+1≤0求出n的值;
当a1<0,d>0时,Sn有最小值,

此时可由an≤0 、an+1 ≥ 0求出n的值;
注意:当数列中有数值为0时,n应有两解.

等差数列的前n项和练习2-3
2.

n(a1 ? an ) Sn ? 求自然数中前n个数的和. 2 n(a ? 1 S ? n ? (1 ? n) n(n ? 1) n ? Sn ? ? . 2
2 2

3. 求自然数中前n个偶数的和.

n ? ( 2 ? 2n) ? Sn ? ? n(n ? 1). 2


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