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空间立体几何习题


空间立体几何 空间立体几何的基本结构
1、先观察一下以下图形,它们有什么特点?

同步讲解 一、定义 1、 空间几何体——在我们周围存在着各种各样的物体, 如果我们只考虑这些物体的形 状和大小,而不考虑其他因素,由这些物体抽象出来的空间图形。 2、多面体——一般地,我们把有若干个平面多边形围成的几何体 3、面——围成多面体的各个多边形 4、棱——相邻

两个面的公共边 5、顶点——棱与棱的公共点 6、 旋转体——我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭 几何体。这条直线就叫做轴 二、棱、锥、柱、台、球的结构特征 棱柱 1、 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共 边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 2、底面(底)——棱柱中两个相互平行的面 3、侧面——其余各面 4、侧棱——相邻侧面的公共边 5、顶点——侧面与底面的公共顶点 棱锥
1

1、棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 2、棱锥的底面——这个多边形面 3、棱锥的侧面——有公共顶点的各个三角形面 4、棱锥的顶点——各侧面的公共顶点 5、棱锥的侧棱——相邻侧面的公共边 棱台 1、 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥, 我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 2、原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面

圆柱

1、圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几 何 体叫圆柱. 2、圆柱的轴——旋转轴 3、圆柱的底面——垂直于轴的边旋转而成的圆面 4、圆柱的侧面——平行于轴的边旋转而成的曲面 5、圆柱侧面的母线——无论旋转到什么位置,垂直于底面的边,有无数条。 注意 :圆柱与棱柱统称为柱体 圆锥

2

1、圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面 所围成的几何体叫圆锥。 注意 :圆锥也有轴、底面、侧面和母线

圆台

1、圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 注意 :1、棱台和圆台统称为台体 线 2、与圆柱、圆锥一样圆台也有轴、底面、侧面、母

3



1、球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称 球. 2、球心——半圆的圆心 3、半径——半圆的半径 4、直径——半圆的直径

同步讲解

题型一 棱柱的结构特征 1.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一 个正五棱柱对角线的条数共有( A.20 题型二 棱锥的结构特征 如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥” ,四条侧棱称为它的腰,以下 4 个 命题中,假命题是( ) ) C.12 D.10

B.15

A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

4

D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 题型三 棱台的结构特征 已知正三棱台的上下底面边长分别为 1 和 4,侧棱长为 2,则此棱台的高为( A.1 B .2 C.3 ) D.4

题型四 圆柱的结构特征 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等于( A. )

S S 2

B.

S S 2 ?

C.

S S 4

D.

S S 4 ?

题型五 圆锥的结构特征 1. 一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍,则该圆锥的母线与底面所成的角为( A.30° B.45° C.60° D.75° )

题型六 圆台的结构特征 1. 如果圆台的母线与底面成 60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( A. 2? B. )

3 ? 2

C.

2 3 ? 3

D.

1 ? 2

检测题 1. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ,这个长方体对角线的长是 ( A. 2 3 ) B. 3 2 C.6 D.

6

2. 如图, OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线, OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积 相等的两部分,则母线与轴的夹角为( A.arccos ) C.arccos

3

1 2

B.arccos

1 2

1 2

D.arccos

4

1 2

5

3. 已知圆台的上底半径为 2cm,下底半径为 4cm,圆台的高为 5 cm,则侧面展开图所在 扇形的圆心角= . .

4. 一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2π ,该圆柱的表面积为

5. 设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2,圆锥项点到直线 AB 的距离为 3 ,AB 和 圆锥的轴的距离为 1,则该圆锥的体积为 答案: .

2 2 ? 3

专题 例 1、下面关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) .

例 2、下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是 . (写出所有真命题的编号) 例 3、若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与轴所成角的大小为 反三角函数值表示) (结果用

6

提升题 例 1、 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60°, PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. ( Ⅰ ) 求 PB 和 平 面 PAD 所 成 的 角 的 大 小 ;

(Ⅱ)证明 AE⊥平面 PCD; (Ⅲ)求二面角 A-PD-C 的大小.

7

例 2、在如图所示的几何体中,EA⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,AC⊥BC,且 AC=BC=BD=2AE,M 是 AB 的中点. (I)求证:CM⊥EM; (Ⅱ)求 CM 与平面 CDE 所成的角.

8

三视图 题型一:中心投影及中心投影作图法 1.下列光线所形成的投影不是中心投影的是( A.太阳光线 C.手电筒的光线 变形题 1.哪个实例不是中心投影( A.工程图纸 ) B.小孔成像 C.相片 D.人的视觉

) B.台灯的光线 D.路灯的光线

题型二:中心投影及平行投影作图法 1. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H,M,N 分别为棱 D1D,DC,CB, BB1,B1A1,A1D1 的中点.则截面 EFGHMN 在正方体底面 ABCD 的正投影图形面积为( ) A.

3 2 a 8

B.

1 2 a 2

C.

3 2 a 4

D.

3 6 2 a 4

题型三:简单空间图形的三视图 1. 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是 ( )

9

A.

B.

C.

D.

题型四:由三视图还原实物图 1. 若 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是 ( )

A.

B.

C.

D.

检测题 1.给下列几种关于投影的说法,正确的是( A.矩形的平行投影一定是矩形 B.平行直线的平行投影仍是平行直线 C.垂直于投影面的直线或线段的正投影是点 D.中心投影的投影线是互相平行的 2. 一只蚂蚁从正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行 到达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( ) )

A.①②

B.①③

C.②④

D.③④ 且 3AA ′ =

3. 如 图 , △ ABC 为 三 角 形 , AA ′ ∥ BB ′ ∥ CC ′ , CC ′ ⊥ 平 面 ABC

3 BB ′ 2


=CC ′ =AB , 则 多 面 体 △ ABC-A ′ B ′ C ′ 的 正 视 图 ( 也 称 主 视 图 ) 是 (

10

A.

B.

C.

D. )

4.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(

A.

B.

C.

D.

典例精讲

例 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长是 1, 若 G 是 BB1 的中点, E 是 C1D1 的中点, F 是正方形 A1ADD1 的中心,则封闭折线 BGEF 在该正方体各面上的射影的面积不可能是( )

1 A. 4

3 B. 8

1 C. 2

3 D. 4

例 2 、已 知 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1 的 正 方 形 ,则 该 正 方 体 的 正视图的面积不可能是( A.1 B. ) D.

2

C.

2 ?1 2

2 ?1 2


例 3、空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为(

11

A.

B.

C.

D. 巩固练习

1、向高为 H 的水瓶中匀速注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如下面左图 所示,那么水瓶的形状是( )

2. 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 正 方 形 , PC 与 底 面 垂 直 , 若 该 四 棱 锥的正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形, 则该四棱锥中最长的棱的 长度为( )

A.1

B.

2

C.

3

D. 2

12

提升题 例 1 、已 知 三 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ,其 正 视 图 与 俯 视 图 如 图 所 示 ,则 其侧视图的面积为( )

A.

6 4

B.

6 2

C.

2 2

D. 2

例 2 、 某 几 何 体 的 三 视 图 ( 单 位 : cm ) 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 最 长 的 一 条 侧 棱 长 度是( )

A.5cm

B. 27

C. 29

D. 31

1、一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积 为(A) A.

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

D. 3

2 、 如 图 所 示 是 三 棱 锥 D-ABC 的 三 视 图 , 点 O 在 三 个 视 图 中 都 是 所 在 边 的 中 点 ,
13

则 异 面 直 线 DO 和 AB 所 成 角 的 余 弦 值 等 于 ( A.



3 3

B.

1 2

C. 3

D.

2 2

0 0 2.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90 , ?ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 ,

AD ? 2 ,求四边 形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

14


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