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平面解析几何


第八章

平面解析几何

第5课时





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第八章

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1.椭圆的定义

椭圆是如何定义的?
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大 提示:___

____________________________________________ 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 ____________________________________________________ 温馨提醒:定义中两个定点叫做椭圆的焦点 , 两焦点间的距 离叫做椭圆的焦距;当常数= |F1F2| 时 , 轨迹为线段 |F1F2| ;

当常数<|F1F2|时,轨迹不存在.
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2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x y 2 + 2 = 1( a>b>0) a b
2 2

y x 2 + 2= 1( a>b>0) a b

2

2

图形

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标准方程 范围 对称性 性 质 顶点 轴 焦距

x2 y2 2 + 2 = 1( a>b>0) a b

y2 x2 2 + 2= 1( a>b>0) a b

- a≤ x≤ a,- b≤ y≤ b - b≤ x≤ b,- a≤ y≤ a
原点 坐标轴 ,对称中心: ________ 对称轴: ________

A1 (- a, 0), A2(a, 0) B1 (0,- b), B2(0, b)

A1 (0,- a), A2(0, a) B1 (- b, 0), B2(b, 0)

2a 长轴 A1 A2 的长为 ________ 2b 短轴 B1 B2 的长为 ________ 2c |F1 F2 |= ________
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标准方程 离心率

x2 y2 2 + 2 = 1( a>b>0) a b

y2 x2 2 + 2= 1( a>b>0) a b

性 质 a,b,c 的关系

c (0,1) e= ∈ ________ a
2 a2-b2 c = ________

温馨提醒:椭圆焦点位置与 x2, y2 系数间的关系: x2 y2 给出椭圆方程 + = 1 时,椭圆的焦点在 x 轴上?m >n>0, m n 椭圆的焦点在 y 轴上? 0<m <n.
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1. (2013· 高考广东卷)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点 1 为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是 ( D ) 2 x 2 y2 A. + =1 3 4 x 2 y2 C. + =1 4 2 x 2 y2 B. + = 1 4 3 x 2 y2 D. + =1 4 3

解析:右焦点为 F(1, 0)说明两层含义:椭圆的焦点在 x c 1 2 2 2 轴上; c= 1.又离心率为 = ,故 a= 2, b = a - c = 4- 1 a 2 2 2 x y = 3,故椭圆的方程为 + = 1. 4 3
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2.椭圆 x2+my2= 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 两倍,则 m 的值为( A ) 1 A. 4 C. 2
2

1 B. 2 D. 4

1 1 2 解析:由题意知 a = , b = 1,且 a= 2b,则 = 4, m m 1 得 m= . 4

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x2 y2 4 3.椭圆 + = 1 的离心率为 ,则 k 的值为 ( C ) 9 4+ k 5 A.- 21 19 C.- 或 21 25 B. 21 19 D. 或 21 25

解析:若 a2= 9, b2= 4+ k,则 c= 5- k, c 4 5- k 4 19 由 = ,即 = ,得 k=- ; a 5 3 5 25 2 2 若 a = 4+ k, b = 9,则 c= k- 5, c 4 k- 5 4 由 = ,即 = ,解得 k= 21. a 5 4+ k 5
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x2 y2 4.(2014· 浙江省名校联考)已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的 4 3 两个焦点,过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,B 两点,则

8 △ F1 AB 的周长为 ________ . 解析:由已知可得△F1AB的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+
|BF2|=4a=8.

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x2 y2 5. (2014· 江苏常州调研)若方程 + =1 表示椭圆,则 5- k k- 3

(3,4)∪(4,5) . k 的取值范围是 ________________
5- k>0 ? ? 解析:由已知得?k- 3>0 ,解得 3<k<5 且 k≠ 4. ? ?5- k≠ k- 3

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椭圆的定义及标准方程
(1)(2013· 高考大纲全国卷 )已知 F1 (- 1, 0), F2 (1, 0) 是椭圆 C 的两个焦点, 过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A, B 两点,且 |AB|= 3,则 C 的方程为( C ) x2 A. + y2= 1 2 x y C. + = 1 4 3
2 2

x2 y2 B. + = 1 3 2 x y D. + = 1 5 4
2 2

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(2)在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1, 2 F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点, 2 x 2 y2 + =1 16 8 且△ ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 _______________ .

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[课堂笔记]
[解析] (1)由题意知椭圆焦点在 x 轴上, 且 c= 1, 可设 C 的 x2 y2 方程为 2 + 2 = 1(a>1), 由过 F2 且垂直于 x 轴的直线被 a a -1 3 C 截得的弦长 |AB|= 3,知点 (1, )必在椭圆上,代入椭圆 2 1 方程化简得 4a - 17a + 4= 0, 所以 a = 4 或 a = (舍去). 故 4
4 2 2 2

x y 椭圆 C 的方程为 + = 1. 4 3
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x 2 y2 (2)设椭圆方程为 2+ 2= 1(a>b>0). a b

2 c 2 b2 1 由 e= 知 = ,故 2= . 2 a 2 a 2 由于△ ABF2 的周长为 |AB|+ |BF2 |+ |AF2|= |AF1 |+ |AF2 |+ |BF1|+ |BF2|= 4a= 16,故 a= 4,∴b2= 8.∴椭圆 C 的方程 x 2 y2 为 + =1. 16 8
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用待定系数法求椭圆方程的一般步骤: (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能; x2 y2 x2 y2 (2)设方程: 根据上述判断设方程 2 + 2 = 1(a>b>0)或 2+ 2 a b b a = 1(a>b>0); (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a、 b、c 的方程组; (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.

注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定 量”,不能确定焦点的位置时 ,可进行分类讨论或把椭圆 的方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
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1. (1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经 过两点 P 1( 6, 1), P2 (- 3 ,- 2) ,则椭圆的方程为 x 2 y2 + =1 _______________ ; 9 3 x2 y2 (2)已知 F1,F2 是椭圆 C: 2 + 2 = 1(a>b>0)的两个焦点,P a b → → 为椭圆 C 上的一点,且PF1 ⊥PF2 . 若△PF1 F2 的面积为 9,

3 则 b= ________ .
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2 2

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解析: (1)设椭圆方程为 mx + ny = 1(m >0, n>0, 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1, P2 两点,∴P1, P2 点坐标适合椭圆方程, ? ① ?6m+ n= 1, 则? ?3m+ 2n= 1, ? ② 1 m= , 9 x2 y2 ①②两式联立, 解得 ∴所求椭圆方程为 + = 1. 9 3 1 n= . 3 (2)设 |PF1 |= r1, |PF2 |= r2, ? ?r1 + r2= 2a, 2 2 2 则? 2 2 ∴ 2 r r = ( r + r ) - ( r + r 1 2 1 2 1 2) 2 ?r 1 + r2 = 4c , ? 1 = 4a2- 4c2= 4b2,∴S = r1 r2 = b2= 9,∴ b= 3. △ PF1 F2 2

? ? ?

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椭圆的几何性质
x2 y2 (1)(2014· 云南玉溪调研 )椭圆 2+ 2 = 1(a>b>0)的一个 a b 焦点为 F1, 若椭圆上存在一个点 P, 满足以椭圆短轴为直径 的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为 5 ________ ; 3 x2 2 (2)(2014· 江苏镇江调研 )已知点 A(0, 2)及椭圆 + y =1 上任 4 2 21 意一点 P,则 |PA|的最大值为 ________ . 3
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[课堂笔记]
[解析]如图,设切点为 M,由条件知, OM⊥ PF1 且 OM= b,

∵ M 为 PF1 的中点,∴ PF2= 2b,且 PF1⊥PF2,从而 PF1= 2a- 2b. 2 2 2 2 2 ∴ PF2 + PF = F F ,即 (2 a - 2 b ) + (2 b ) = (2 c ) , 1 2 1 2 整理得 3b= 2a,∴ 5a2= 9c2, c 5 解得 e= = . a 3

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(2)设 P (x0 , y0 ),则- 2≤ x0≤ 2,- 1≤ y0≤ 1,∴ |PA|2 = x2 0+ 2 (y0 - 2) . x2 0 2 2 2 2 ∵ + y0 = 1,∴ |PA| = 4(1- y0 )+ (y0- 2) 4 2 2 28 2 ? ? y + =- 3y0 - 4y0+ 8=- 3? 0 + . 3? 3 2 2 28 2 ∵- 1≤ y0≤ 1,而- 1<- <1,∴当 y0=- 时,|PA|max= , 3 3 3 2 21 即 |PA|max= . 3

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(1)求椭圆的离心率问题的一般思路: 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关 于 a, b, c 的等式(或不等式),利用 a = b + c 消去 b,即 可求得离心率或离心率的范围. (2)利用椭圆几何性质的技巧: 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析, 当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理 清它们之间的内在联系.
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x2 y2 2 2 2. (1)已知椭圆 2+ 2 = 1(a>b>0)的一个焦点是圆 x + y - a b 6x+ 8= 0 的圆心, 且短轴长为 8, 则椭圆的左顶点为 ( D ) A. (- 3, 0) C. (- 10, 0) B. (- 4, 0) D. (- 5, 0)

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x2 y2 (2)(2013· 高考福建卷)椭圆 Γ: 2+ 2 = 1(a>b>0)的左,右焦 a b 点分别为 F1, F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+ c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠ MF1 F2 = 2∠ MF2 F1, 则该椭圆的离心 3- 1 . 率等于 ________

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2 2

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解析:(1)∵圆的标准方程为 (x- 3) + y = 1,∴圆心坐标为 (3, 0),∴ c= 3.又 b= 4,∴ a= b + c = 5. ∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴椭圆的左顶点为 (- 5, 0). (2)已知 F1 (- c, 0), F2(c, 0), 直线 y= 3(x+ c)过点 F1,且斜率为 3, ∴倾斜角∠ MF1 F2 = 60°. 1 ∵∠ MF2 F1 = ∠ MF1 F2= 30°, 2 ∴∠ F1 MF2 = 90°,∴ |MF1 |= c, |MF2 |= 3c. 由椭圆定义知 |MF1 |+ |MF2 |= c+ 3c= 2a, c 2 ∴离心率 e= = = 3- 1. a 1+ 3
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直线与椭圆的位置关系
x y (2013· 高考天津卷)设椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)的左焦点 a b 3 为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得 3 4 3 的线段长为 . 3 (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 分别为椭圆的左,右顶点,过点 F 且斜率为 k 的 → → → → 直线与椭圆交于 C, D 两点,若AC ·DB+AD·CB = 8,求 k 的值.
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c 3 [解] (1)设 F(- c, 0),由 = ,知 a= 3c. a 3 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=- c,代入椭圆方程有 2 2 (- c) y + 2 = 1, 2 a b 6b 解得 y= ± , 3 2 6b 4 3 于是 = ,解得 b= 2. 3 3 又 a - c = b ,从而 a= 3, c= 1, x2 y2 所以椭圆的方程为 + = 1. 3 2
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[课堂笔记]

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(2)设点 C(x1, y1), D(x2, y2),由 F(- 1,0)得直线 CD 的方 y= k( x+ 1), ? ? 2 2 程为 y= k(x+ 1),由方程组?x y 消去 y, + = 1, ? 3 2 ? 整理得 (2+ 3k2)x2+6k2x+ 3k2- 6= 0. 6k2 由根与系数的关系可得 x1+x2=- 2, 2+3k 3k2- 6 x1x2= 2. 2+3k
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因为 A(- 3, 0), B( 3, 0), → → → → 所以AC·DB+AD ·CB= (x1+ 3, y1)· ( 3-x2,- y2)+ (x2 + 3, y2)· ( 3- x1,- y1) = 6- 2x1x2-2y1y2=6-2x1x2- 2k2(x1+ 1)(x2+1) = 6- (2+2k2)x1x2- 2k2(x1+ x2)-2k2 2k2+ 12 = 6+ . 2+3k2 2k2+ 12 由已知得 6+ = 8,解得 k= ± 2. 2+3k2

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(1)判断直线与椭圆位置关系的四个步骤: 第一步:确定直线与椭圆的方程; 第二步:联立直线方程与椭圆方程; 第三步:消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程; 第四步:当Δ >0 时,直线与椭圆相交;当Δ = 0 时,直线与 椭圆相切;当Δ <0 时,直线与椭圆相离.

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(2)直线被椭圆截得的弦长公式: 设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1, y1 ), B(x2, y2 ), 则 |AB|= ( 1+ k ) [( x1+ x2) - 4x1 x2 ] =
2 2

?1+ 12 ?[( y + y )2- 4y y ](k 为直线斜率). 1 2 1 2 ? k?

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3. (2012· 高考安徽卷)如图,点 F1 (- c, 0), F2 (c, 0)分别是 x2 y2 椭圆 C: 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴 a b 的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P, 过点 F2 作直线 PF2 的垂 a2 线交直线 x= 于点 Q. c (1)如果点 Q 的坐标是 (4, 4),求此时 椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.
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2 b ?,故直线 PF 的斜率为 - c , 解:(1)法一:由条件知,P? 2 ? a? b2 -0 a b2 kPF2 = =- . - c- c 2ac 2ac 2ac2 因为 PF2⊥ F2 Q,所以直线 F2 Q 的方程为 y= 2 x- 2 , b b 2 a ? 故 Q? , 2a? . ? c 2 a 由题设知, = 4, 2a= 4,解得 a= 2, c= 1. c 2 2 x y 故椭圆方程为 + = 1. 4 3
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2 b a2 法二: 设直线 x= 与 x 轴交于点 M.由条件知, P?- c, ?. ? a? c |PF1| |F1F2| 因为△ PF1F2∽△ F2MQ,所以 = , |F2M| |MQ| b2 a 2c 即 2 = ,解得 |MQ|= 2a. a |MQ| -c c 2 a ? ? ? c = 4, ?a=2, x 2 y2 所以? 解得? 故椭圆方程为 + = 1. 4 3 ? ?c= 1. ? ?2a= 4,

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a2 x- y- 2a c c (2)证明:直线 PQ 的方程为 2 = ,即 y= x+ a. b a2 a - 2a - c- a c x 2 y2 将上式代入 2+ 2= 1 得 x2+ 2cx+ c2= 0, a b b2 解得 x=- c, y= . a 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

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直线与椭圆相交的综
合问题
x (本题满分 12 分 )已知椭圆 C1: + y2= 1,椭圆 C2 以 C1 4 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点, 点 A, B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB= 2OA, 求直线 AB 的方程.
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2

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———————— [审题路线图 ]———————— (1)已知条件 C1 ― →求出 e― →求 C2 的方程. (2)由已知条件设出 AB 的直线方程― →代入 C1、 C2 方程― → 得 xA, xB, 得出关于 k 的数量关系― →求得 k.

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[解]

y2 x2 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 + = 1(a> 2).2 分 a 4

2 a -4 3 3 其离心率为 ,故 = ,则 a= 4, 4 分 a 2 2 2 2 y x 故椭圆 C2 的方程为 + = 1.5 分 16 4

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(2)法一: A, B 两点的坐标分别记为 (xA, yA), (xB, yB), → → 由OB= 2OA及 (1)知, O、 A、 B 三点共线且点 A, B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y= kx.7 分 x 将 y= kx 代入 + y2 = 1 中,得(1+ 4k2)x2 = 4,所以 x2 A= 4 4 → → 2, 由OB= 2OA得出 O、 A、 B 三点共线是解决本题的技巧. 1+ 4k y x 将 y= kx 代入 + =1 中,得 (4+ k2)x2= 16, 16 4 所以 x2 B= 16 2,9 分 4+ k
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2

2

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→ → 2 2 又由OB= 2OA得 xB= 4xA, 16 16 即 2= 2, 10 分 4+ k 1+ 4k 解得 k=±1, 故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=- x.12 分 16 16 → → 由OB= 2OA的向量关系转化为 = 2 2关于 k 的 4 + k 1+ 4 k 数量关系是本题解答的关键.

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法二: A,B 两点的坐标分别记为 (xA, yA), (xB, yB), → → 由OB= 2OA及 (1)知, O, A, B 三点共线且点 A, B 不在 y 轴 上,因此可设直线 AB 的方程为 y= kx.7 分 x 2 2 2 将 y= kx 代入 + y =1 中,得 (1+ 4k )x = 4, 4 4 所以 x2 = A 2, 1+ 4k
2 16 k 16 → → 2 2 由OB= 2OA得 xB= , y B= 2 2, 9 分 1+ 4k 1+ 4k 2

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y x 4+ k 2 2 将 xB, yB代入 + = 1 中,得 2= 1, 16 4 1+ 4k 即 4+ k = 1+ 4k , 解得 k=± 1, 11 分 故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=- x.12 分
2 2

2

2

2

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(1)解答本题的易错点: → → ①由OB= 2OA得出 O、 A、 B 三点共线后,易忽视对点 A, B 都不在 y 轴上的说明. ②此处易直接求出 xA= ± 2 1+ 4k
2

,导致要分 xA 为正、负两

种情况讨论,加大解题的难度而容易失分.

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(2)解答该类问题易出现的错误: ①求圆锥曲线方程时,易出现对曲线的焦点位置判断不明, 导致所求方程错误. ②求直线与圆锥曲线的关系时, 易忽视对直线斜率不存在的 情况进行讨论. ③把直线方程代入曲线方程时,易出现计算性错误.

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x2 y2 4.(2014· 山西太原高三模拟 )已知椭圆 C: 2 + 2= 1(a>b>0) a b 1 的离心率为 ,点 F1, F2 分别是椭圆 C 的左,右焦点,以 2 原点为圆心, 椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 x- y+ 6 = 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M, N 两点, 求△ F1 MN 的内切圆面积的最大值和此时直线 l 的方程.
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a=2 ? ? ? 6 ? 解:(1)由题意得?b= ,解得?b= 3, ? 1+1 ?c=1 ? ? a =b +c
2 2 2

c 1 e= = a 2

x 2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + = 1. 4 3

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(2)由题意可设直线 l 的方程为 x= my+1, 设 M(x1, y1), N(x2, x= my+1 ? ? 2 2 y2),联立方程得?x y ,∴(3m2+4)y2+6my- 9= 0, + =1 ? ?4 3

? - 6m ? y +y = 3m + 4. ∴? -9 ? ?y ·y =3m +4
Δ >0
1 2 2 1 2 2
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1 ∴ S △ F1MN = |F1F2||y1 - y2| = 2 12 m2+1 3m2+ 4 12 = 2 = 3m + 4

( y1+ y2) 2- 4y1y2 =

12 3 m +1+
2

1

12 ≤ = 3(当且仅当 m=0 时取 4

m2+1 m2+1 等号). 设△ F1MN 的内切圆的半径为 R, 1 则S = (|MN|+ |F1M|+ |F1N|)R= 4R, △ F1MN 2 9π 3 ∴ Rmax= ,这时所求内切圆面积的最大值为 ,直线 l 的方 4 16 程为 x=1.
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