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达州市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数学试题


达州市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学试题
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 10 页。考试时间 120 分钟,满分 120 分。 第 I 卷(选择题,共 30 分) 温馨提示: 1、答第 I 卷前,请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上。 2、每小题选出正

确答案后,请用 2B 铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑。 3、考试结束后,请将本试卷和机读卡一并交回。 一.选择题:(本题 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.-2013 的绝对值是( ) A.2013 B.-2013 C.±2013 D. ?

1 2013

答案:A 解析:负数的绝对值是它的相反数,故选 A。 2.某中学在芦山地震捐款活动中,共捐款二十一万三千元。这一数据用科学记数法表示为 ( ) A. 213 ? 103 元 答案:C 解析: 科学记数法写成: ?10 形式, 其中 1 ? a ? 10 , 二十一万三千元=213000= 2.13 ? 105 a
n

B. 2.13 ? 104 元

C. 2.13 ? 105 元

D. 0.213 ? 106 元

元 3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )

答案:D 解析:A、C 只是轴对称图形,不是中心对称图形;B 是中心对称图形,不是轴对称轴图形, 只有 D 符合。 4.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价 20%,后又降价 10%; 乙超市连续两次降价 15%;丙超市一次降价 30%。那么顾客到哪家超市购买这种商品更 合算( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.一样 答案:C 解析:设原价 a 元,则降价后,甲为:a(1-20%)(1-10%)=0.72a 元, 乙为:(1-15%)2a=0.7225a 元,丙为:(1-30%)a=0.7a 元,所以,丙最便宜。 5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,将它们按时间先后顺序正确的是( )

A.(3)(1)(4)(2) B.(3)(2)(1)(4) C.(3)(4)(1)(2) D.(2)(4)(1)(3) 答案:C 解析:因为太阳从东边出来,右边是东,所以,早上的投影在左边,(3)最先,下午的投 影在右边,(2)最后,选 C。 6.若方程 3 x 2 ? 6 x ? m ? 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围在数轴上表示正确的 是( )

答案:B 解析:因为方程有两个不相等的实数根,所以,△=36-12m>0,得 m<3,故选 B。 7.下列说法正确的是( ) A.一个游戏中奖的概率是

1 ,则做 100 次这样的游戏一定会中奖 100

B.为了了解全国中学生的心理健康状况,应采用普查的方式 C.一组数据 0,1,2,1,1 的众数和中位数都是 1
2 2 D.若甲组数据的方差 S甲 ? 0.2 ,乙组数据的方差 S乙 ? 0.5 ,则乙组数据比甲组数据

稳定 答案:C 解析:由概率的意义,知 A 错;全国中学生较多,应采用抽样调查,故 B 也错;经验证 C 正确;方差小的稳定,在 D 中,应该是甲较稳定,故 D 错。 8. 如图, 一条公路的转变处是一段圆弧 (即图中弧 CD, O 是弧 CD 的圆心) 点 , 其中 CD=600 米, 为弧 CD 上一点, OE⊥CD, E 且 垂足为 F, OF= 300 3 米, 则这段弯路的长度为( ) A.200π 米 B.100π 米 C.400π 米 D.300π 米 答案:A 解析:CF=300,OF= 300 3 ,所以,∠COF=30°,∠COD=60°, OC=600,因此,弧 CD 的长为:

60? ? 600 =200π 米 160

9.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点 D 在 BC 上,以 AC 为对角线的所有 □ADCE 中,DE 最小的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:B 解析:由勾股定理,得 AC=5,因为平行边形的对角线互相平分,所以, DE 一定经过 AC 中点 O,当 DE⊥BC 时,DE 最小,此时 OD= 所以最小值 DE=3 10. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示, 反比例函数 y ?
2

3 , 2

b 与一次函数 y ? cx ? a 在 x

同一平面直角坐标系中的大致图象是(



答案:B 解析:由二次函数图象,知 a<0,c>0, ?

b >0,所以,b>0, 2a

所以,反比例函数图象在一、三象限,排除 C、D,直线 y=cx+a 中,因为 a<0,所以, 选 B。

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题:(本题 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分。把最后答案直接填在题中的横线上) 11.分解因式: x 3 ? 9 x =_ _.

答案:x(x+3)(x-3) 解析:原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3) 12.某校在今年“五?四”开展了“好书伴我成长”的读书活动。 为了解八年级 450 名学生的读书情况,随机调查了八年级 50 名学生本学期读书册数,并将统计数据制成了扇形统计图,则 该校八年级学生读书册数等于 3 册的约有 名。 答案:162 解析: 读书册数等于 3 的约占比例: 1-6%-24%-30%-6%=36%, 36%?450=162 13.点 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? 在反比例函数 y ?

k 的图象上,当 x1 ? x2 ? 0 时, y1 ? y2 ,则 k 的 x

取值可以是___ _(只填一个符合条件的 k 的值).

答案:-1 解析:由题知,y 随 x 的增大而增大,故 k 是负数,此题答案不唯一。 14.如果实数 x 满足 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,那么代数式 ? 答案:5 解析:由知,得 x 2 ? 2 x =3,原式=

? x2 ? 1 ? 2? ? 的值为_ ? x ?1 ? x ?1

_.

x2 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 2 =5。 x ?1

15.如图,折叠矩形纸片 ABCD,使 B 点落在 AD 上一点 E 处,折痕的两端点分别在 AB、 BC 上(含端点),且 AB=6,BC=10。设 AE=x,则 x 的取值范围是 . 答案:2≤x≤6 解析:如图,设 AG=y,则 BG=6-y,在 Rt△GAE 中,

8 36 ? 12 y ( (0 ? y ? ) ,当 y=0 3 8 时,x 取最大值为 6;当 y= 时,x 取最小值 2,故有 2≤x≤6 3
x2+y2=(6-y)2,即 x ?

16.如图,在△ABC 中,∠A=m°,∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点 A1,得∠A1;∠A1BC 和 ∠A1CD 的平分线交于点 A2,得∠A2;?∠A2012BC 和∠A2012CD 的平分线交于点 A2013,则∠ A2013= 度。

答案:

m 2 2013

解析:∵A1B、A1C 分别平分∠ABC 和∠ACD, ∴∠ACD=k∠A1CD,∠ABC=2∠A1BC, 而∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠ACD=∠ABC+∠A, ∴∠A=2∠A1,∴∠A1=

m , 2

同理可得∠A1=2∠A2,即∠A=22∠A2,∴∠A2= 所以,猜想:∠A2013=

m , 22

m 2 2013

三.解答题(72 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) (一)(本题 2 个小题,共 13 分) 17.(6 分)计算:

? 2?

0

?1? ? 12 ? tan 60? ? ? ? ?3?

?2

解析:原式=1+2 3 - 3 +9=10+ 3

18.(7 分)钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常 态化监视监测。如图,E、F 为钓鱼岛东西两端。某日,中国一艘海监船从 A 点向正北 方向巡航,其航线距离钓鱼岛最近距离 CF= 20 3 公里,在 A 点测得钓鱼岛最西端 F 在最东端 E 的东北方向(C、F、E 在同一直线上)。求钓鱼岛东西两端的距离。 ( 2 ? 1.41 , 3 ? 1.73 ,结果精确到 0.1) 解析: 由题知,在 Rt△ACF 中,∠ACF=90°, ∠A=30°,CF=20 3 公里. ∴cot30°=

AC . 20 3

解得,AC=60(公里).………………………(2 分) 又∵E 在 B 的东北方向,且∠ACF=90° ∴∠E=∠CBE=45°, ∴CE=CB.………………………………………………(4 分) 又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里), ∴CE=38 公里.………………………(5 分) ∴EF=CE-CF=38-20 3 ≈3.4(公里)………………………(6 分) 答:钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 公里.………………………(7 分)

(二)(本题 2 个小题,共 14 分) 19.(7 分)已知 f ? x ? ?

1 ,则 x ? ? x ? 1?

f ?1? ? f ? 2? ?
??

1 1 ? 1? ?1 ? 1? 1? 2 1 1 ? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ? 3
14 ,求 n 的值。 15

已知 f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? ? ? f ? n ? ? 解析:由题知 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(n) =

1 1 1 1 + + +?+ 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 + - + - +?+ 2 2 3 3 4 n n ?1 1 ……………………… =1(4 分) n ?1 n ……………………… = . (4 分) n ?1 14 又∵f(1)+f(2)+f(3)+?+f(n)= , 15 n 14 ∴ = . n ? 1 15
=1解得 n=14.………………………(6 分) 经检验,n=14 是上述方程的解. 故 n 的值为 14.………………………(7 分) 20.(7 分)某中学举行“中国梦?我的梦”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去, 于是老师制作了四张标有算式的卡片,背面朝上洗匀后,先由班长抽一张,再由学习委 员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确,班长去;如果两张卡片上的算 式都错误,学习委员去;如果两张卡片上的算式一个正确一处错误,则都放回去,背面 朝上洗匀后再抽。

这个游戏公平吗?请用树状图或列表的方法,结合概率予以说明。 解析:公平.………………………(1 分)

用列表法或树状图列出该事件的等可能情况如下:

由此可知该事件共有 12 种等可能结果.………………………(4 分) ∵四张卡片中,A、B 中的算式错误,C、D 中的算式正确, ∴都正确的有 CD、DC 两种,都错误的有 AB、BA 两种.………………………(5 分)

2 1 = , 12 6 2 1 学习委员去的概率 P(学习委员去)= = , 12 6
∴班长去的概率 P(班长去)= P(班长去)=P(学习委员去) ∴这个游戏公平.………………………(7 分)

(三)(本题 2 个小题,共 16 分) 21.(8 分)已知反比例函数 y ?

k1 的图象与一次函数 y ? k2 x ? m 的 3x

图象交于 A ? ?1, a ? 、B ? , ?3 ? 两点,连结 AO。 (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)设点 C 在 y 轴上,且与点 A、O 构成等腰三角形,请直接写出点 C 的坐标。 解析:

?1 ?3

? ?

k1 1 的图像过点( ,-3), 3x 3 1 ∴k1=3xy=3? ?(-3)=-3. 3 1 ∴反比例函数为 y ? .………………………(1 分) x 1 ∴a= ? =1, ?1
(1)∵y= ∴A(-1,1).………………………(2 分)

?? k 2 ? m ? 1, ? ∴ ? 1 k ? m ? ?3 . ?3 2 ?
解得 ?

?k 2 ? ?3, ? m ? ?2 .

∴一次函数为 y=-3x-2.………………………(4 分) 16、C(0, 2 )、………………………(5 分) 或(0,- 2 )、………………………(6 分) 或(0,1)、………………………(7 分) 或(0,2).………………………(8 分) 22.(8 分)选取二次三项式 ax ? bx ? c
2

? a ? 0 ? 中的两项,配成完全平方式的过程叫配
2

方。例如 ①选取二次项和一次项配方: x 2 ? 4 x ? 2 ? ? x ? 2 ? ? 2 ; ②选取二次项和常数项配方: x ? 4 x ? 2 ? x ? 2
2

或x ③选取一次项和常数项配方: x

2

2

? ? ? ? 2 2 ? 4? x , ? 4x ? 2 ? ? x ? 2 ? ? ? 4 ? 2 2 ? x ? 4x ? 2 ? ? 2x ? 2 ? ? x
2 2 2 2

根据上述材料,解决下面问题: (1)写出 x 2 ? 8 x ? 4 的两种不同形式的配方; (2)已知 x ? y ? xy ? 3 y ? 3 ? 0 ,求 x y 的值。
2 2

解析::(1) x 2 ? 8 x ? 4 =x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12 或 x 2 ? 8 x ? 4 =(x-2)2-4x

x 2 ? yx ? y 2 ? 3 y ? 3 ? 0 y 3 ( x ? )2 ? ( y ? 2)2 ? 0 2 4 (2)
X=-1,y=2.因此 xy=(-1)2=1 (四)(本题 2 个小题,共 17 分) 23.(8 分)今年,6 月 12 日为端午节。在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为 2 元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题。

(1)小华的问题解答: 解析:(1)解:设实现每天 800 元利润的定价为 x 元/个,根据题意,得 (x-2)(500-

x?3 ?10)=800 .………………………(2 分) 0 .1

整理得:x2-10x+24=0. 解之得:x1=4,x2=6.………………………(3 分) ∵物价局规定,售价不能超过进价的 240%,即 2?240%=4.8(元). ∴x2=6 不合题意,舍去,得 x=4. 答:应定价 4 元/个,才可获得 800 元的利润.………………………(4 分) (2)解:设每天利润为 W 元,定价为 x 元/个,得 W=(x-2)(500-

x?3 ?10) 0 .1

=-100x2+1000x-1600 =-100(x-5)2+900.………………………(6 分) ∵x≤5 时 W 随 x 的增大而增大,且 x≤4.8, ∴当 x=4.8 时,W 最大, W 最大=-100?(4.8-5)2+900=896>800 .………………………(7 分) 故 800 元不是最大利润.当定价为 4.8 元/个时,每天利润最大.………………………(8 分)

24.(9 分)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是 一个案例,请补充完整。

FF

原题:如图 1,点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,∠EAF=45°,连接 EF,则 EF=BE+DF,试说明理由。
(1)思路梳理 ∵AB=CD, ∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG,可使 AB 与 AD 重合。 ∵∠ADC=∠B=90°, ∴∠FDG=180°,点 F、D、G 共线。

根据__SAS__________,易证△AFG≌_△AFE_______,得 EF=BE+DF。
(2)类比引申 如图 2,四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=90°点 E、F 分别在边 BC、CD 上,

∠EAF=45°。若∠B、∠D 都不是直角,则当∠B 与∠D 满足等量关系_互补 ___时,仍有 EF=BE+DF。
(3)联想拓展 如图 3,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上,且∠DAE=45°。 猜想 BD、DE、EC 应满足的等量关系,并写出推理过程。 解:BD2+EC2=DE2 解析:(1)SAS………………………(1 分) △AFE………………………(2 分) (2)∠B+∠D=180°………………………(4 分) (3)解:BD2+EC2=DE2.………………………(5 分) ∵AB=AC, ∴把△ABD 绕 A 点逆时针旋转 90°至△ACG,可使 AB 与 AC 重合. ∵△ABC 中,∠BAC=90°. ∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°. ∴EC2+CG2=EG2.………………………(7 分) 在△AEG 与△AED 中, ∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD, 又∵AD=AG,AE=AE, ∴△AEG≌△AED. ∴DE=EG.又∵CG=BD, ∴BD2+EC2=DE2.………………………(9 分)

(五)(本题 12 分) 25.如图,在直角体系中,直线 AB 交 x 轴于点 A(5,0),交 y 轴于点 B, AO 是⊙M 的直径,其半圆交 AB 于点 C,且 AC=3。取 BO 的中点 D, 连接 CD、MD 和 OC。 (1)求证:CD 是⊙M 的切线; (2)二次函数的图象经过点 D、M、A,其对称轴上有一动点 P,连接 PD、PM,求△PDM 的周长最小时点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点 Q,使 S? QAM ?

1 S? PDM ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明 6

理由。 解析:(1)证明:连结 CM. ∵OA 为⊙M 直径, ∴∠OCA=90°. ∴∠OCB=90°. ∵D 为 OB 中点, ∴DC=DO. ∴∠DCO=∠DOC.………………………(1 分) ∵MO=MC, ∴∠MCO=∠MOC.………………………(2 分) ∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3 分) 又∵点 C 在⊙M 上, ∴DC 是⊙M 的切线.………………………(4 分) (2)解:在 Rt△ACO 中,有 OC= OA ? AC .
2 2

又∵A 点坐标(5,0), AC=3, ∴OC= 5 2 ? 32 =4.

OC OB . ? AC OA 4 OB 20 ∴ ? .解得 OB= . 3 5 3
∴tan∠OAC= 又∵D 为 OB 中点,∴OD= D 点坐标为(0,

10 . 3

10 ……………………… ). (5 分) 3

连接 AD,设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,则有

? 10 ? 10 ?b ? 3 , ? ?b ? , j 解得 ? 3 ? ?k ? ? 2 . ?5k ? b ? 0. ? ? 3 ?

2 10 x+ . 3 3 5 ∵二次函数的图象过 M( ,0)、A(5,0), 2 15 ……………………… ∴抛物线对称轴 x= . (6 分) 4 15 15 ∵点 M、A 关于直线 x= 对称,设直线 AD 与直线 x= 交于点 P, 4 4
∴直线 AD 为 y=∴PD+PM 为最小. 又∵DM 为定长, ∴满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x= 当 x=

15 的交点.………………………(7 分) 4

15 2 15 10 5 时,y=- ? + = . 4 3 4 3 6 15 5 ……………………… 故 P 点的坐标为( , ). (8 分) 4 6
(3)解:存在. ∵S△PDM=S△DAM-S△PAM

1 1 AM?yD- AM?yP 2 2 1 = AM(yD-yp). 2 1 10 15 5 S△QAM= AM? yQ ,由(2)知 D(0, ),P( , ), 2 3 4 6 1 10 5 5 ……………………… ∴ ?( - )=yQ 解得 yQ=± (9 分) 6 3 6 12 5 ∵二次函数的图像过 M(0, )、A(5,0), 2 5 ∴设二次函数解析式为 y=a(x- )(x-5). 2 10 又∵该图象过点 D(0, ), 3 5 10 4 a?(- )?(-5)= ,a= . 2 3 15 4 5 ∴y= (x- )(x-5).………………………(10 分) 15 2 5 又∵C 点在抛物线上,且 yQ=± , 12 4 5 5 ∴ (x- )(x-5)=± . 15 2 12
= 解之,得 x1=

15 ? 5 2 15 ? 5 2 15 ,x2= ,x3= . 4 4 4

∴点 Q 的坐标为(

15 ? 5 2 15 ? 5 2 5 5 15 5 ………… , ),或( , ),或( ,). (12 分) 4 4 12 12 4 12


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