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2015年高中数学新课标一轮复习下册9-4


一轮复习 · 新课标数学 · 理(下册)

第四节 变量间的相关关系与统计案例

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记忆最新考纲
1

.会作两个相关变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间 的相关关系 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公 式建立线性回归方程 3.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其 简单应用 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用

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命题规律透视
从近三年高考试题分析, 高考对本部分的考察多以散点图和相关 关系为主, 另外对线性回归方程与独立性检验在实际应用中的考 查. 统计案例是新课标增加的内容, 包括独立性检验和回归分析, 独立性检验的步骤是固定的,只要按公式计算,再和临界值表进 行对照就可以得出结论.常以解答题形式出现,回归分析常以选 择题或填空题形式出现.

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2013 年陕西 2013 年四川 2013 年广东 2013 年福建 2013 年湖南 2013 年重庆

选择题 选择题 解答题 解答题 解答题 选择题

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命题趋势 1.热点预测:一是散点图与相关关系;二是线性回归方程 与独立性检验在实际生活中的应用.这两个是高考热点,以客观 题为主,属容易题. 2.趋势分析:预测 2014 年高考对本节内容的考查可能仍以 基本概念、基本计算以及基本思想与方法为主,力度可能有上升 趋势,复习时应给予重视.

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1.相关关系、回归方程与回归分析 (1)相关关系的分类 ① 正 相 关 : 从 散 点 图 上 看 , 散 点 分 布 在 从 ________ 到 ________的区域内; ②负相关:从散点图上看,散点分布在从左上角到________ 的区域内.

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(2)线性相关关系 从散点图上看, 如果这些点从整体上看大致分布在一条直线 附近,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫 ________. (3)回归方程 ①最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的 ________ 最小的方法叫最小二乘法.

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(4)回归分析 ①定义: 对具有________的两个变量进行统计分析的一种常 用方法. ②随机误差:线性回归模型用 y=bx+a+e 表示,其中 a 和 b 为模型的未知参数,e 称为随机误差.

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①当 r>0 时,表明两个变量________; ②当 r<0 时,表明两个变量________; ③r 的绝对值越接近 1,表明两个变量的线性相关性 ________;r 的绝对值越接近于 0,表明两个变量之间几乎不存 在线性相关关系.通常当|r|>0.75 时,认为两个变量有很强的线 性相关关系.

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2.独立性检验 (1)2×2 列联表 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和 {y1,y2},其样本频数列联表(称 2×2 列联表)为:
y1 x1 x2 a c y2 b d 总计 ______ c+d

总计

a+c

______

a+b+c+d

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(2)K2 统计量 利用随机变量 (其中 n=

a+b+c+d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为 独立性检验. 步骤如下: ①计算随机变量 K2 的观测值 k,查下表确定临界值 k0:

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P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0

0.50 0.455 0.05 3.841

0.40 0.708 0.025 5.024

0.25 1.323 0.010 6.635

0.15 2.072 0.005 7.879

0.10 2.706 0.001 10.828

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②如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误 的概率不超过 P(K2≥k0);否则,就认为在犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”.

[答案] 1.(1)左下角 右上角 右下角 (2)回归直线 (3)距离平方和 斜率 (4)相关关系 (5)①正相关 ②负相关 ③越强 2.a+b b+d

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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种 因果关系.( )

(2)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则,则两个变 量之间不具有相关关系.( ) ) )

(3)回归分析就是研究两个相关事件的独立性.( (4)任何一组数据都对应着一个回归直线方程.(

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(5)由独立性检验可知,有 99%的把握认为物理成绩优秀与 数学成绩有关, 某人数学成绩优秀, 则他有 99%的可能物理成绩 优秀.( )
(2)√ (3)× (4)× (5)×

[答案] (1)×

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考点一:相关关系的判断与探究

[调研 1] (1)(2014· 辽宁模拟)变量 X 与 Y 相对应的一组数据 为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对 应的一组数据为 (10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) . r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间 的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 C.r2<0<r1
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) B.0<r2<r1 D.r2=r1
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[思路点拨]

根据给出的数据画散点图,确定出他们的相关

性,求出相关系数的符号去判断.
[答案] C

[解析] (法一)画散点图,由散点图可知 X 与 Y 是正相关, 则相关系数 r1>0,U 与 V 是负相关,相关系数 r2<0,故选 C. (法二)对于变量 Y 与 X 而言,Y 随 X 的增大而增大,故 Y 与 X 正相关,即 r1>0;对于变量 V 与 U 而言,V 随 U 的增大而减 小,故 V 与 U 负相关,即 r2<0,所以有 r2<0<r1.故选 C.

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(2)(2013· 湖北)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系, 并求得回归直线方程, 分别得到以下四个结论: ①y 与 x 负相关且^ y=2.347x-6.423; ②y 与 x 负相关且^ y=-3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且^ y=5.437x+8.493; ④y 与 x 正相关且^ y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② C.③④
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)

B.②③ D.①④
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[答案]D

^x+a ^,知当b ^>0 时,y 与 x 正相 [解析]由回归直线方程^ y=b ^<0 时,y 与 x 负相关.∴①④一定错误.故选 D. 关;当b

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教师用书独具——————————————— (2014· 河北模拟)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, yn)(n≥2, x1, x2 , ?, xn 不全相等)的散点图中, 若所有样本点(xi, 1 yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y=2x+1 上,则这组样本数据的样本 相关系数为( A.-1 1 C.2 ) B.0 D.1

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[ 思路点拨 ] 题的关键.
[答案] D

理清相关系数与相关性强弱的关系是解决本

[解析] 样本相关系数越接近 1,相关性越强,现在所有的 1 样本点都在直线 y=2x+1 上,样本的相关系数应为 1.

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1.判定两个变量正、负相关性的方法:(1)画散点图:点的 分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到 右下角,两个变量负相关.(2)相关系数:r>0 时,正相关;r<0 ^>0,正相关;b ^<0 时,负 时,负相关.(3)线性回归直线方程:b 相关.

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2.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的 方法.在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上, 就用该函数来描述变量之间的关系.即变量之间具有函数关 系.如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近,变量之间就有 相关关系;如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就 有线性相关关系.

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(2014· 西北工业大学附属中学适应性检测)如图,5 个(x,y) 数据,去掉 D(3,10)后,下列说法错误的是( )

A.相关系数 r 变大 B.残差平方和变大 C.相关指数 R2 变大 D.解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强

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[答案]B

[解析]由散点图知,去掉 D 后,x 与 y 的相关性变强,且为 正相关,所以 r 变大,R2 变大,残差平方和变小.

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考点二:线性回归方程及其应用的经典题型

[调研 2] (1)(2013· 福建)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 ^ x+a ^ .若某 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为^ y =b 同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y= b′x+a′,则以下结论正确的是( ^>b′,a ^>a′ A.b ^<b′,a ^>a′ C.b
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)

^>b′,a ^<a′ B.b ^<b′,a ^<a′ D.b
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[答案]C

7 13 58-6×2× 6 21 7 13 ^= [解析]- x = 6 =2,- y = 6 ,代入公式求得b ?7? 91-6×?2?2 ? ? 5 =7, 5 7 13 1 ^ ^ - - a=b x - y =7×2- 6 =3, ^<b′,a ^>a′,故选 C. 而 b′=2,a′=-2,∴b

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(2)(2014· 浙江宁波一模 ) 以下是某地搜集到的新房屋的销售 价格 y 和房屋的面积 x 的数据: 房屋面积 x(m2) 115 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22

销售价格 y(万元) 24.8 ①画出数据对应的散点图;

②求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线; ③根据的结果,估计当房屋面积为 150 m2 时的销售价格.

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[思路点拨]

①由题目所给信息建系画出散点图.②用最小

二乘法及公式求回归直线方程.③中利用回归方程求销售价格.

[解析] ①数据对应的散点图如图所示:

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③根据②,当 x=150 m2 时,销售价格的估计值为 ^ y=0.196 2×150+1.814 2=31.244 2≈31.2(万元).
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1.求回归直线方程前应通过散点图或相关系数进行相关性 检验,确定是否有必要根据公式求回归直线方程.从而有依据地 进行预测.

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2.求线性回归方程的步骤: ①计算 x , y ;

^= y -b ^ x; a ^ x+a ^. ④写出回归方程^ y =b ^必过( x , y ). 3.( x , y )为样本点的中心,^ y=bx+a
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(2014· 高考调研)设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到 的线性回归直线(如图),以下结论正确的是
A.直线 l 过点(- x ,- y) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同

(

)

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[答案]

A

[解析]

由样本点的中心( x , y )落在回归直线上可知 A 正

确;x 和 y 的相关系数表示 x 与 y 之间的线性相关程度,不表示 直线 l 的斜率,故 B 错;x 和 y 的相关系数应在-1 到 1 之间, 故 C 错;分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均, 即无论样本点个数是奇数还是偶数,分布在 l 两侧的样本点的个 数不一定相同,故 D 错.

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考点三:独立性检验的基本思想与创新

[调研 3] (2014· 陕西调研)2013 年世界经济形势严峻,某企 业为了增强自身竞争力,计划对职工进行技术培训,以提高产品 的质量.为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系,对该车 间所有职工进行了问卷调查,得到了如下的列联表:
赞成 不赞成 合计

男职工 女职工 合计

22 8 30

8 12 20
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30 20 50
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(1)用分层抽样的方法在不赞成的职工中抽 5 人进行调查, 其中男职工、女职工各抽取多少人? (2)在上述抽取的 5 人中选 2 人,求至少有一名男职工的概 率; (3)据此资料,判断对技术培训的态度是否与性别有关?并 证明你的结论.
2 n ? ad - bc ? 附:K2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k) k
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0.05 3.841
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0.01 6.635
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[思路点拨]

(1)先计算出抽样比,然后利用各层人数乘抽样

比即可得到各层的样本数;(2)根据(1),用不同的字母表示抽取 的 5 人, 然后利用列举法列出所有的基本事件以及满足条件的基 本事件,代入古典概型的概率计算公式即可求解; (3)直接把相 应的数值代入公式求出 K2 的值,然后与已知的数值进行对比作 出判断. 5 1 [解析] (1)在不赞成的职工中抽 5 人,则抽取比例为20=4,
1 所以男职工应该抽取 8×4=2(人), 1 女职工应该抽取 12×4=3(人).
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(2)上述抽取的 5 人中,男职工 2 人记为 a,b,女职工 3 人 记为 c,d,e,则从 5 人中选 2 人的所有情况为(a,b),(a,c), (a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e), 共 10 种情况. 其中至少有一名男职工的情况有(a,b),(a,c),(a,d),(a, e),(b,c),(b,d),(b,e),共 7 种情况. 故从上述抽取的 5 人中选 2 人, 至少有一名男职工的概率为 7 P=10.

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2 50 × ? 22 × 12 - 8 × 8 ? (3)因为 K2= ≈5.56∈(3.841,6.635), 30×20×30×20

所以有 95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”.

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教师用书独具——————————————— (2014· 重庆调研)某大学高等数学老师上学期分别采用了 A, B 两种不同的教学方式对甲、 乙两个大一新生班进行教改试验(两 个班均有 60 名同学,入学数学平均成绩和优秀率都相同,勤奋 程度和自觉性都一样).现随机抽取甲、乙两班各 20 名同学的上 学期数学期末考试成绩,得到茎叶图如图所示.

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(1)依茎叶图判断哪个班的平均分高? (2)学校规定: 成绩不低于 85 分的为优秀, 请填写下面的 2×2 列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认 为成绩优秀与教学方式有关?”
甲班 优秀 不优秀 合计 乙班 合计

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下面临界值表供参考:

P(K2≥k) k

0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005

0.001

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

2 n ? ad - bc ? (参考公式: K2= , 其中 n=a+b+c ?a+b??c+d??a+c??b+d?

+d)

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[思路点拨] 大小.

(1)通过茎叶图计算甲、乙两班的平均分可比较

(2)由列联表并根据公式计算 K2 比较并判断.

[解析]

(1)由茎叶图,知甲班高等数学成绩集中于 58~88

分之间,而乙班数学成绩集中于 80~98 分之间,所以乙班的平 均分高. (2)由题意及茎叶图,统计得到如下列联表:
甲班 优秀 3 乙班 10 合计 13

不优秀 合计

17 20

10 20
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27 40
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2 40 × ? 3 × 10 - 10 × 17 ? 则 K2= ≈5.584>5.024, 13×27×20×20

因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优 秀与教学方式有关.

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1.解独立性检验的应用问题的关注点 (1)两个明确: ①明确两类主体,如“吸烟者”“不吸烟者”; ②明确研究的两个问题,如“患肺癌”“未患肺癌”. (2)解决问题的关键: ①准确画出 2×2 列联表; ②准确理解 K2.

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(3)统计的基本思维模式是归纳,它的特征之一是由部分数 据的性质推断全部数据的性质.因此,由此推断所得结论可能是 错误的,即从数据上体现的是统计关系,而不是因果关系. 2.利用独立性检验,能够帮助我们对日常生活中的实际问 题作出合理的推断和预测. 独立性检验就是考察两个分类变量是 否有关系,并能较为准确地给出这种判断的可信度,具体做法是
2 n ? ad - bc ? 根据公式 K2= ,计算随机变量的观测值 ?a+b??a+c??c+d??b+d?

K2,K2 值越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.

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(2014· 四川模拟)某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一 次调查,并用下图所示的茎叶图表示 30 人的饮食指数.(说明: 图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人,饮食以肉类为主)

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(1)根据以上数据完成下列 2×2 列联表:

主食蔬菜

主食肉类

合计

50岁以下
50岁以上 合计

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(2)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关? 并写出简要分析. 下面临界值表供参考:
P(K2≥k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

2 n ? ad - bc ? (参考公式: K2= , 其中 n=a+b+c ?a+b??c+d??a+c??b+d?

+d)

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[解析] (1)2×2 的列联表如下:

主食蔬菜

主食肉类

合计

50岁以下 50岁以上
合计

4 16 20

8 2 10

12 18 30

2 30 × ? 8 - 128 ? (2)因为 K2= =10>6.635,所以有 99%的把 12×18×20×10

握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.

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1. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的 方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实 际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义. 2.由回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发 生的值. 3.使用 K2 统计量作 2×2 列联表的独立性检验时,要求表 中的 4 个数据都要大于 5,在选取样本容量时一定要注意. 4.回归直线恒过定点( x , y ).
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思想方法:巧解与线性回归方程有关的问题 [典例] (2014· 福建厦门联考)某工厂为了对新研发的一种产

品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如 下数据:
单价x(元) 销量y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

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(1)求回归直线方程^ y=bx+a,其中 b=-20,a= y -b x ; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系, 且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的 单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
[思路分析] (1)利用公式求得 a,进而得到回归直线方程;

(2)将利润表示为单价的函数,利用配方法求最值.

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1 [解析] (1)由于 x =6(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5, 1 y =6(90+84+83+80+75+68)=80,又 b=-20, 所以 a= y -b x =80+20×8.5=250, 从而回归直线方程为^ y =-20x+250. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000 =-20(x-8.25)2+361.25. 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.
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[思考点评]

求样本数据的线性回归方程的步骤:

第一步,计算平均数 x , y ;

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