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极坐标与参数方程及2014高考题


极坐标与参数方程
一、基础知识点梳理
(一)极坐标 1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

? x? ? ? x 设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点 , 在变换 ? : ? ? y? ? ? y

(? ? 0) 的作用下 , 点 (? ? 0)

P(x,y)对应到点 P?( x?, y

?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2、极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示

,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫

做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样 就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几 何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和 平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射 线 OM 为终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角 , 记为 ? . 有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标 , 记作
M ( ? ,? ) .

一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的 极坐标有无数种表示.

1

如果规定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? , 那么除极点外 , 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示 ; 同时 , 极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的. 3、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取 相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标 ( x, y ) 极坐标 ( ? ,? )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y 2
tan ? ? y ( x ? 0) x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. (3)极坐标系与直角坐标系的不同 极坐标利用的极轴长度与偏离极轴的角度为坐标进行计算的,其优势在于处理圆形,旋转 等问题,常见的就是关于极轴(直角坐标里的正半轴)对称的曲线图形,或者绕远点规则运动的图 形。 直角坐标的优势在于处理直线问题,矩形等规则图形,如果动点是按直线运动,的用直角 坐标比较好。也是最常用的坐标系,更为直观一些。

2

4、常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半 径为 r 的圆 圆心为 ( r , 0) , 半 径为 r 的圆 图形 极坐标方程

? ? r (0 ? ? ? 2? )

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

? 圆心为 (r , ) , 半 2
径为 r 的圆

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

(1) 过极点,倾斜角 为 ? 的直线

? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R)
(2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a, 0) , 与极 轴垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

? 过点 (a, ) ,与极 2
轴平行的直线

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

注 : 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 , 即 ( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(?? , ? ? ? ),(?? , ?? ? ? ), 都表 示同一点,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,

? ? 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可 . 例如对于极坐标方程 ? ? ? , 点 M ( , ) 可以表示为 4 4
? ? ? ? ? ? ? 5? ( , ? 2? )或( , ? 2? )或(- , )等多种形式,其中,只有 ( , ) 的极坐标满足方程 ? ? ? . 4 4 4 4 4 4 4 4

3

(二) 、参数方程 1、参数方程的概念 一般地 , 在平面直角坐标系中 , 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ) ①,并且对于 t 的每一个允许值 ,由方程组①所确定的点 M ( x, y) 都在这条曲线上, 那么 ? ? y ? g (t )
方程①就叫做这条曲线的参数方程 ,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方 程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2、参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以通过消去参数而从参数 方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f (t ) ,把它代入普通方程,求出另一

? x ? f (t ) 个变数与参数的关系 y ? g (t ) ,那么 ? 就是曲线的参数方程 , 在参数方程与普通方程的互 ? y ? g (t )
化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键 在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3、圆的参数 如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆

? x ? r cos ? 周运动,设 M ( x, y) ,则 ? (? 为参数) 。 ? y ? r sin ?
这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意义是 OM 0 转过的角度。 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,

? x ? a ? r cos ? 它的参数方程为: ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?
4、椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程 a 2 b2

4

? x ? a cos ? 为? (?为参数) , 其 中 参 数 ? 称 为 离 心 角 ; 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是 ? y ? b sin ?

? x ? b cos ? y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 ? (?为参数), 其中参数 ? 仍为离心角,通常规定参数 2 a b ? y ? a sin ?
。 ? 的范围为 ? ∈[0,2 ? ) 注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋 转角 ? 区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) , 在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但当 0 ? ? ? 限内类似。 5、双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心, 焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其参数方 a 2 b2

?
2

时,相应地也有 0 ? ? ?

?
2

,在其他象

? x ? a sec ? ? 3? . 程为 ? (?为参数) ,其中 ? ? [0, 2? )且? ? , ? ? 2 2 ? y ? b tan ?
焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a 2 b2

? x ? b cot ? (?为参数,其中? ? (0, 2? )e且? ? ? . ? ? y ? a csc ?
以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。 6、抛物线的参数方程

? x ? 2 pt 2 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参数方程为 ? (t为参数). ? y ? 2 pt
2

7、直线的参数方程 经 过 点 M 0 ( x0 , y0 ), 倾斜 角为 ? (? ?

?
2

) 的 直 线 l 的 普 通方 程是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ), 而 过

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) 。 M 0 ( x0 , y0 ),倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? y0 ? t sin ?
注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程

5

? x ? x0 ? t cos ? 为? (t为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有 y ? y ? t sin ? 0 ?
向线段 M0 M 的数量,当点 M 在 M 0 上方时, t >0;当点 M 在 M 0 下方时, t <0;当点 M 与 M 0 重合时, t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的 点 M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

二、极坐标与参数方程 2014 各省高考题
1、[2014· 天津卷] 在以 O 为极点的极坐标系中,圆ρ =4sin θ 和直线 ρsin θ =a 相交于 A, B 两点.若△AOB 是等边三角形,则 a 的值为________. 答案:3

2、[2014· 安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, ?x=t+1, 两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐标 ?y=t-3 方程是 ρ=4cos θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 C. 2 B.2 14 D.2 2 )

答案:D

?x=-1+cos θ , 3、[2014· 北京卷] 曲线? (θ 为参数)的对称中心( ?y=2+sin θ A.在直线 y=2x 上 C.在直线 y=x-1 上 答案:B B.在直线 y=-2x 上 D.在直线 y=x+1 上

)

6

4、 [2014· 福建卷] (Ⅱ)选修 44:坐标系与参数方程 ?x=a-2t, ?x=4cos θ , 已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 圆 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=-4t ?y=4sin θ (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

解:(1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= 解得-2 5≤a≤2 5. ≤4,

5、 [2014· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, 曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2 θ =cos θ 和 ρsin θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角 坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为________. 答案:(1,1)

已知曲线 C1 的参数方程是? 3t (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 y = ? 3 立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 答案:( 3,1) ?x=2+cos α , π 7、[2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中,倾斜角为 4 的直线 l 与曲线 C:? (α ?y=1+sin α 为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2.以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则 直线 l 的极坐标方程是________. 答案:ρ cos θ -ρ sin θ =1
7

6、[2014· 湖北卷] (选修 44:坐标系与参数方程) ?x= t,

8、[2014· 江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A.ρ = B.ρ = π 1 ,0≤θ≤ 2 cos θ +sin θ )

π 1 ,0≤θ≤ 4 cos θ +sin θ

π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ≤ 2 π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ≤ 4 答案:A

9、[2014· 辽宁卷] 选修 44:坐标系与参数方程 2 2 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. ?x=x1, 解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y),依题意,得? 由 ?y=2y1, y2 ?y?2 x2 1+y2 1=1 得 x2+?2? =1,即曲线 C 的方程为 x2+ 4 =1. ? ? ?x=cos t, 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ?y=2sin t y2 ? ?x2+ =1, ?x=1, ?x=0, 4 (2)由? 解得? 或? ?y=0 ?y=2. ? ?2x+y-2=0, 1 ?1 ? 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为?2,1?,所求直线的斜率 k=2,于 ? ? 1? 1? 是所求直线方程为 y-1= ?x-2?, 2? ? 化为极坐标方程,并整理得

8

2ρ cos θ -4ρ sin θ =-3,即ρ =

3 . 4sin θ -2cos θ

10、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 选修 44:坐标系与参数方程 ?x=2+t, x2 y2 已知曲线 C: 4 + 9 =1,直线 l:? (t 为参数). ?y=2-2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线, 交 l 于点 A, 求|PA|的最大值与最小值. ?x=2cos θ , 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ?y=3sin θ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离 5 d= 5 |4cos θ +3sin θ -6|, 则|PA|= d 2 5 = 5 |5sin(θ +α )-6|, sin 30°

4 其中α 为锐角,且 tan α =3. 22 5 当 sin(θ +α )=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 5 . 2 5 当 sin(θ +α )=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 5 .

11、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐 π? ? 标方程为 ρ=2cos θ ,θ ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方
9

程,确定 D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为 ?x=1+cos t, ? (t 为参数,0≤t≤π ). ?y=sin t, (2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D π 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= 3 . π π? ?3 ? 3? 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. 3 3 2 2 ? ? ? ? π? ? 12 、 [2014· 陕 西 卷 ] C . ( 坐 标 系 与参 数 方程 选 做 题 ) 在极 坐 标系 中 , 点 ?2, ? 到 直 线 6? ? π? ? ρsin?θ - ?=1 的距离是________. 6? ? 答案:1

π 13、自选模块 2.[2014· 浙江卷] (1)在极坐标系 Ox 中,设集合 A={(ρ,θ)|0≤θ≤ 4 ,0≤ρ ≤cos θ },求集合 A 所表示区域的面积; (2)在直角坐标系 xOy 中, π ? x =- 4 + t cos , ? 4 直线 l:? (t 为参数), π ? ?y=tsin 4 ?x=acos θ , 曲线 C:? (θ 为参数),其中 a>0. ?y=2sin θ 若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方,求 a 的取值范围. 解:(1)在ρ =cos θ 两边同乘ρ ,得 ρ 2=ρ cos θ . 化成直角坐标方程,得 x2+y2=x, 1?2 1 ? 即?x-2? +y2=4. ? ?
10

1?2 1 ? 所以集合 A 所表示的区域为:由射线 y=x(x≥0),y=0(x≥0),圆?x-2? +y2= 所围成的 4 ? ? π 1 区域,如图所示的阴影部分,所求面积为16+8. 错误!未找到引用源。 (2)由题意知,直线 l 的普通方程为 x-y+4=0. 因为曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方, 故对θ ∈R, 有 acos θ -2sin θ +4>0 恒成立, 2? ? 即 a2+4cos(θ +φ )>-4?其中tan φ = a?恒成立, ? ?

所以 a2+4<4.又 a>0,得 0<a<2

3.

?x=2+t, 14、[2014· 重庆卷] 已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴 ?y=3+t 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ -4cos θ =0(ρ≥0,0≤θ<2π ), 则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径ρ =________. 答案: 5

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