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对数函数及其性质课件ppt


对数函数及其 性质

复习:

一般地,函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函 数,其中x是自变量.

a > 1
y y=ax

0 < a < 1
y=ax
y=1


y=1

>(0,1)

y
(0,1)

象 性 质

0

x

0

x

定义域: R 值 域 : (0 , +∞) 过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

我 们知道某细胞分裂过程中 ,细

x
y ? 2x

胞个数 y 是分裂次数 x 的指数函 数 y ? 2 x .因此, 知 道 x 的值 ( 输入 值是分裂次数) , 就能求出y 的值 ( 输出值 是细胞个数) .现 在我们 来研究相反的问题 :

y

? 知道了细胞个数y , 如何确定分裂次数x ?

1 . 对数函数的概念
x x 为了求 y ? 2 中的 x , 我们将 y ? 2 改 x 写成对数式为x ? log 2 y.对于每一个 x ? log 2 y 给定的 y 值, 都有一个惟一的x 值与 之对应 .将y 看做自变量, x就是y的函 y 数.这样就得到一个新的函 数. 放射性物质 , 经过的时间x ?年?与物质剩 留量y 的关系为y ? 0.84 , 写成对数式为x ? log y.
x 0.84

类似地 , y是自变量 , x是y的函数 . 习惯上 , 仍用x表示自变量 , 用y表示它的函数 .这样 ,上 面两个函数就分别写成 y ? log x和y ? log 0.84 x .
2

对数函数
一般地,函数 y ? log a x ? a ? 0, a ? 1?叫 做对数函数,它的定义域是 ? 0, ?? ? .
思考 函数y ? log a x与函数 y ? a 什么关系?
x

(a ? 0, a ? 1) 的定义域值域之间有

对数函数的图象和性质 对数函数y=log2x的图象

y

x
y=log2x

1 2

1
0

2
1

4
2

-1

y ? log2 x

x

对数函数的图象和性质

对数函数y=log x的图象

y

x
y=log2x

1 2

1
0

2
-1

4
-2

1

x
y=log x

y=logax(a>1)的图象

y=logax(0<a<1)的图象

一般地,对数函数y=logax在a>1及0<a<1这两种情 况下的图象和性质如下表所示: a >1 0<a<1

图 象
当0<x<1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

当x=1时,y=0
当x>1时,y<0

当x>1时,y>0

性 ⑵值域:R ⑶过特殊点: 过点(1,0),即x=1时y=0 质 ⑷单调性 : ⑷单调性:在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数

⑴定义域: (0,+∞)

五、应用举例: 例1:求下列函数的定义域: ①y=logax2 ②y=loga(4-x) ③y=loga(9-x2) 分析:此题主要利用对数函数y=logax的定义域 为(0,+∞)求解。

解: ①因为x2 >0,即x≠0,
所以函数y=logax2 的定义域是{x│x≠0} ②因为4-x>0,即x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4} ③因为9-x2>0,即-3<x<3, 所以函数y=loga(9-x2)的定义域是{x│-3<x<3}

例1 比较下列各组数中两个值的大小: ⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 0 1 (4)log 3 0.3,log20.8 解:⑴考察对数函数 y = log 2x,因为 log 8.5 2 它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增 log23.4 0 函数,于是log 23.4<log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x, 因为它的底数为0.3,即0<0.3<1,所以 它在(0,+∞)上是减函数,于是 log 0.31.8>log 0.32.7
y 0 log0.31.8 log0.32.7

3.4 y

8.5

x

y=log2x
3.4 8.5 x

1.8 2.7 x

y=log0.3x

⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 对数函数的增减性决定于对数的底 数是大于1还是小于1. 而已知条件 中并未指出底数a与1哪个大,因此需 log 5.9 a loga5.1 要对底数a进行讨论: 0 当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 增函数,于是 log a5.1<log a5.9 当0<a<1时,函数y=log ax在 (0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1>log a5.9
0 loga5.1 loga5.9 y

y=logax (a>1)

5.1 5.9 y 5.1 5.9

x

x

y=logax (0<a<1)

注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行 讨论来比较两个对数的大小.

log1 0.3
3

log2 0.8
3

由对数函数的性质得 log10.3>0, log20.8<0

log 1 0.3 > log20.8
3

【评析】比较两个对数值的大小,常用方法:
(1)当底数相同,真数不同时,用函数的单调性来比 较;

(2)当底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也 可用换底公式转化为同底数的对数后比较;
(3)当底数与真数都不同时,需寻求中间值比较.

练习: 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 < log108 ⑵ log0.56 < log0.54 ⑶ log0.10.5 > log0.10.6
log108 log106 0 y 0 log0.54 log0.56

y

y=log10x

6 10

x

4 6x
y y=log0.5x

log0.10.5 log0.10.6 0 0.5 0.6 log1.51.6 log1.51.4 0 y

x
y=log0.1x y=log1.5x

⑷ log1.51.6 > log1.51.4

1.4 1.6 x

作业 ?p78习题4.5 ?1、(1)(3)

?2、


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