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三角函数


2013 年高考数学总复习 4-3 三角函数的图象与性质但因为测试 新人教 B 版
1.(2011·大纲全国卷理,5)设函数 f(x)=cosω x(ω >0),将 y=f(x)的图象向右平 π 移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( 3 A. 1 3 D.9 C B.3 )

C.6 [答案]

π 2π [解析] 由题意知, = ·k(k∈Z), 3 ω ∴ω =6k,令 k=1,∴ω =6. π 2.(文)(2011·海淀模拟)函数 f(x)=sin(2x+ )图象的对称轴方程可以为( 3 π A.x= 12 π C.x= 3 [答案] A 5π B.x= 12 π D.x= 6 )

π π kπ π [解析] 令 2x+ =kπ + 得 x= + ,k∈Z, 3 2 2 12 π 令 k=0 得 x= ,故选 A. 12 [点评]

f(x)=sin(2x+ )的图象的对称轴过最高点将选项代入检验, ∵2× +

π 3

π π 12 3

π = ,∴选 A. 2 π (理)(2011·衡水质检)函数 y=3cos(x+φ )+2 的图象关于直线 x= 对称, 则φ 的 4 可能取值是( A. 3π 4 ) 3π B.- 4

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C.

π 4

π D. 2 A

[答案]

π [解析] ∵y=cosx 的对称轴为 x=kπ (k∈Z),∴x+φ =kπ , 即 x=kπ -φ ,令 4 π 3π =kπ -φ 得 φ =kπ - (k∈Z),显然在四个选项中,只有 满足题意.故正确答案为 4 4 A. π 3.(文)(2011·唐山模拟)函数 y=sin(2x+ )的一个递减区间为( 6 π 2π A.( , ) 6 3 π π C.(- , ) 2 2 [答案] A π π B.(- , ) 3 6 π 3π D.( , ) 2 2 )

π π 3π [解析] 由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + 得, 2 6 2

kπ + ≤x≤kπ +

π 6

2π 3

(k∈Z),

π 2π 令 k=0 得, ≤x≤ ,故选 A. 6 3 π? ? (理)(2010·安徽巢湖质检)函数 f(x)=sin?ω x- ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则 3? ? 函数 f(x)的单调递增区间为( )

π 5π ? ? A.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? 5π 11π ? ? B.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? π 5π ? ? C.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 12 12 ? ? 5π 11π ? ? D.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 12 12 ? ? [答案] C

2π [解析] 由条件知,T= =π ,∴ω =2, ω

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π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z 得, 2 3 2

kπ - ≤x≤kπ +

π 12

5π ,k∈Z,故选 C. 12

π 4.(文)(2011·湖南张家界月考)若函数 f(x)=(1+ 3tanx) cosx,0≤x< ,则 f(x) 2 的最大值为( A.1 ) B.2 D. 3+2 B

C. 3+1 [答案] [解析]

f(x)=(1+ 3tanx)cosx

? π? =cosx+ 3sinx=2sin?x+ ?, 6? ?
π π π 2π ∵0≤x< ,∴ ≤x+ < , 2 6 6 3 1 ? π? ∴ ≤sin?x+ ?≤1,∴f(x)的最大值为 2. 6? 2 ? π π (理)(2011·大连模拟)已知函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在区间[- , ]上的最小值 3 4 是-2,则 ω 的最小值为( A. 2 3 3 B. 2 D.3 B )

C.2 [答案]

π π [解析] ∵f(x)=2sinω x(ω >0)在区间[- , ]上的最小值为-2 3 4

T π π π ∴ ≤ ,即 ≤ , 4 3 2ω 3
3 3 ∴ω ≥ ,即 ω 的最小值为 . 2 2 5.(文)(2011·吉林一中月考)函数 y=sin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0≤φ <2π )的部 分图象如图,则( )

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π π A.ω = ,φ = 2 4 π π B.ω = ,φ = 3 6 π π C.ω = ,φ = 4 4 π 5π D.ω = ,φ = 4 4 [答案] C

T 2π π [解析] ∵ =3-1=2,∴T=8,∴ω = = . 4 T 4
令 π π π ×1+φ = ,得 φ = ,∴选 C. 4 2 4
2

(理)(2011·北京海淀期中)如果存在正整数 ω 和实数 φ ,使得函数 f(x)=cos (ω x +φ )的图象如图所示(图象经过点(1,0)),那么 ω 的值为( )

A.1 [答案] B

B.2

C.3

D.4

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[解析] 3 <ω < π , 4

1 1 T 3 4 4 2π π f(x)= + cos(2ω x+2φ ),由图可知 <1< T,∴ <T<2, < <2, 2 2 2 4 3 3 2ω

2

又 ω ∈N*,∴ω =2.故选 B. π π 6. (文)(2011·课标全国文, 11)设函数 f(x)=sin(2x+ )+cos(2x+ ), 则( 4 4 π π A.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π B.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 2 π π C.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π D.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 2 [答案] [解析] D π? π? ? ? f(x)=sin?2x+ ?+cos?2x+ ? 4? 4? ? ? )

π? ? = 2sin?2x+ ?= 2cos2x. 2? ? π ? π? 则函数在?0, ?单调递减,其图象关于直线 x= 对称. 2 2 ? ? (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题: 2 π 3 ①函数 y=cos( x+ )是奇函数;②存在实数 α ,使得 sinα +cosα = ;③若 α 、 3 2 2 π 5π β 是第一象限角且 α <β ,则 tanα <tanβ ;④x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条对称 8 4 π π 轴方程;⑤函数 y=sin(2x+ )的图象关于点( ,0)成中心对称图形. 3 12 其中正确命题的序号为( A.①③ C.①④ [答案] C B.②④ D.④⑤ )

2 π 2 [解析] ①y=cos( x+ )? y=-sin x 是奇函数; 3 2 3

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π 3 ②由 sinα +cosα = 2sin(α + )的最大值为 2< ,所以不存在实数 α ,使得 4 2 3 sinα +cosα = ; 2 ③α ,β 是第一象限角且 α <β .例如:45°<30°+360°,但 tan45°>tan(30°+ 360°), 即 tanα <tanβ 不成立; π 5π 3π ④把 x= 代入 y=sin(2x+ )得 y=sin =-1, 8 4 2 π 5π 所以 x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条对称轴; 8 4 π π π ⑤把 x= 代入 y=sin(2x+ )得 y=sin =1, 12 3 2 π π 所以点( ,0)不是函数 y=sin(2x+ )的对称中心. 12 3 综上所述,只有①④正确. [点评] 作为选择题,判断①成立后排除 B、D,再判断③(或④)即可下结论. 1 7. (文)函数 y=cosx 的定义域为[a, b], 值域为[- , 1], 则 b-a 的最小值为________. 2 [答案] [解析] 2kπ ,k∈Z. 2π 由图象观察知,b-a 的最小值为 . 3 (理)(2011·江苏南通一模)函数 f(x)=sinω x+ 3cosω x(x∈R),又 f(α )=-2, 2π 3 1 2π 4π cosx=- 时,x=2kπ + 或 x=2kπ + ,k∈Z,cosx=1 时,x= 2 3 3

f(β )=0,且|α -β |的最小值等于 ,则正数 ω 的值为________.
[答案] [解析] 1

π 2

f(x)=sinω x+ 3cosω x=2sin(ω x+ ),

π 3

π T π 由 f(α )=-2,f(β )=0,且|α -β |的最小值等于 可知, = ,T=2π ,所以 2 4 2 ω =1.
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π? π ? 8.(2011·安徽百校论坛联考)已知 f(x)=2sin?2x- ?-m 在 x∈[0, ]上有两个 6? 2 ? 不同的零点,则 m 的取值范围是________. [答案] [解析] 实数解, π? π ? ∴y=2sin?2x- ?,x∈[0, ]与 y=m 有两个不同交点,∴1≤m<2. 6? 2 ? π 9. (文)(2011·福建质检)已知将函数 f(x)=2sin x 的图象向左平移 1 个单位长度, 3 然后向上平移 2 个单位长度后得到的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称,则 函数 g(x)=________. [答案] [解析] π 2sin x+2 3 π π 将 f(x)=2sin x 的图象向左平移 1 个单位长度后得到 y=2sin[ (x+1)] 3 3 [1,2)

f(x)在[0, ]上有两个不同零点,即方程 f(x)=0 在[0, ]上有两个不同

π 2

π 2

π 的图象,向上平移 2 个单位长度后得到 y=2sin[ (x+1)]+2 的图象,又因为其与函数 3

y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称, 所以 y=g(x)=2sin[ (2-x+1)]+2=2sin(π - x)+2=2sin x+2.
π 3

π 3

π 3

π (理)(2011·济南调研)设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称, 若 3

x0∈[- ,0],则 x0=________.
π [答案] - 6 π [解析] ∵函数 y=2sin(2x+ )的对称中心是函数图象与 x 轴的交点,∴2sin(2x0 3 π + )=0, 3 π π ∵x0∈[- ,0]∴x0=- . 2 6

π 2

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π 10.(文)(2011·北京文,15)已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1. 6 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4 [解析] π (1)因为 f(x)=4cosxsin(x+ )-1 6

=4cosx(

3 1 sinx+ cosx)-1 2 2

= 3sin2x+2cos2x-1= 3sin2x+cos2x π =2sin(2x+ ). 6 所以 f(x)的最小正周期为 π . π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 (理)(2011·天津南开中学月考)已知 a=(sinx,-cosx),b=(cosx, 3cosx),函 数 f(x)=a·b+ 3 . 2

(1)求 f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; π (2)当 0≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 2 [解析] (1)f(x)=sinxcosx- 3cos2x+ 3 2

1 3 3 = sin2x- (cos2x+1)+ 2 2 2 1 3 π = sin2x- cos2x=sin(2x- ), 2 2 3 所以 f(x)的最小正周期为 π . π π 令 sin(2x- )=0,得 2x- =kπ , 3 3
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∴x=


2



π ,k∈Z. 6

故所求对称中心的坐标为(


2



π ,0)(k∈Z). 6

π π π 2π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 ∴- 3 π 3 ≤sin(2x- )≤1,即 f(x)的值域为[- ,1]. 2 3 2

cosx 11.(文)(2011·苏州模拟)函数 y=sinx·| |(0<x<π )的图象大致是( sinx

)

:学#科#网]

[答案] [解析]

B

y=sinx·|

cosx | sinx

? ? π =?0,x= 2 π ? - cos x , <x<π ? 2
π 的部分图像如图,则 f( )=( 24

π cosx,0<x< 2

.

π (理)(2011·辽宁文,12)已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< ),y=f(x) 2 )

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A.2+ 3 C. 3 3

B. 3

D.2- 3 B

[答案]

3 π π [解析] 由图可知:T=2×( π - )= , 8 8 2 π ∴ω = =2

T

3 又∵图象过点( π ,0) 8 3 3 ∴A·tan(2× π +φ )=A·tan( π +φ )=0 8 4 π ∴φ = 4 π 又∵图象还过点(0,1),∴Atan(2×0+ )=A=1 4 π ∴f(x)=tan(2x+ ) 4 π π π ∴f( )=tan(2× + ) 24 24 4 π π π =tan( + )=tan = 3 12 4 3
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12. (文)为了使函数 y=sinω x(ω >0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值, 则ω 的 最小值是( A.98π C. 199 π 2 B ) 197 B. π 2 D.100π

[答案]

1 1 197 2π [解析] 由题意至少出现 50 次最大值即至少需用 49 个周期,∴49 ·T= · 4 4 4 ω 197 ≤1,∴ω ≥ π ,故选 B. 2

?π ? (理)有一种波,其波形为函数 y=sin? x?的图象,若在区间[0,t](t>0)上至少有 2 ?2 ?
个波峰(图象的最高点),则正整数 t 的最小值是( A.3 [答案] C B.4 C.5 D.6 )

?π ? ?π ? [解析] ∵y=sin? x?的图象在[0,t]上至少有 2 个波峰,函数 y=sin? x?的周期 ?2 ? ?2 ?
T=4,
5 ∴t≥ T=5,故选 C. 4 π π 13.(文)(2011·南昌调研)设函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ ∈(- , ))的最小 2 2 π 正周期为 π ,且其图象关于直线 x= 对称,则在下面四个结论中: 12 π ①图象关于点( ,0)对称; 4 π ②图象关于点( ,0)对称; 3 π ③在[0, ]上是增函数; 6 π ④在[- ,0]上是增函数中, 6 所有正确结论的编号为________. [答案] ②④
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2π π [解析] 由最小正周期为 π 得, =π ,∴ω =2;再由图象关于直线 x= 对称, ω 12 π π π ∴2× +φ = ,∴φ = , 12 2 3 π π π 1 π π ∴f(x)=sin(2x+ ),当 x= 时,f( )= ≠0,故①错;当 x= 时,f ( )=0, 3 4 4 2 3 3 π π π 故②正确;由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + 2 3 2 5π π (k∈Z)得,kπ - ≤x≤kπ + ,令 k 12 12

5π π =0 得,- ≤x≤ ,故③错,④正确,∴正确结论为②④. 12 12 (理)(2011·南京模拟)已知函数 f(x)=xsinx,现有下列命题: ①函数 f(x)是偶函数;②函数 f(x)的最小正周期是 2π ;③点(π ,0)是函数 f(x) π π 的图象的一个对称中心;④函数 f(x)在区间[0, ]上单调递增,在区间[- ,0]上单 2 2 调递减. 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). [答案] ①④ π π [解析] ∵y=x 与 y=sinx 均为奇函数,∴f(x)为偶函数,故①真;∵f( )= , 2 2

f( +2π )= +2π ≠ ,
π π 3π 3π π 3π π 3π ∴②假;∵f( )= ,f( )=- , + =2π , +(- )≠0,∴③假; 2 2 2 2 2 2 2 2 π f? 设 0≤x1<x2≤ ,则 2 f?

π 2

π 2

π 2

x1? x1 sinx1 π = · <1,∴f(x1)<f(x2)(f(x2)>0),∴f(x)在[0, ]上 x2? x2 sinx2 2

π 为增函数,又∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[- ,0]上为减函数,∴④真. 2 π 14.(文)(2011·长沙一中月考)已知 f(x)=sinx+sin( -x). 2 1 (1)若 α ∈[0,π ],且 sin2α = ,求 f(α )的值; 3 (2)若 x∈[0,π ],求 f(x)的单调递增区间. [解析] (1)由题设知 f(α )=sinα +cosα .

1 ∵sin2α = =2sinα ·cosα >0,α ∈[0,π ], 3

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π ∴α ∈(0, ),sinα +cosα >0. 2 4 由(sinα +cosα )2=1+2sinα ·cosα = , 3 2 2 得 sinα +cosα = 3,∴f(α )= 3. 3 3 (2)由(1)知 f(x)= 2sin(x+ π ),又 0≤x≤π , 4

π ∴f(x)的单调递增区间为[0, ]. 4 (理)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,向量 m=(b,2a-c),n= (cosB,cosC),且 m∥n. (1)求角 B 的大小; (2)设 f(x)=cos?ω x- ?+sinω x(ω >0),且 f(x)的最小正周期为 π ,求 f(x)在区 2? ? π 间[0, ]上的最大值和最小值. 2 [解析] (1)由 m∥n 得,bcosC=(2a-c)cosB,

?

B?

∴bcosC+ccosB=2acosB. 由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, 即 sin(B+C)=2sinAcosB. 又 B+C=π -A,∴sinA=2sinAcosB. 1 π 又 sinA≠0,∴cosB= .又 B∈(0,π ),∴B= . 2 3 (2)由题知 f(x)=cos(ω x- = π )+sinω x 6

3 3 π cosω x+ sinω x= 3sin(ω x+ ), 2 2 6

2π π 由已知得 =π ,∴ω =2,f(x)= 3sin(2x+ ), ω 6 π π π 7π 当 x∈[0, ]时,(2x+ )∈[ , ], 2 6 6 6 π 1 sin(2x+ )∈[- ,1]. 6 2

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π π π 因此,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 2 6 π 7π π 3 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值- . 6 6 2 2 15.(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数 f(x)=-1+2 3sinxcosx+2cos2x. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标; (3)若角 α ,β 的终边不共线,且 f(α )=f(β ),求 tan(α +β )的值. [解析]

f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ),

π 6

π π 3π (1)由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z) 2 6 2 π 2π 得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z), 6 3 π 2π ∴f(x)的单调减区间为[kπ + ,kπ + ](k∈Z), 6 3 π π (2)由 sin(2x+ )=0 得 2x+ =kπ (k∈Z), 6 6 即 x=


2



π (k∈Z), 12

π ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(- ,0). 12 (3)由 f(α )=f(β )得: π π 2sin(2α + )=2sin(2β + ), 6 6 又∵角 α 与 β 的终边不共线, π π ∴(2α + )+(2β + )=2kπ +π (k∈Z), 6 6 π 即 α +β =kπ + (k∈Z),∴tan(α +β )= 3. 3 π π (理)(2011·浙江文,18)已知函数 f(x)=Asin( x+φ ),x∈R,A>0,0<φ < .y= 3 2

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f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A).
(1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3 [解析] (1)由题意得,T= 2π =6 π 3

π 因为 P(1,A)在 y=Asin( x+φ )的图象上, 3 π 所以 sin( +φ )=1. 3 π π 又因为 0<φ < ,所以 φ = 2 6 (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A)

π π 3π 由题意可知 x0+ = ,得 x0=4 3 6 2 所以 Q(4,-A). 2 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= π ,由余弦定理得 3 cos∠PRQ=
2

RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-? 9+4A2? 1 = =- , 2 2RP·RQ 2 2A· 9+A

解得 A =3 又 A>0,所以 A= 3. π 1 3 16.函数 f(x)=2acos2x+bsinxcosx 满足:f(0)=2,f( )= + . 3 2 2 (1)求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)若 α 、β ∈(0,π ),f(α )=f(β ),且 α ≠β ,求 tan(α +β )的值.

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?f? 0? =2 ? [解析] (1)由? π 1 3 f? ? = + , ? 3 2 2 ? ?2a=2 ? 得?1 3 1 3 a+ b= + ? 2 4 2 2 ?

,解得 a=1,b=2,

π ∴f(x)=sin2x+cos2x+1= 2sin(2x+ )+1, 4 π ∵-1≤sin(2x+ )≤1, 4 ∴f(x)max= 2+1,f(x)min=1- 2. π π (2)由 f(α )=f(β )得,sin(2α + )=sin(2β + ). 4 4 π π π 9π ∵2α + 、2β + ∈( , ),且 α ≠β , 4 4 4 4 π π π π ∴2α + =π - (2β + )或 2α + =3π -(2β + ), 4 4 4 4 π 5π ∴α +β = 或 α +β = ,故 tan(α +β )=1. 4 4

1.(2011·济南模拟)函数 f(x)=2cos2x- 3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分 别为 ( ) B.2π ,1 D.π ,1 C

A.2π ,3 C.π ,3 [答案]

π [解析] 由题可知,f(x)=2cos2x- 3sin2x=cos2x- 3sin2x+1=2sin( -2x) 6 +1,所以函数 f(x)的最小正周期为 T=π ,最大值为 3,故选 C.

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3π π 2. (2011·江门模拟)设 f(x)是定义域为 R, 最小正周期为 的函数, 若在区间[- , 2 2 π ? ?cosx,- ≤x<0, 2 π ]上 f(x)=? ? ?sinx,0≤x≤π , A.1 B. 2 2 2 2 15π 则 f(- )等于( 4

)

C.0 [答案]

D.- B

3 [解析] ∵函数 f(x)的最小正周期为 π , 2 15 15π 3 ∴f(- π )=f(- +3× π ) 4 4 2 3 3 2 =f( π )=sin π = . 4 4 2 3.(2011·湖北文,6)已知函数 f(x)= 3sinx-cosx,x∈R.若 f(x)≥1,则 x 的取 值范围为( )

π A.{x|2kπ + ≤x≤2kπ +π ,k∈Z} 3 π B.{x|kπ + ≤x≤kπ +π ,k∈Z} 3 π 5π C.{x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z} 6 6 π 5π D.{x|kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z} 6 6 [答案] [解析] A

f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- )≥1,

π 6

π 1 π π 5π 即 sin(x- )≥ ,∴2kπ + ≤x- ≤2kπ + , 6 2 6 6 6 π 即 2kπ + ≤x≤2kπ +π . 3

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4. (2011·北京大兴区模拟)已知函数 f(x)= 3sin

πx

R

图象上相邻的一个最大值点与 )

一个最小值点恰好都在圆 x2+y2=R2 上,则 f(x)的最小正周期为( A.1 [答案] [解析] D B.2 C.3 D.4

f(x)的周期 T=

2π =2R,f(x)的最大值是 3,结合图形分析知 R> 3,则 π

R
2R>2 3>3,只有 2R=4 这一种可能,故选 D. 5.(2011·北京西城模拟)函数 y=sin(π x+φ )(φ >0)的部分图象如图所示,设 P 是 图象的最高点,A,B 是图象与 x 轴的交点,则 tan∠APB=( )

A.10 C. 8 7

B.8 4 D. 7 B

[答案]

[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解. [解析] 如图,过 P 作 PC⊥x 轴,垂足为 C,设∠APC=α ,∠BPC=β ,∴∠APB= 2π α +β ,y=sin(π x+φ ),T= =2,tanα = π

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1

3

2 2 AC 2 1 BC 2 3 tanα +tanβ = = ,tanβ = = = ,则 tan(α +β )= = =8,∴ PC 1 2 PC 1 2 1-tanα ·tanβ 1 3 1- × 2 2 选 B. 1+sinx1 1+sinx2 ? π? 6.(2010·合肥质检)对任意 x1,x2∈?0, ?,x2>x1,y1= ,y2= , 2 x1 x2 ? ? 则( ) A.y1=y2 B.y1>y2 C.y1<y2 D.y1,y2 的大小关系不能确定 [答案] B

1 3 +

1+sinx1 [解析] 取函数 y=1+sinx,则 的几何意义为过原点及点(x1,1+sinx1)的直

x1

1+sinx2 线斜率, 的几何意义为过原点及点(x2,1+sinx2)的直线斜率,由 x1<x2,观察函数

x2

y=1+sinx 的图象可得 y1>y2.选 B.
7.(2010·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数 y=Asin(ω x+φ )(其中

A>0,0<ω <2,- <φ < )的图象,列出的部分数据如下表: x
0 1 2 3 4

π 2

π 2

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y

1

0

1

-1

-2

经检查, 发现表格中恰有一组数据计算错误, 请你根据上述信息推断函数 y=Asin(ω x +φ )的解析式应是________. [答案] π? ?π y=2sin? x+ ? 6? ?3

[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线 x=1 对称, 故 x=1 与函数图象的交点应是最高点 或最低点,故数据(1,0)错误,从而由(4,-2)在图象上知 A=2,由过(0,1)点知 2sinφ π π π =1,∵- <φ < ,∴φ = , 2 2 6 π? ? ∴y=2sin?ω x+ ?,再将点(2,1)代入得, 6? ? π? ? 2sin?2ω + ?=1, 6? ? π π π 5π ∴2ω + = +2kπ 或 2ω + = +2kπ ,k∈Z, 6 6 6 6 π? π ?π ∵0<ω <2,∴ω = ,∴解析式为 y=2sin? x+ ?. 6? 3 ?3

?sinx,sinx≤cosx 8.(2011·菏泽模拟)对于函数 f(x)=? ?cosx,sinx>cosx
①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π +kπ (k∈Z)时,该函数取得最小值是-1; 5π ③该函数的图象关于直线 x= +2kπ (k∈Z)对称; 4 π 2 ④当且仅当 2kπ <x< +2kπ (k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 2

,给出下列四个命题:

其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④ [解析] 画出函数 f(x)的图象,易知③④正确. π π 9.已知函数 f(x)= 3sin(2x- )+2sin2(x- )(x∈R). 6 12 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.

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[解析] 2?

(1)f(x)= 3sin(2x-

π π )+1-cos2(x- )= 6 12

? 3 ? π? 1 ? π ?? sin?2x- ?- cos?2x- ??+1 6? 2 ? 6 ?? ? ?2
π =2sin(2x- )+1. 3 所以最小正周期为 T=π . π 5π (2)当 f(x)取最大值时,只要 sin(2x- )=1,得出 x=kπ + (k∈Z),∴x 值的 3 12

5π 集合为{x|x=kπ + ,k∈Z}. 12 [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法.诸如:化复杂为简单,异角化同角, 异名化同名,高次化低次,化为一个角的同名三角函数的形式等等.

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