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北京市海淀区2017年高三二模数学文科试题(word版含答案)


北京市海淀区高三二模练习

数学(文科)2017.5
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.若集合 A ? {?2,0,1} , B ? {x | x ? ?1 或 x ? 0} ,则 A ? B ? A. { ? 2 } B. { 1} C. { ? 2,1} D. { ? 2, 0,1}
开始

2. 在复平面内,复数 z ?

2i 对应的点的坐标为 1? i

输入a, d

A. (1, ?1) B. (1, 1) C. ( ?1,1) D. (?1, ?1) 3. 已知向量 a ? ( x,1), b ? (3, ?2) ,若 a // b ,则 x ?
3 2 A. ?3 B. ? C. 2 3 3 D. 2

S ?0

S ?S?a

a?a?d

4. 执行如图所示的程序框图,若输入 a ? ?7, d ? 3 ,则输出的 S 为 A. S ? ?12 B. S ? ?11 C. S ? ?10 D. S ? ?6 5.已知数列 {an } 是等比数列,则“ a2 ? a1 ”是“数列 {an } 为递增数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.北京市 2016 年 12 个月的 PM2.5 平均浓度 指数如右图所示 . 由图判断,四个季度中 PM2.5 的平均浓度指数方差最小的是 A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度
第一季度 第二季度

a?d ?0
是 输出 S



结束

第三季度

第四季度

7.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则 f ( x) 的解析式可以为 A. f ( x) ? C. f ( x) ?
1 ? x2 x 1 ? ex x

y

B. f ( x) ?

1 ? x3 x 1 ? ln x x
O x

D. f ( x) ?

8.一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确,第五次输入密码正确,手机解锁. 事后发现前四次输入的密码中,每次都有两个数字正确,但它们各自的位置均不正确.已知 前四次输入密码分别为 3406,1630,7364,6173,则正确的密码中一定含有数字 A. 4,6 B. 3,6 C. 3,7 D.1,7

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.双曲线 x2 ?

y2 ? 1 的实轴长为_____. 9

10. 在 log2 3, 2?3 , cos π 这三个数中最大的数是_____. 11.在 ?ABC 中, a ? 2,b ? 3, c ? 4 ,则其最大内角的余弦值为_____. 12. 设 D 为不等式 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 表示的平面区域,直线 x ? 3 y ? b ? 0 与区域 D 有公共点, 则 b 的取值范围是_____. 13. 已知 O 为原点,点 P 为直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上的任意一点. 非零向量 a = (m, n) .
??? ? m 若 OP ? a 恒为定值,则 ? _____. n

14. 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 P 是线段 BD1
D1
C1 B1

上的动点.当 ?PAC 在平面 DC1 , BC1 , AC 上的正投影都为三角形时, 将它们的面积分别记为 S1 , S2 , S3 .

A1

P

D
A B

3 (i) 当 BP ? 时, S1 ____ S2 (填“>”或“=”或“<” ) ; 3
(ii) S1 ? S2 ? S3 的最大值为____.

C

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分)
π π 已知函数 f ( x) ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin . 5 5

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和对称轴的方程;
π (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值. 2

16.(本小题满分 13 分)
已知 {an } 是各项为正数的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 4Sn ? (an ? 1)2 . (Ⅰ)求 a1 , a2 的值及 {an } 的通项公式;
7 (Ⅱ)求数列 {Sn ? an } 的最小值. 2

17.(本小题满分 13 分) 为了响应教育部颁布的 《关于推进中小学生研学旅行的意见》 ,某校计划开设八门研学旅 行课程,并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与, 每个学生必须从八门课程中 选出唯一一门课程).本次调查结果如下.
人数 400

300

200

100

0

课程A 课程B 课程C 课程D 课程E 课程F 课程G 课程H 课程

图中,课程 A, B, C , D, E 为人文类课程, 课程 F , G , H 为自然科学类课程.为进一步研究学 生选课意向,结合上面图表,采取分层抽样方法从全校抽取 1%的学生作为研究样本组(以下 简称“组 M”). (Ⅰ)在“组 M”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少? (Ⅱ)某地举办自然科学营活动,学校要求:参加活动的学生只能是“组 M”中选择 F 课程 或 G 课程的同学,并且这些同学以自愿 报名缴费的方式参加活动. 选择 F 课程的学生 .. 中有 x 人参加科学营活动,每人需缴纳 2000 元,选择 G 课程的学生中有 y 人参加该活 动,每人需缴纳 1000 元.记选择 F 课程和 G 课程的学生自愿报名人数的情况为 ( x, y ) , 参加活动的学生缴纳费用总和为 S 元. (ⅰ)当 S=4000 时,写出 ( x, y ) 的所有可能取值; (ⅱ)若选择 G 课程的同学都参加科学营活动,求 S ? 4500 元的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, PC ? 平面 ABCD ,点 E 在棱 PA 上. (Ⅰ)求证:直线 BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PC // 平面 BDE ,求证: AE ? EP ; (Ⅲ)是否存在点 E ,使得四面体 A ? BDE 的体积等于
1 PE 四面体 P ? BDC 的体积的 ?若存在,求出 的值;若 PA 3

P

D

E C

不存在,请说明理由.

A

B

19.(本小题满分 13 分)
1 1 已知函数 f ( x) ? x3 + x2 ? 2x ? 1 . 3 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 0 ? a ?
5 时, 求函数 f ( x) 在区间 [?a, a] 上的最大值. 2

20.(本小题满分 14 分) 已知 F1 (?1,0) , F2 (1,0) 分别是椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 A, B 分别在直线 x ? ?2 和 x ? 2 上,且 AF1 ? BF1 . (ⅰ) 当 ?ABF1 为等腰三角形时,求 ?ABF1 的面积; (ⅱ) 求点 F1 , F2 到直线 AB 距离之和的最小值.

x2 y 2 的左、右焦点. ? ? 1(a ? 0) a2 3

海淀区高三二模参考答案
数学(文科) 2017.5 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 2 13.2 10. log 2 3 11. ?

1 4

12. [ ?3,1] 或者 ?3 ? b ? 1

14..=,

3 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:
π π ? (Ⅰ) f ( x) ? sin 2x cos ? cos 2 x sin ? sin(2 x ? ) , 5 5 5

所以 f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ?π. 2

因为 y ? sin x 的对称轴方程为 x ? kπ ? 令 2x ?

π ,k ?Z , 2

π π ? ? kπ, k ? Z , 5 2 7π 1 得x? ? kπ, k ? Z 20 2 7π 1 f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? kπ, k ? Z . 20 2 π π π π 7π 3π 或者: 2 x ? ? ? 2kπ 和 2 x ? ? ? ? 2kπ, k ? Z },即 x ? ? kπ 和 x ? ? ? kπ, k ? Z 5 2 5 2 20 20
π (Ⅱ)因为 x ?[0, ] , 2

所以 2 x ? [0, π] ,
π π 4π 所以 2 x ? ?[? , ] , 5 5 5

所以,当 2 x ?

π π 7π 时, ? ,即 x ? 5 2 20

π f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 1 . 2 16.(本小题满分 13 分)

解:

(Ⅰ)因为 4Sn ? (an ? 1)2 , 所以,当 n ? 1 时, 4a1 ? (a1 ? 1)2 ,解得 a1 ? 1 , 所以,当 n ? 2 时, 4(1 ? a2 ) ? (a2 ? 1)2 ,解得 a2 ? ?1 或 a2 ? 3 , 因为 {an } 是各项为正数的等差数列,所以 a2 ? 3 , 所以 {an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 所以 {an } 的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . (Ⅱ)因为 4Sn ? (an ? 1)2 ,所以 Sn ?
7 7 所以 Sn ? an ? n2 ? (2n ? 1) 2 2 ? n 2 ? 7n ? 7 2

(2n ? 1 ? 1) 2 ? n2 , 4

7 35 ? (n ? ) 2 ? 2 4

17 7 所以,当 n ? 3 或 n ? 4 时, Sn ? an 取得最小值 ? . 2 2
17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300) ? 1%=12(人); 选择自然科学类课程的人数为(300+200+300) ? 1%=8(人). (Ⅱ) (ⅰ)当缴纳费用 S=4000 时, ( x, y) 只有两种取值情况: (2,0),(1, 2) ; (ⅱ)设事件 A : 若选择 G 课程的同学都参加科学营活动,缴纳费用总和 S 超过 4500 元. 在“组 M”中,选择 F 课程和 G 课程的人数分别为 3 人和 2 人. 由于选择 G 课程的两名同学都参加,下面考虑选择 F 课程的 3 位同学参加活动的 情况.设每名同学报名参加活动用 a 表示,不参加活动用 b 表示,则 3 名同学报名 参加活动的情况共有以下 8 种情况:aaa,aab,aba,baa,bba,bab,abb,bbb. 当缴纳费用总和 S 超过 4500 元时,选择 F 课程的同学至少要有 2 名同学参加,有 如下 4 种:aaa,aab,aba,baa. 所以, P( A) ?
4 1 ? . 8 2

P

18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 PC ? 平面 ABCD ,所以 PC ? BD , 因为底面 ABCD 是菱形,所以 BD ? AC , 因为 PC I AC ? C , 所以 BD ? 平面 PAC . (Ⅱ)设 AC 与 BD 交点为 O ,连接 OE ,

D

E C

A

B

因为平面 PAC I 平面 BDE ? OE , PC // 平面 BDE , 所以 PC // OE , 又由 ABCD 是菱形可知 O 为 AC 中点, 所以,在 ?PAC 中, 所以 AE ? EP . (Ⅲ)在 ?PAC 中过点 E 作 EF // PC ,交 AC 于点 F , 因为 PC ? 平面 ABCD , 所以 EF ? 平面 ABCD . 由 ABCD 是菱形可知 S?ABD ? S?BDC , 假设存在点 E 满足 VA? BDE ? VP?BDC ,即 VE ? BDA ? VP?BDC ,则

AE AO ? ? 1, EP OC

1 3

1 3

1 EF ? PC , 3
所以在 ?PAC 中, 所以

AE EF 1 ? ? , AP PC 3

PE 2 ? . PA 3

19.(本小题满分 13 分) 解:
1 3 1 2 (Ⅰ)由 f ( x) ? x + x ? 2x ? 1 得 f '( x) ? x2 +x ? 2 ? ( x ? 1)( x ? 2) , 3 2

令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 1 ,

f ( x), f '( x) 的情况如下表:

x
f '( x ) f ( x)

(??, ?2)
+

?2
0 极大

(?2,1)

1
0 极小

(1, ??)
+

?

Z

]

Z

所以函数 f ( x) 的单调区间为 (??, ?2),(1, ??) ,单调减区间为 (?2,1) .
1 3 1 2 13 (Ⅱ)由 f ( x) ? x + x ? 2x ? 1 可得 f (?2) ? . 3 2 3

当 ?a ? ?2 即 2 ? a ? 上单调递减,

5 时, 由 (Ⅰ) 可得 f ( x) 在 [?a, ?2) 和 (1, a] 上单调递增, 在 (?2,1) 2

所以,函数 f ( x) 在区间 [?a, a] 上的最大值为 max{ f (?2), f (a)} ,

13 , 3 13 所以 max{ f (?2), f (a)} ? f (?2) ? ; 3
又由(Ⅰ)可知 f (a) ? f ( ) ? 当 ? a ? ?2, a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,由(Ⅰ)可得 f ( x) 在 [?a, a] 上单调递减, f ( x) 在
3 2 [?a, a] 上的最大值为 f (? a ) ? ? a ? a ? 2a ? 1 . 3 2

5 2

当 ?2 ? ? a, a ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时,由(Ⅰ)可得 f ( x) 在 [?a,1) 上单调递减,在 (1, a] 上 单调递增, 所以,函数 f ( x) 在区间 [?a, a] 上的最大值为 max{ f (?a), f (a)} , 法 1:因为 f (?a) ? f (a) ?? ? a(a2 ? 6) ? 0 , 所以 max{ f (?a), f (a)} ? f ( ?a) ? ? 法 2:因为 ?2 ? ? a ? ?1 , 1 ? a ? 2 所以由(Ⅰ)可知 f (?a) ? f (?1) ? 所以 f (?a) ? f (a) , 所以 max{ f (?a), f (a)} ? f ( ?a) ? ?

2 3

a3 a 2 ? ? 2a ? 1 . 3 2

19 10 , f (a) ? f (2) ? , 6 6
a3 a 2 ? ? 2a ? 1 . 3 2

法 3:设 g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? ? x3 ? 4 x ,则 g '( x) ? ?2x2 ? 4 ,

2 3

g ( x), g '( x) 的在 [1, 2] 上的情况如下表:

x
f '( x ) f ( x)

1

(1, 2)
+

2

( 2,2)
?

2

0 极大

10 3

Z

]

8 3

所以,当 0 ? x ? 2 时, g ( x) ? g (0) ? 0 , 所以 g (a) ? f (?a) ? f (a) ? 0 ,即 f (?a) ? f (a)

a3 a 2 所以 max{ f (?a), f (a)} ? f (?a) ? ? ? ? 2a ? 1 . 3 2 综上讨论,可知:

5 13 时,函数 f ( x) 在区间 [?a, a] 上的最大值为 ; 2 3 f ( x ) [ ? a a , ] 当 0?a?2 时 , 函 数 在 区 间 上 的 最 大 值 为 3 2 a a f (?a) ? ? ? ? 2a ? 1 . 3 2
当2?a?

20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意可得 a 2 ? 3 ? 1 , 所以 a 2 ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)由题意可设 A(?2, m), B(2, n) , 因为 AF1 ? BF1 , 所以 AF1 ? BF1 ? 0 ,即 mn ? 3 ① (ⅰ)因为 AF1 ? BF1 , 所以当 ?ABF1 为等腰三角形时,只能是 | AF1 |?| BF1 | ,即 m2 ? 1 ? 9 ? n2 , 化简得 m2 ? n 2 ? 8 ②
???? ????

? m ? 3, ?m ? ?3, 由①②可得 ? 或? ? n ? 1, ? n ? ?1,
所以 S?ABF1 ?
2 1 1 | AF1 || BF1 |? 10 ? 5 . 2 2

(ⅱ)直线 AB : y ?

n?m ( x ? 2) ? m , 4

化简得 (n ? m) x ? 4 y ? 2(m ? n) ? 0 , 由点到直线的距离公式可得点 F1 , F2 到直线 AB 距离之和为

d1 ? d2 ?

| 2(m ? n) ? (n ? m) | | 2(m ? n) ? (n ? m) | ? (n ? m)2 ? 16 (n ? m)2 ? 16

因为点 F1 , F2 在直线 AB 的同一侧, 所以 d1 ? d 2 ? 因为 mn ? 3 , 所以 m2 ? n2 ? 2mn ? 6 ,

4|m? n| (n ? m) 2 ? 16

?4

m 2 ? n 2 ? 2mn m 2 ? n 2 ? 2mn ? 16

d1 ? d2 ? 4

m2 ? n 2 ? 6 4 ? 4 1? 2 2 2 m ? n ? 10 m ? n2 ? 10
4 ?2 3 m ? n2 ? 10
2

所以 d1 ? d 2 ? 4 1 ?

当 m ? n ? 3 或 m ? n ? ? 3 时,点 F1 , F2 到直线 AB 距离之和取得最小值 2 3 .


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