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安徽省合肥市肥东县锦弘中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷(普通班)


2014-2015 学年安徽省合肥市肥东县锦弘中学高三(上)第一次 月考数学试卷(理科) (普通班)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的.把答案直接填涂到答题卡上. 1.已知全集 U=R,A={x|﹣2≤x<0}, ,则? R(A∩B)=( )

A. (﹣∞,﹣2)∪

[﹣1,+∞) B. (﹣∞,﹣2]∪(﹣1,+∞) C. (﹣∞,+∞) D. (﹣2,+∞) 2. “2 >2 ”是“log2a>log2b”的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
a b

3.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数

的定义域是(



A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1) 4.已知函数 A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 ,则 f(3)=( )

5.方程

的实数根的个数为(



A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 6.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=x ,则 f (7)的值为( ) A. ﹣1 B. 4 C. 1 D. 0 7.已知偶函数 f(x)和奇函数 g(x)的定义域都是(﹣4,4) ,它们在(﹣4,0]上的图象 分别是图①和图②,则关于 x 的不等式 f(x) ? g(x)<0 的解集是( )
2

A. (﹣2,0)∪(2,4) B. [0,4] C. (2,4) D. (﹣2,0]

8.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 取值范 围是( )

A. ( , ) B. [ , ) C. ( , ) D. [ , )

9. f (x) 满足 f (x) =f (4﹣x) , 且当 x>2 时 f (x) 是增函数, 则 a=f (1.1 ) , b=f (0.9 ) , 的大小关系是( ) A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>b>a

0.9

1.1

10.已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=αsin(

)﹣2α+2(α

>0) ,若存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数α的取值范围是( A. [ ] B. (0, ] C. [ ] D. [ ,1]



二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)

11.已知 f(x)=

是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数 a 的

取值范围是


2

12.设 f(x)=min{﹣x+6,﹣2x +4x+6}(min{a,b}表示取 a,b 中较小值) ,则 f(x)的 最大值为 . 13.函数 y=f(x)的图象在点 P(5,f(5) )处的切线方程是 y=﹣x+8,则 f(5)+f′(5) = . 14.函数 f(x) ,g(x) (g(x)≠0)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′ (x)g(x)<f(x)g′(x) ,f(﹣3)=0,则不等式 <0 的解集为 .

15.若函数 f(x)满足: “对于区间(1,2)上的任意实数 x1,x2(x1≠x2) ,|f(x2)﹣f (x1)|<|x2﹣x1|恒成立” ,则称 f(x)为完美函数.给出以下四个函数 ①f(x)= ②f(x)=|x| ③f(x)=

④f(x)=x 其中是完美函数的序号是

2



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 16.设条件 p:2x ﹣3x+1≤0,条件 q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必要 不充分条件,求实数 a 的取值范围. 17.已知函数 域为集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(? RB) ; (2)若 A∩B={x|﹣1<x<4},求实数 m 的值. 18.已知函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,在[0,1]上,f(x)=2 +ln(x+1)﹣1 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;并判断 f(x)在[﹣1,1]上的单调性(不要求证明) (Ⅱ)解不等式 f(2x+1)+f(1﹣x )≥0. 19.已知函数 f(x)=a(x﹣ )﹣2lnx(a∈R) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设函数 g(x)=﹣ ,若至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)>g(x0)成立,求实 数 a 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=alnx+bx 图象上点 p(1,f(1) )处的切线方程为 2x﹣y﹣3=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式及单调区间; (2)若函数 g(x)=f(x)+m﹣1n4 在 上恰有两个零点,求实数 m 的取值范围.
2 2 x 2 2

的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(﹣x +2x+m)的定义

2

21.已知函数 f(x)=ax +x﹣xlnx(a>0) 2 (1)若函数满足 f(1)=2,且在定义域内 f(x)≥bx +2x 恒成立,求实数 b 的取值范围; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 <x<y<1 时,试比较 与 的大小.

2

2014-2015 学年安徽省合肥市肥东县锦弘中学高三(上) 第一次月考数学试卷(理科) (普通班)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的.把答案直接填涂到答题卡上. 1.已知全集 U=R,A={x|﹣2≤x<0}, ,则? R(A∩B)=( )

A. (﹣∞,﹣2)∪[﹣1,+∞) B. (﹣∞,﹣2]∪(﹣1,+∞) C. (﹣∞,+ ∞) D. (﹣2,+∞) 考点: 补集及其运算;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先化简集合 B 到最简形式,求出 A∩B,再利用补集的定义结合数轴求出 CR(A∩B) . 解答: 解:∵A={x|﹣2≤x<0}, ={x|2
x﹣1 ﹣2

<2 }={x|x<﹣1 },

∴A∩B={x|﹣2≤x<﹣1},∴CR(A∩B)={ x|x<﹣2,或 x≥﹣1 }, 故选 A. 点评: 本题考查指数不等式的解法,求两个集合的交集、补集的方法. 2. “2 >2 ”是“log2a>log2b”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;综合题. 分析: 分别解出 2 >2 ,log2a>log2b 中 a,b 的关系,然后根据 a,b 的范围,确定充分 条件,还是必要条件. 解答: 解:2 >2 ? a>b, 当 a<0 或 b<0 时,不能得到 log2a>log2b, a b 反之由 log2a>log2b 即:a>b>0 可得 2 >2 成立. 故选 B. 点评: 本题考查对数函数的单调性与特殊点,必要条件、充分条件与充要条件的判断,是 基础题.
a b a b a b

3.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数

的定义域是(



A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1) 考点: 函数的定义域及其求法.

分析: 根据 f(2x)中的 2x 和 f(x)中的 x 的取值范围一样得到:0≤2x≤2,又分式中分 母不能是 0,即:x﹣1≠0,解出 x 的取值范围,得到答案. 解答: 解:因为 f(x)的定义域为[0,2],所以对 g(x) ,0≤2x≤2 且 x≠1,故 x∈[0, 1) , 故选 B. 点评: 本题考查求复合函数的定义域问题. 4.已知函数 A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 变形函数 解答: 解:∵函数 = = 即可得出. ,∴f(3)=3 +2=11.
2

,则 f(3)=(



故选 C. 点评: 本题考查了乘法公式的灵活应用、配方法、函数的求值等基础知识与基本技能方法, 属于基础题.

5.方程

的实数根的个数为(



A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 将方程 的实数根的个数转化成 y= 与 y=2 ﹣1 的图象的交点的
x

个数,在同一坐标系下画出它们的图象,观察图象即可得到结论. 解答: 解:方程
x

的实数根的个数可看成

y=

与 y=2 ﹣1 的图象的交点的个数

在同一坐标系下画出它们的图象 显然一个交点, 故方程 的实数根的个数为 1

故选 B.

点评: 本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及指数函数与对数函数的图象,属于基 础题. 6.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=x ,则 f (7)的值为( ) A. ﹣1 B. 4 C. 1 D. 0 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于 f(x+4)=f(x) ,可得 f(7)=f(﹣1) .由于 f(x)是 R 上的奇函数,可得 f (﹣1)=﹣f(1) .利用当 x∈(0,2)时,f(x)=x ,可得 f(1)=1.即可得出. 解答: 解:∵f(x+4)=f(x) , ∴f(7)=f(﹣1) . ∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) . ∵当 x∈(0,2)时,f(x)=x , ∴f(1)=1. ∴f(7)=﹣f(1)=﹣1. 故选:A. 点评: 本题考查了函数的奇偶性、周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.已知偶函数 f(x)和奇函数 g(x)的定义域都是(﹣4,4) ,它们在(﹣4,0]上的图象 分别是图①和图②,则关于 x 的不等式 f(x) ? g(x)<0 的解集是( )
2 2 2

A. (﹣2,0)∪(2,4) B. [0,4] C. (2,4) D. (﹣2,0] 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 观察图象选择函数值同号的部分,再由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得到 f (x) ? g(x)是奇函数,从而求得对称区间上的部分,最后两部分取并集. 解答: 解:如图所示:当 x<0 时 其解集为: (﹣2,0) ∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数 ∴f(x)g(x)是奇函数 ∴当 x>0 时,f(x)g(x)<0 ∴其解集为: (2,4) 综上:不等式 f(x) ? g(x)>0 的解集是 (﹣2,0)∪(2,4) 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性在解不等式中的应用,还考查了数形结合,转化,分类 讨论等思想方法.

8.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 取值范 围是( )

A. ( , ) B. [ , ) C. ( , ) D. [ , )

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 压轴题. 分析: 由题设条件偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加可得出此函数先减后增,以 y 轴为对称轴,由此位置关系转化不等式求解即可 解答: 解析:∵f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴f(2x﹣1)=f(|2x﹣1|) ,即 f(|2x﹣1|)<f(| |) 又∵f(x)在区间[0,+∞)单调增加 得|2x﹣1|< ,解得 <x< . 故选 A. 点评: 本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式,在这里要注意本题与下面这道题 的区别:已知函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x﹣1)< 值范围是( )
0.9 1.1

的x取

9. f (x) 满足 f (x) =f (4﹣x) , 且当 x>2 时 f (x) 是增函数, 则 a=f (1.1 ) , b=f (0.9 ) , 的大小关系是( ) A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>b>a 考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数单调性的性质;函数的图象. 专题: 计算题.

分析: 函数 f(x)满足 f(x)=f(4﹣x) ,当 x>2 时,f(x)为增函数,可以得到函数图 象关于 x=2 对称,且函数(﹣∞,2)h 上减,在(0,+∞)上增,故比较 a,b,c 的大小, 只需要比较 1.1 ,0.9 ,
0.9 1.1

的大小即可.

解答: 解:由题意函数 f(x)满足 f(x)=f(4﹣x) ,当 x>2 时,f(x)为增函数 ∴函数图象关于 x=2 对称,且函数(﹣∞,2)上单调减,在(2,+∞)上单调增, ∵ ∴ <0<0.9 <1<1.1 <2, >f(0.9 )>f(1.1 ) ,
1.1 0.9 1.1 0.9

∴c>b>a 故选 D. 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、指数函数的定义、解析式、定义域和值域、不 等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.

10.已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=αsin(

)﹣2α+2(α

>0) ,若存在 x1,x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数α的取值范围是( A. [ ] B. (0, ] C. [ ] D. [ ,1]



考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据 x 的范围确定函数 f(x)的值域和 g(x)的值域,进而根据 f(x1)=g(x2) 成立,推断出 ,先看当二者的交集为空集时刻求得 a 的

范围,进而可求得当集合的交集非空时 a 的范围.

解答: 解:当 x∈[0,1]时,f(x)=

,值域是[0,1],

值域是 ∵存在 x1、x2∈[0,1]使得 f(x1)=g(x2)成立, ∴ 若 ∴a 的取值范围是 故选 A . , ,则 2﹣2a>1 或 2﹣ <0,即





点评: 本题主要考查了三角函数的最值,函数的值域问题,不等式的应用,解题的关键是 通过看两函数值域之间的关系来确定 a 的范围. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)

11.已知 f(x)=

是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数 a 的

取值范围是 [2,3) . 考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由条件可得,a>1①,3﹣a>0②,由单调递增的定义可知,loga1≥3﹣a﹣ a③, 由①②③求得交集即可.

解答: 解:∵f(x)=

是 R 上的单调递增函数,

∴x≥1 时为增,即 a>1① x<1 时也为增,即有 3﹣a>0② 又由单调递增的定义可知,loga1≥3﹣a﹣ a③ 由②得,a<3, 由③得,a≥2, ∴实数 a 的取值范围是:2≤a<3. 故答案为:[2,3) . 点评: 本题考查分段函数及应用,考查函数的单调性及运用,注意分段函数的分界点的情 况,是一道中档题,也是易错题. 12.设 f(x)=min{﹣x+6,﹣2x +4x+6}(min{a,b}表示取 a,b 中较小值) ,则 f(x)的 最大值为 6 . 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 在一个坐标系中做出函数 y=﹣x+6 与 y=﹣2x +4x+6 图象,通过比较得到 f(x)的图 象,则其最大值可求. 解答: 解:由由已知得 f(x)= 即 f(x)
2 2

=



做出函数 f(x)=min{﹣x+6,﹣2x +4x+6}图象如图:蓝色部分图象即为 f(x)的图象,显 然在左边的交点处取得最大值, 此时 x=0,所以 f(0)=6 即为所求.

2

故答案为:6 点评: 此题首先要理解函数 f(x)的意义,实际上是两个函数当自变量取值相同时,取函 数值小者,由此得到函数 f(x) ,然后利用数形结合容易解决问题. 13.函数 y=f(x)的图象在点 P(5,f(5) )处的切线方程是 y=﹣x+8,则 f(5)+f′(5) = 2 . 考点: 导数的几何意义. 分析: 本题已知在该点的切线方程,可求得该点的函数值及其导数. 解答: 解:∵y=﹣x+8, ∴y =﹣1,即 f (5)=﹣1, 又∵f(5)=﹣5+8=3, ∴f(5)+f (5)=3﹣1=2, 故答案为 2. 点评: 本题较为简单,只需掌握切线方程与导数的关系即可. 14.函数 f(x) ,g(x) (g(x)≠0)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′ (x)g(x)<f(x)g′(x) ,f(﹣3)=0,则不等式 ∪(3,+∞) . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. <0 的解集为 (﹣3,0)
′ ′ ′

分析: 令 F(x)=

.根据当 x<0 时,f′(x)g(x)<f(x)g′(x) ,可得 F′

(x)<0,因此函数 F(x)在 x<0 时单调递减,由于 f(﹣3)=0,可得 F(﹣3)=0.即 可得出 x<0 不等式 解答: 解:①令 F(x)= <0 的解集.再判定 F(x)的奇偶性即可得出. .

∵当 x<0 时,f′(x)g(x)<f(x)g′(x) , ∴ <0,

∴函数 F(x)在 x<0 时单调递减; ∵f(﹣3)=0,∴F(﹣3)=0. ∴F(x)<0 的解集为(﹣3,0) . ②∵f(x) ,g(x) (g(x)≠0)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, ∴F(﹣x)= =﹣ =﹣F(x) ,

∴F(x)是 R 上的奇函数, ∴当 x>0 时,F(x)<0 的解集为(3,+∞) . 综上可得:不等式 <0 的解集为(﹣3,0)∪(3,+∞) .

故答案为: (﹣3,0)∪(3,+∞) . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了函数的奇偶性、不等式的解法,考 查了推理能力与计算能力,属于难题. 15.若函数 f(x)满足: “对于区间(1,2)上的任意实数 x1,x2(x1≠x2) ,|f(x2)﹣f (x1)|<|x2﹣x1|恒成立” ,则称 f(x)为完美函数.给出以下四个函数 ①f(x)= ②f(x)=|x| ③f(x)= ④f(x)=x 其中是完美函数的序号是 ① . 考点: 导数的几何意义;函数单调性的性质. 专题: 计算题;新定义. 分析: 首先分析题目要求选择满足: “对于区间(1,2)上的任意实数 x1,x2(x1≠x2) ,|f (x2)﹣f(x1)|<|x2﹣x1|恒成立”的函数.故可以把 4 个选项中的函数分别代入不等式 |f(x2)﹣f(x1)|<|x2﹣x1|分别验证是否成立即可得到答案. 解答: 解:在区间(1,2)上的任意实数 x1,x2(x1≠x2) ,分别验证下列 4 个函数.
2

对于①:f(x)= ,|f(x2)﹣f(x1)|=|



|=|

|<|x2﹣x1|(因为 x1,x2

在区间(1,2)上,故 x1x2 大于 1)故成立. 对于②:f(x)=|x|,|f(x2)﹣f(x1)|=||x2|﹣|x1||=|x2﹣x1|(因为故 x1 和 x2 大于 0) 故对于等于号不满足,故不成立. 对于③:f(x)=( ) ,|f(x2)﹣f(x1)|=|( ) ﹣( ) |<|x2﹣x1|,故不成立.对 于④:f(x)=x ,|f(x2)﹣f(x1)|=|x2 ﹣x1 |=(x2+x1)|x2﹣x1|>|x2﹣x1|,故不成立. 故答案为:①. 点评: 此题主要考查绝对值不等式的应用问题.对于此类型的题目需要对题目选项一个一 个做分析,然后用排除法作答即可.属于中档题目. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 16.设条件 p:2x ﹣3x+1≤0,条件 q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必要 不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 利用不等式的解法求解出命题 p,q 中的不等式范围问题,结合二者的关系得出关于 字母 a 的不等式,从而求解出 a 的取值范围. 解答: 解:由题意得,命题 ∵? p 是? q 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的充分不必要条件, 即 A? B, ∴ ∴ . , ,命题 q:B={x|a≤x≤a+1},
2 2 2 2 2 x x2 x1

故实数 a 的取值范围为[0, ]. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,考查二次不等式与二次函数的关系,注意等价转 化思想的运用. 17.已知函数 域为集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(? RB) ; (2)若 A∩B={x|﹣1<x<4},求实数 m 的值. 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(﹣x +2x+m)的定义
2

分析: (1)先分别求出函数 f(x)和 g(x)的定义域,再求出集合 B 的补集,再根据交 集的定义求出所求; (2)先求出集合 A,再根据 A∩B 的范围以及结合函数 g(x)的特点确定出集合 B,然后利 用根与系数的关系求出 m 的值. 解答: 解:函数
2

的定义域为集合 A={x|﹣1<x≤5}

(1)函数 g(x)=lg(﹣x +2x+3)的定义域为集合 B={x|﹣1<x<3} CRB={x|x≤﹣1 或 x≥3} ∴A∩(? RB)=[3,5] 2 (2)∵A∩B={x|﹣1<x<4},A={x|﹣1<x≤5}而﹣x +2x+m=0 的两根之和为 2 ∴B={x|﹣2<x<4} ∴m=8 答:实数 m 的值为 8 点评: 本题主要考查了对数函数、根式函数的定义域的求解,已经交、并、补集的混合运 算等知识,属于基础题. 18.已知函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,在[0,1]上,f(x)=2 +ln(x+1)﹣1 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;并判断 f(x)在[﹣1,1]上的单调性(不要求证明) (Ⅱ)解不等式 f(2x+1)+f(1﹣x )≥0. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)利用函数的奇偶性,将 x∈[﹣1,0],转化为﹣x∈[0,1]上即可求函数 f(x) 的解析式;并根据函数奇偶性和单调性的关系判断 f(x)在[﹣1,1]上的单调性. (Ⅱ)利用函数的奇偶性和单调性将不等式 f(2x+1)+f(1﹣x )≥0 转化为 f(2x+1)≥ 2 2 ﹣f(1﹣x )=f(x ﹣1) ,解不等式即可. 解答: 解: (Ⅰ)设 x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1], ∵在[0,1]上 f(x)=2 +ln(x+1)﹣1, ﹣x ∴f(﹣x)=2 +ln(﹣x+1)﹣1, ∵f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(﹣x)=2 +ln(﹣x+1)﹣1=﹣f(x) , ﹣x ∴f(x)=﹣2 ﹣ln(﹣x+1)+1,x∈[﹣1,0], ∴ ∵y=2 ,y=ln(x+1) ,在定义域上为增函数, ∴f(x)在[﹣1,1]上的单调递增. (Ⅱ)由 f(2x+1)+f(1﹣x )≥0,得 f(2x+1)≥﹣f(1﹣x )=f(x ﹣1) . ∵f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数, ∴﹣f(1﹣x )=f(x ﹣1) . 2 即不等式等价为 f(2x+1)≥f(x ﹣1) . ∵f(x)在[﹣1,1]上的单调递增.
2 2 2 2 2 x ﹣x x 2 2 x



,即





,解得﹣1≤x≤0.

故不等式的解集为[﹣1,0]. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及利用函数的单调性解不等式,考查函数性质 的综合应用.

19.已知函数 f(x)=a(x﹣ )﹣2lnx(a∈R) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设函数 g(x)=﹣ ,若至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)>g(x0)成立,求实 数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数的导数,通过讨论①当 a≤0 时②当 0<a<1 时③当 a≥1 时,从而 得出函数的单调区间; (2)将问题至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)>g(x0)成立,转化为否定是? x∈[1, e],有 f(x)≤g(x)成立,从而求出 a 的范围. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=a(x﹣ )﹣2lnx,其定义域为 x>0

∴f′(x)=a(1+
2 2

)﹣ =



令 a(1+x )﹣2x=ax ﹣2x+a=0, 2 ∴△=4﹣4a ≥0,解得:﹣1≤a≤1 ∵x>0,∴0<a≤1 时 f′(x)=0 有解, ①当 a≤0 时,f′(x)<0,∴函数 f(x)在定义域内单调递减; ②当 0<a<1 时,令 a(1+x )﹣2x=0,解得:x=
2



x∈(0,

)时,f′(x)>0,x∈(

,+∞)时,f′(x)<0,

③当 a≥1 时,f′(x)≥0,函数 f(x)在定义域内单调增, 综上:当 a≤0 时,f′(x)<0,函数 f(x)在定义域内单调递减,

当 0<a<1 时,x∈(0,

)时,函数 f(x)单调递增; ,x∈(

,+

∞)时,函数 f(x)单调递减; 当 a≥1 时,函数 f(x)在定义域内单调增. (2)至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)>g(x0)成立, 否定是? x∈[1,e],有 f(x)≤g(x)成立, ∵f(x)﹣g(x)=ax﹣2lnx,令 ax﹣lnx≤0,解得:a≤ 令 h(x)= (x∈[1,e]) , ,

∴h′(x)=

>0,

∴h(x)在[1,e]递增,∴h(x)min=h(1)=0, ∴a≤0, 故若至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)>g(x0)成立,则只需 a>0 即可. 点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,分类讨论思想,是 一道综合题. 20.已知函数 f(x)=alnx+bx 图象上点 p(1,f(1) )处的切线方程为 2x﹣y﹣3=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式及单调区间; (2)若函数 g(x)=f(x)+m﹣1n4 在 上恰有两个零点,求实数 m 的取值范围.
2

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的运算法则可得 f′(x) ,由题意可得 ,解

出即可得到函数 y=f(x)的解析式;分别解出 f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出其单 调区间; (2) 利用导数的运算法则可得 g′ (x) , 列出表格, 要满足条件, 则g (x) max>0, g(2)≤0 即可. 解答: 解: (1)∵f(x)=alnx+bx , (x>0) ,∴f′(x)= +2bx, ∵函数 f(x)=alnx+bx 图象上点 P(1,f(1) )处的切线方程为 2x﹣y﹣3=0, ∴ ∴a=4,b=﹣1, ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=4lnx﹣x
2 2 2



,即



则有 f′(x)= ﹣2x, 令 f′(x)>0,即 ﹣2x>0,解得: 令 f′(x)<0,即 ﹣2x<0,解得: ∴函数 f(x)的单调增区间是(0, ) ;单调减区间是( ,+∞) . 2 (2)由(1)可知:g(x)=f(x)+m﹣ln4=4lnx﹣x +m﹣ln4(x>4) , ∴ =﹣ (舍) . ,

令 g′(x)=0,解得 x= 或﹣ ∴当 x 变化时,如下表:

可得函数的大致图象:

由图象可知:要使方程 g(x)=0 在

上恰有两解,则





,解得 2<m≤4﹣2ln2,

∴实数 m 的取值范围是(2,4﹣2ln2].

点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义等是解题的关 键. 21.已知函数 f(x)=ax +x﹣xlnx(a>0) 2 (1)若函数满足 f(1)=2,且在定义域内 f(x)≥bx +2x 恒成立,求实数 b 的取值范围;
2

(2)若函数 f(x)在定义域上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 <x<y<1 时,试比较 与 的大小.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)x +x﹣xlnx)≥bx +2x 恒成立等价于 b≤1﹣ ﹣ ﹣
2 2

,构造函数 g(x)=1﹣

,利用导数可求得 g(x)min,从而可求得实数 b 的取值范围;

(Ⅱ)求导数 f′(x)=2ax﹣lnx, (x>0) ,令 f′(x)≥0 可求得 a 的范围; (Ⅲ)由(Ⅰ)知 g(x)在(0,1]上递减,从而可得 <x<y<1 时,g(x)>g(y) ,化 简可得结论. 解答: 解: (Ⅰ) 由 f(1)=2,得 a=1, ∵x>0,∴x +x﹣xlnx)≥bx +2x 恒成立等价于 b≤1﹣ ﹣ 令 g(x)=1﹣ ﹣ ,可得 g′(x)=
2 2



∴x∈(0,1]时,g′(x)≤0

∴g(x)在(0,1]上递减, 在[1,+∞)上递增,所以 g(x)min=g(1)=0, 即 b≤0; (Ⅱ)f′(x)=2ax﹣lnx, (x>0) , 令 f′(x)≥0 得:2a≥ ,

设 h(x)=

(x>0) ,则 h′(x)=



令 h′(x)>0,则 0<x<e,令 h(x)<0,解得:x>e, ∴当 x=e 时,h(x)max= , ∴当 a≥ 时,函数 f(x)在(0,+∞)单调递增;

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 g(x)在(0,1]上递减, ∴ <x<y<1 时,g(x)>g(y)即 而 <x<y<1 时,﹣1<lnx<0, ∴1+lnx>0, ∴ < . > ,

点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查函数的单调性与导数的关系,考查 分类讨论思想在分析解决问题中的应用,属于中档题.


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