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浙江省诸暨市牌头中学高中数学竞赛训练题


数学竞赛训练题 20150422 1、已知 f ?x ? ? 3x 2 ? 7 , g ? x ? ? x ? 1 ? 2 16 ,则函数 g ? f ?x ?? 的最小值为_______。 x ?1 2 2、设[x]表示不超过实数 x 的最大整数,若 ? x ? ? ? ? x ? ? 为素数,则实数 x 的取值范围 2 2 ? ? 1? ? ? ? 1? ? 是_

______。 3、若 x、y 为两个不同的实数,且 ? 2 ? ?x ? 2x ? 1 ,则 x6 ? y6 ? _______。 2 ? ?y ? 2y ?1 4、已知 F1、F2 为椭圆 C: 则 ?F1PF2 ? _______。 x2 y 2 ? ? 1 的 左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,若 S?F1 PF2 ? 3 , 19 3 [来源:Z&xx&k.Com] 4*、设 P、Q 分别是两个同心圆(半径分别为 6、4)上的动点,则线段 PQ 的中点 M 所形 成的区域面积为______ _。 5、已知半径为 3 的球面上有四点 A、B、C、D,若 AB=3,CD=4,则四面体 ABCD 的体积 的最大值为_______。 5*、在三棱锥 O-ABC 中,OA =OB=OC= 3 ,AC= 2 2 ,AB=2,且 OB⊥AC,以 O 为球 心,1 为半径作一个球,则三棱锥 O-ABC 不在球内部部分的体积为_______。 6 、 已 知 a1, a2 ,?, a10 与 b1 , b2 ,?, b10 为 互 不 相 同 的 20 个 实 数 , 若 方 程 x ? a1 ? x ? a2 ? ?? x ? a10 = x ? b1 ? x ? b2 ? ?? x ? b10 有有限多个解,则此方程最 多有_______个解。 2 3 7、已知集合 A ? x x ? a0 ? a1 ? 7 ? a2 ? 7 ? a3 ? 7 ,其中 ai ? ? 1,2,3,4,5,6??i ? 0,1,2,3? , ? ? ?m ? n? ,则符合条件的正整 数对 ?m, n? 有_______个。 若正整数 m, n ? A ,且 m ? n ? 2014 8、函数 f ?x, y ? ? x ? y ? 2 x y ? 2 xy ? 3x ? 3 y ? 2 x ? 2 y ? 2 的最小值为_______。 4 4 2 2 2 2 9、若实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求 a ? b ? c 的最大值与最小值。 2 2 10、 已知数列 ?Fn ? 满足 F1 ? F2 ? 1 ,Fn ? 2 ? Fn ?1 ? Fn 。 若 Fa 、Fb 、Fc 、Fd (a ? b ? c ? d ) 分别为一 个凸四边形的边长,求 d ? b 的值。 11、设动点 P 在直线 y =x-4 上运动,过 P 作 x 2 ? y 2 ? 1的两条切线 PA、PB,其中 A、B 为 切点,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程。 [来源:学*科*网] [来源:学科网 ZXXK] x2 y 2 ? ? 1 ,试求实数 ?a, b ? ,满足对任意斜率为 a 的直线 la 与椭圆的交点 11*、已知椭圆 36 4 A、 B 及直线 x ? b 与椭圆上半部分的交点 P 可组成△PAB, 均有△PAB 的内心在直线 x ? b 上。 8; ?? 2 ? 9 ? 3 1 ? ?3 5 ? ,? ? ? ? , ? ;198;60

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