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平面向量学案


专题一平面向量的概念及线性运算
课本知识:
1、量的概念 1)定义 2)数量(只有大小,没有方向) 3)向量的长度(模) 4)零向量、相等向量、相反向量、 共线向量、单位向量 3、共线条件 平行向量基本定理:对任意向量a , b (b ≠ 0),a与b共线的充要条件 是存在唯一实数λ使a = λb 2、向量的线性运算 1)加法定义(三角形法则) 2)加法平行四边形法则 3)减法定义(三角形法则) 4)数乘运算

类型一向量的有关概念
例、判断下列命题是否正确 1)若 a = b ,则a = b 2)若 A 、B、C、D 是不共线的四点,则AB = DC,是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件 ?)若a = b,c = b则a = c ?)a = b的充要条件是 a =b a∥b ?

?) a = b 是a = b的必要不充分条件? ??平行向量就是共线向量? ??相反向量一定是平行向量? ??平面内?个不同点,?、?、C、D 共线的充要条件是存在非零实数 k,使得AB = k DC? ??已知a是任一个非零向量,则 是一个单位向量。?
a a

类型二向量的线性运算及运用
例?、如图D、E分别是?ABC中AB、AC边的中点,M、N分别是DE、BC的中点, 已知BC=a,BD=b,试用a , b分别表示DE、CE和MN?? ? ? ? ? ?
1















例? (2009年 山东7) 设P是?ABC所在平面内一点, BC+BA=2BP, (B)? 则 A、PA?PB ?0 C、PB?PC ?0 B、PC?PA ?0? D、PA?PB+PC ?0?

? 例 ? ( 2 0 0 9 年 广 东 6 ) 一 质 点 受 到 平 面 上 的 三 个 力 F1 、F2 、F3 单位:牛顿 的作用而处于平衡状态,已知F1 、F2 成60 角,且F1 、F2 的? 大小分别为2和4,则F3 的大小为(??)? A、2 7 B、2 5 C、2 D、6?
°

例? (2009年 宁夏9) 已知点O、 P在?ABC所在平面内, OA ? OB ? OC N、 且 NA?NB?NC=0,PA ? PB?PB ? PC?PC ? PA?则点O、N、P分别是?ABC 的(C)? A、重心、外心、垂心 C、外心、重心、垂心 B、重心、外心、内心? D、外心、重心、内心?

例? (2010年 全国2) ?ABC中, 点D在边AB上, CD平分∠AC?, 若CB=a, CA=b, a = 1, b =2,则CD=(??)? A、 a+
3 1 2 3

b

B、 a+




1 3

b

C、 a+




4 5

b

D、 a+




3 5

b?

类型三数乘向量和共线向量定理的应用
例、设两个非零向量a与b不共线?

1)若AB=a+b BC=2a+8b CD=3(a ? b) ,求证 A、B、D 三点共线? 2)试确定实数?使ka+b和a+kb共线? ? ? ? ? ? ? ?

2

专题二平面向量基本定理及坐标表示
类型一平面向量基本定理及应用 例 2、 (2007 江西 15)如图?ABC中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 与不同的两点 M、N 若AB =mAM,AC =nAN则 n+m 的值为 A N B O C

M 例 3、 2007 陕西 15) ( 如图平面内有三个向量OA、 、 其中OA与OB的夹角为120° OA与OC OB OC , 的夹角是30° OA = OB = 1, OC = 2 3,若OC = λOA + μOB(λ,μ ∈ ?)则λ + μ的值 且 为 B 30° O 例 4、 (2005 全国 2 C

A

15)?ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, .

OH=m(OA + OB + OC),则实数 m= 1 类型二平面向量的坐标运算

例 1、已知 A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4)且 CM=3CA,CN = 2CB,求 M、N 及MN的 坐标。

类型三、平面向量共线的坐标表示 例 1、平面内给定三个向量a = (3,2),b = (?1,2),c = (4,1), 回答:1)求3a + b ? 2c 2)求满足a = mb + nc的实数 m,n 3)若(a + kc) ∥ (2b ? a),求 k 4)若(d ? c) ∥ (b + a)且 d ? c = 1,求d



专题三平面向量数量积
课本知识
1、向量的夹角 1)定义作OA = a,OB = b,则∠AOB=θ叫做夹角 2)范围 0,π 3)垂直θ = 90° 2、向量的投影
3

3、数量积的定义 4、数量积的定义 1)e ? a=a ? e= a cos θ 2)a ⊥ b ? a ? b = 0 ? a + b = a ? b 3)a,b同向a ? b = a b 反方向a ? b = ? a b a ? a = |a|2 =a2 4)cos θ = 5) a ? b
a ?b a b

≤ a b

类型一数量积的性质及运算 例 1、1)已知?ABC中, AB = 5, AC = 4, BC = 3 是 2)设a,b,c是任意的非零向量且互不共线,给出以下命题 ①(a ? b)? c ?(c ? a)? b = 0 ② a ? b < a?b ③(b ? c)? a ? (c ? a) ? b不与c垂直 ④(3a + 2b)? (3a ? 2b)=9 a 2 ? 4 b 其中是真命题的是 例 2、已知a =(1,2) =(1,1)且a与a + λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围。 ,b
2

则 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB 的 值

例 3、(2010 北京)a,b为非零向量, a ⊥ b”是函数“f x = (xa + b)(xb ? a)为一 “

次函数”的() A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
? ? ?

4


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