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初等函数的值域问题


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 初等函数的值域问题 作者:向正虎 来源:《学生周报· 教师版》 2013 年第 10 期 求函数的值域是一个较复杂的问题,也是很重要的问题(因为它和求出函数和最值紧密相 差),历届高考试题中经常出现,应引起重视,求函数值域没有通用方法和固定模式,根据问 题的不同特点综合而灵活地运用条件选择方法求之。 (一)分离常数法 例 1:求函数 y= 的值域。 ∵≠0 ∴ 值域为:{y—y∈ R 且 y≠1} 例 2:求函数 y= 的值域。 解:原函数可化为:y=2+ ∵ -1≤sinx≤1 ∴ -5≤ ≤∴ 函数的值域为{y—-3≤y≤} [点评]类似于 y= (mn≠o)的函数,常用分离常数法求值域,有时这种类型的函数往往也 可以用反函数法求解。 (二)判别式法 例 3:求函数的值域。 解:原函数解析式变为: (y-1)x2-(y-1)x+y-3=0 当 y=1 时,此时方程无解。 当 y1 时,由 x∈ R,此方程的判别式△ ≥0, 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 即:(y-1)2-4(y-1)(y-3)≥0 解得:1≤y≤ , 又 y≠1,故 1 故函数的值域为{y| |y≤ } [点评](1)此法适用于 y= (a1,a2 不同时为 0)型的函数。 (2)在解题过程中注意对二次项系数是否为零讨论。 (三)配方法 例 4:求函数 y= 的值域 解: y= = 因为-x2-6x-5 所以-5≤x≤-1 故 0≤y≤2,即所求函数值域为[0,2] [点评]配方法适合的题型是二次型函数 y=AX2+BX+C (四)数形结合 例 5:函数 y=|x+1|+x-2| =-2x+1,(x2) 故所求值域是[3,+∞) (法二)把 y 看作是点(X,0)到定点 A(-1,0)与 B(2,0)的距离之和,故值域是 [3,+∞) 例 6:求函数 y= 的值域 解:原函数式可化为 y= 此式可以看做点(2,0)和(cosx,-sinx)连线的斜率,而点 (cosx,-sinx)的轨迹方程为 x2+y2=1+=1,如下图所示。 在坐标系中做出圆 x2+y2=1 和点(2,0) 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 由图可知,1 的斜率的范围是[- , ] 故函数的值域为:[- , ] [点评]数形结合求值域要求对几何图形有比较深入的把握。 (五)换元法 例 7:求函数 y=2x+ 的值域。 解:令 t= (t≥0) 则 x= ∵ y=t2+t+1=(t- )2+ ∴ 当 t=- 即 x= 时,ymax= ,无最小值。 ∴ 函数值域为:(-∞, ] [点评]对于形如 y=ax+b+ 令 t= , 使之变形为二次函数,对于含 结构的函数, 可利用三角代换,令 x=acosθ,θ[0,π]或令 X=asinθ,θ∈ [- , ],转化为三角函数。 (六)不等式法 例 8:求下列函数的值域 y=x2(x y= 解(1)y= = (x ∵ x+ ≤-2, ∴ -3≤ 即-3≤ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ∴ 函数值域为[-3,0] [点评]不等式法:利用基本不等式 a+b2≥ ,求函数值域时,要注意条件“一正、二定、三 相等”,即(1)a>0,b>0,(2)a+b 或 ab 为定值,(3)取等号条件 a=b (七)、反函数法 例 9:求函数 y= 解出 x,得 x= ∴ 2y+1≠0 ∴ 函数的值域为{y|y≠ ,且 y∈ R

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