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杭州二中2013学年高三年级第五次月考数学(理)试卷


杭州二中 2013 学年高三年级第五次月考数学(理)试卷

注意事项:考试时间:120 分钟;满分:150 分。本场考试不得使用计算器,请考生用水笔或钢笔将所 有试题的答案填写在答题纸上,答在试卷上的无效。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求.
2 1 设 全 集 U 是 实 数 集 R , M ? x | x ? 4 , N ? ? x | ln( x ? 2) ? 0? , 则 (CU M ) ? N =(

?

?

)

A. ?x | ?1 ? x ? 2? 2.复平面内,复数 z ? A.第一象限

B. ?x | x ? 2?

C. ?x | ?1 ? x ? 2?

D. ?x | x ? 2?
开始 n=5,k=0 n 为偶数

2 ? i 2013 ,则复数 z 的共轭复数对应的点在( i 2014
C.第三象限 D.第四象限 ) D.7



B.第二象限

3.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( A.4 B.5 C.6 4.在 (1 ? x) (1 ? x) 的展开式中,含 x 项的系数是 n,若
3 8
2


n? n 2

否 n=3n+1

(8 ? nx)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? ? ? ? an xn ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ?an ? (
A.0 B.1 C.-1 D. 15
7

)

k=k+1 n =1? 是 输出 k 否

5. ? 为平面, m, n 是两条不同直线,则 m / / n 的一个充分条件是( A. m / /? 且 n / /? C. m ? ? 且 n ? ?



[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

结束

B. m, n 与平面 ? 所成的角相等 D. m, n 与平面 ? 的 距离相等

? x ? 0, y ? 0 ? ? ? 6. 设 P 是 不 等 式 组 ? x ? y ? ?1 表 示 的 平 面 区 域 内 的 任 意 一 点 , 向 量 m ? (1,1) , n ? (2,1) , ?x ? y ? 3 ?



OP ? ?m ? ? n ( ? , ? 为实数) ,则 ? ? ? 的最大值为(

?

?

?

) )

A.4 B.3 C.-1 D.-2 7.已知三个不全相等的实数 m, p, q 成等比数列,则可能成等差数列的是( A. m,p,q B. m2,p 2,q 2 C. m3,p3,q3 D. m, p,q

8.若关于 x 的不等式 x 2 ? | x ? 3a |? 2 至少有一个正数解,则实数 a 的取值范围是( A. ( ?



2 2 2 3 3 3 3 2 , ) B. ( ? , ) C. ( ? , ) D. ( ? , ) 3 3 3 4 4 4 4 3 9.若三棱锥 A ? BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等, 则动点 P 的轨 迹与三角形 ABC 组成图形可能是( )
A A P C A. 10. F1 , F2 双曲线是 B B. C B C. A A

P B

P C B

P C D. 离为 2 a ,则

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,若在右支上存在点 A 使得点 F2 到直线 AF1 的距 a 2 b2
) C. ( 2 ,??) D. [ 2 ,??)

离心率 e 的取值范围是( A. (1, 2 ) B. (1, 2 ]

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分 ,共 28 分. 11.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长 为 2 的正方形,则这个正四面体的体积为 . 12.设 x ? [ ?

? ?

, ] , 令A ? cos(cosx) , B ? sin(sin x) ,则 2 2
. 第 11 题

A, B 的大小关系为

a11 <0,若此数列的前 10 项和 S10 =36,前 18 项和 S18 =12,则数 13. 在等差数列{ an }中, a1 ? 0 , a10 ·

列 {| an |} 的前 18 项和为_____________. 14.某人参加一档综艺节目,需依次闯关回答 8 道题,若回答正确,就获得一定的“家庭梦 想基金”且可选择拿着“家庭梦想基金”离开或继续答题(假设离开和继续答题的可能性 相等) ; 若回答错误,则此前积累的基金清零,且他离开此节目。按规定,他有一次求助 亲友团的机会,若回答正 确,也被视为答案正确,否则视为错误。8 道题目随机排列,且 他能答出其中 5 题,且另 3 题中,有 2 题 亲友团能答对,则他能获得第 5 关对应的“家庭 梦想基金”的概率为 . 15.已知 2 ? 3 ? 6 , k ? Z ,不等式
a b c

a?b ? k 恒成立,则整数 k 的最大值为 c

.

16.已知函数 f ( x) ? x ln x ,当 x2 ? x1 ? 0 时,给出以下几个结论: ①( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ;②

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?1; x1 ? x2

③ f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? x1 ;④x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ⑤ 当 ln x1 ? ?1 时, x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? 2 x2 f ( x1 ) 其中正确的是
? ? ?

.
?
? ? ? ?

17.平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 , a ? e ? 1 , b ? e ? 2 , | a ? b |? 2 ,则 a ? b 的最小值为

?

?

? ?

.

三.解答题:本大题有 5 小题,共 72 分 18. (本题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? sin ? x ?

1 ? (? ? 0) ,其相邻两个零点间的距离为 . 2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)锐角 ?ABC 中, f (

A ? 1 ? ) ? , AB ? 4, ?ABC 的面积 为 6 ,求 BC 的值. 2 8 2

[来源:学科网 ZXXK]

19.(本题满分 14 分) 某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律:每台电视机 的最终销售利润与其无故障使用时间 T(单位:年)有关.若 T ? 1 ,则每台销售利润为 0 元;若 1 ? ? ? ? ,

则每台销售利润为 100 元;若 T ? 3 ,则每台销售利润为 200 元 . 设每台该种电视机的无故障使用时间
2 T ? 1,1 ? ? ? ?? ? ?3 这三种情况发生的概率分别为 P 1, P 2, P 3 , 又知P 1, P 2 是方程 10 x ? 6 x ? a ? 0 的两个根,

且P 2 ? P 3. (1)求 P 1, P 2, P 3 , 的值; (II)记 ? 表示销售两台这种电视机的销售利润总和,写出 ? 的所有结果,并求 ? 的分布列; (III)求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值.

20. (本题满分 14 分) 如图, C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A, B 的点,平面 PAC ? 平面 中

ABC ,PA ? PC ? AC ? 2 ,BC ? 4 ,E , F 分别是 PC, PB 的
点,记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l . (Ⅰ)求证:直线 l ? 平面 PAC ; (Ⅱ)直线 l 上是否存在点 Q ,使直线 PQ 分别与平面 AEF 、直

线 明理

EF 所成的角互余?若存在,求出 | AQ | 的值;若不存在,请说
由.

21.(本题满分 15 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , c 为半焦距,若以 F2 为圆心, b ? c 为半径作圆 a2 b2

F2 ,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T ,且 | PT | 的最小值不小于
(1)求椭圆离心率的取值范围;

3 (a ? c) , 2

[来源:学科网]

(2)设椭圆的短半轴长为 1,圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q ,过点 Q 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与椭圆相交于

A, B 两点,若 OA ? OB ,求直线 l 被圆 F2 截得的弦长 S 的最大值.
y P y x
[来源:学科网]

O y T y

y

22.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在 [ ,2] 上的最大值; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,若 y ? g ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 2 时 , 函 数 h( x) ? f ( x) ? mx 的 图 像 与 x 轴 交 于 两 点 A( x1 ,0), B( x2 ,0) , 且 0 ? x1 ? x2 , 又

1 2

y ? h?( x) 是 y ? h( x) 的导函数,若正常数 ? , ? 满足条件 ? ? ? ? 1 , ? ? ? ,证明: h?(?x1 ? ?x2 ) ? 0

杭州二中 2013 学年高三年级第五次月考数学答案
一、选择题

1-5 ABBBC 6-10 ABDDC
二、填空题

11.

8 3

12.A>B 16.④ ⑤

13.60 17 .
5 4

14.

11 896

15.4
三、解答题 18.解: (1) f ( x) ? 由题可知,

1 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin(2?x ? ) …………………3 分 2 2 2 4
T ? 2? ? ,?T ? ? ,? 2? ? ? ? ? 1………………………5 分 2 2 T

? f ( x) ?

2 ? s i n2(x ? ) …………………………………………………7 分 2 4

(2)? f (

A ? 1 2 1 2 ? ) ? ,? sin A ? ,? sin A ? 2 8 2 2 2 2

又由锐角 ?ABC 知,角 A 为锐角,? A ?

?
4

…………………………9 分

? S ?ABC ?

1 1 ? AB ? AC ? sin A ? ? 4 ? AC ? sin A ? 2 AC ? 6 2 2

? AC ? 3 2 ……………………………………………………………12 分
? BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 10

? BC ? 10 ……………………………………………………………14 分
19(1)证明: E , F 分别为 PB, PC 中点,? BC // EF

又 EF ? 面EFA, BC ? 面EFA

? BC // 面EFA ……………………………2 分
又 BC ? 面ABC,面EFA? 面ABC ? l

? BC // l ,…………………………………4 分
又 BC ? AC,面PAC ? 面ABC ? AC,面PAC ? 面ABC,

? BC ? 面PAC ?l ? 面P A C ………………………………6 分
CA 所在的直线为 x 轴, CB 所在的直线为 y 轴, (2) 解: 以 C 为坐标原点 , 过 C 垂直
的直线为 z 轴建立空间直角坐标系…………………………………8 分
? ?

面 ABC

1 3 1 3 A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0, 3 ),E ( ,0, ),F ( ,2, ) , 2 2 2 2
? 3 3 ? AE ? (? ,0, ), EF ? (0,2,0) 2 2

设 Q(2, y,0) ,面 AEF 的法向量为 m ? ( x, y, z )

?

? 3 ?? ? 3 z?0 ? AE? m ? 0 ?? x ? 则? 即? 2 2 ? ? ? ?EP? m ? 0 ? ?2 y ? 0
令 z ? 3 得到面 AEF 的一个法向量为 m ? (1,0, 3 ) …………………10 分
?

PQ ? (1, y,? 3 ) ,

?

| cos ? PQ, EF ?|?

?

?

| PQ? EF | | PQ | ?| EF |
? ?

?

?

, | cos ? PQ, m ?|?

?

?

| PQ? m | | PQ | ?| m |
? ?

?

?

…………12 分

依题意得 |

| PQ? EF | | PQ | ?| EF |
? ?

?

?

?

| PQ? m | | PQ | ?| m |
? ?

?

?

? y ? ?1

?在l上存在点Q,使直线l分别与平面 AEF、直线EF所成的角互余, AQ ? 1.
……………1 4 分 20.解:
2 (1)? P 1?P 2 ? 1, P 2 是方程 10 x ? 6 x ? a ? 0 的两个根,? P

3 5

又? P ,P2 ? P 1?P 2 ?P 3 ?1 3 从而 P 1 ?

1 2 , P2 ? P3 ? ………………………………………………4 分 5 5

(2)记一台该种电视机的无故障使用时间 T ? 1,1 ? ? ? ??? ? 3 分别为事件 A1 , A2 , A3

? 的取值有 0,100,200,300,400………………………………………5 分
1 1 1 P(? ? 0) ? P( A1 A1 ) ? ? ? …………………………………………6 分 5 5 25 1 2 2 1 4 P(? ? 100 ) ? P( A1 A2 ? A2 A1 ) ? ? ? ? ? 5 5 5 5 25 2 2 1 2 2 1 8 P(? ? 200 ) ? P( A2 A2 ? A3 A1 ? A1 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 25 2 2 2 2 8 P(? ? 300 ) ? P( A1 A3 ? A3 A1 ) ? ? ? ? ? 5 5 5 5 25 2 2 4 P(? ? 400 ) ? P ( A3 A3 ) ? ? ? …………………………………………10 分 5 5 25
所以 ? 的分布列为:
[来源:学科网]

?

0

100

200

300

400

P

1 25

4 25

8 25

8 25

4 25

(3) E? ? 0 ?

1 4 8 8 4 ? 100 ? ? 200 ? ? 300 ? ? 400 ? ? 240 ………………14 分 25 25 25 25 25

21.解:
2 2 (1)根据题意可设切线长 | PT |? | PF2 | ?(b ? c ) ,所以当且仅当 | PF2 | 取得最小值时 | PT | 取得最小值.

而 | PF2 |min ? a ? c ,所以 (a ? c) ? (b ? c) ?
2 2

3 (a ? c) ,……3 分 2

所以 0 ?

b?c 1 3 2 3 2 ? ,从而解得 ? e ? ,离心率 e 的取值范围是 ? e ? .……5 分 a?c 2 5 2 5 2

(2)依题意得点 Q 的坐标为 (1,0) ,则得直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,联立方程组

? y ? k ( x ? 1) ? 2 得 (a 2 k 2 ? 1) x 2 ? 2a 2 k 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 ? 0 , ?x 2 ? 2 ? y ?1 ?a
设 A1 ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

2a 2 k 2 a 2k 2 ? a 2 , x x ? ……7 分 1 2 a 2k 2 ? 1 a 2k 2 ? 1

k 2 (1 ? a 2 ) k 2 ? a2 代入直线方程得 y1 y2 ? k [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? 2 2 , x1 x2 ? y1 y2 ? 2 2 , a k ?1 a k ?1
2
2 2 又 OA ? OB ,所以 OA? OB ? 0 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , k ? a ,所以 k ? a ……9 分
? ?

直线方程为 ax ? y ? a ? 0 ,圆心 F2 (c,0) 到直线 l 的距离 d ?

| ac ? a | a2 ?1



s 2 a 2 (c ? 1) 2 (c ? 1) 2 2 2 2 ? 2 由图像可知 ( ) ? (b ? c) ? d ? (1 ? c) ? ,所以…………11 分 2 a2 ?1 a ?1

s?

2 | c ?1 | a2 ?1

?2

c 2 ? 2c ? 1 c 2 ? 2c ? 1 2c ? 1 4 , ? 2 ? 2 1? 2 ? 2 1? 2 2 9 a ?1 c ?2 c ?2 2c ? 1 ? ?2 2c ? 1

又由(1)知

3 5 3 2 2 41 ,所以 ? e ? 1, ? 2c ? 1 ? 3 ,所以 s ? (0, ?e? ], 4 2 5 2 41

所以 smin ?

2 41 .…………………………15 分 41

22.解: (1)因为 f ?( x) ?

2 2 ? 2x2 ? 2x ? , x x

函数 f ( x) 在 [ ,1] 上是增函数,在 [1,2] 上是减函数,…………………………2 分 所以 f ( x)min ? f (1) ? 2 ln1 ?1 ? ?1 ……………………………………………3 分
2

1 2

(2)因为 g ( x) ? a ln x ? x 2 ? ax ,所以 g ?( x ) ?

a ? 2x ? a x

因为 g ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,所以 g ?( x) ? 0 在 (0,3) 上有实数解,且无重根. 由 g ?( x) ? 0 ,有 a ?

2x2 1 9 ? 2( x ? 1 ? ) ? 4 ? (0, )(x ? (0,3)) . x ?1 x ?1 2
9 2

又当 a ? ?8 时, g ?( x) ? 0 有重根 x ? ?2 ,综上 a ? (0, ) .…………6 分 (3)因为 h?( x) ?

2 ? 2 x ? m ,又 f ( x) ? m x ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,所以 x

2 ? ?2 ln x1 ? x1 ? m x1 ? 0 x1 ? 2 2 2 ? ?2 ln x2 ? x2 ? m x2 ? 0 ,两式相减得 2 ln x ? ( x1 ? x2 ) ? m)(x1 ? x2 ) ,………9 分 2

所以 m ?

2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ,于是可得 x1 ? x2

h?(?x1 ? ?x2 ) ? ?

2 2(ln x1 ? ln x2 ) ? 2(?x1 ? ?x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

2 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ? (2? ? 1)(x2 ? x1 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

因为 ? ? ? ,所以 2? ? 1 ,所以 (2? ? 1)(x2 ? x1 ) ? 0 , 所以要证 h?(?x1 ? ?x2 ) ? 0 ,只需证:

2 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ?0 ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

只需证:

x1 ? x2 x ? ln 1 ? 0(*) .…………12 分 ?x1 ? ?x2 x2

令t ?

1? t 1? t x1 ? ln t ? 0 ,只证明 u (t ) ? ? ln t ? 0 即可. ? (0,1) ,所以 (*)化为 ?t ? ? ?t ? ? x2
2

?2 ? (t ? 1)(t ? 2 ) 1 ? (?t ? ? ) ? (1 ? t )? 1 1 ? . ? ? ? 又可得 u ?(t ) ? ? t (?t ? ? ) 2 t (?t ? ? ) 2 t (?t ? ? ) 2
因为

?2 ? 1,0 ? t ? 1 ,所以 t ? 1 ? 0 ,所以 u?(t ) ? 0 , ?2

u(t ) 在 (0,1) 上单调递增, u (t ) ? u (1) ? 0 ,
所以

1? t ? ln t ? 0 ,所以 h?(?x1 ? ?x2 ) ? 0 …………………………15 分 ?t ? ?


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