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学生卷 第33课时 三角函数的图像和性质(1)


三角函数的性质(一) (一)主要知识: 三角函数的定义域、值域及周期如下表: 函数 定义域 值域
y ? sin x
y ? cos x R R

周期
2?
2?

[ ? 1,1] [ ? 1,1]

y ? tan x

{x | x ? k? ?

?
2

,k ? Z}

R

?

(二)主要方法: 1.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组) .一般可用三角函数 的图象或三角函数线确定三角不等式的解.列三角不等式,既要考虑分式 的分母不能为零;偶次方根被开方数大于等于零;对数的真数大于零及底 数大于零且不等于 1,又要考虑三角函数本身的定义域; 2.求三角函数的值域的常用方法:①化为求代数函数的值域;②化为求 y ? A sin (? x ? ? ) ? B 的值域;③化为关于 sin x (或 co s x )的二次函数式; 3.三角函数的周期问题一般将函数式化为 y ? A f (? x ? ? ) (其中 f ( x ) 为三角 函数, ? ? 0 ) . (三)例题分析: 例 1.求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?
3 ? tan x

; (2) f ( x ) ? tan(sin x ) ; (3) f ( x ) ?

2 co s x ? 1 tan x ? 1



例 2.求下列函数的值域: (1) y ?
2 sin x co s x 1 ? sin x
2

; (2) y ? lo g

3 ? sin x
2

3 ? sin x

; (3) y ?

1 ? sin x 3 ? co s x



例 3.求下列函数的周期: (1) y ?
sin 2 x ? sin ( 2 x ? co s 2 x ? co s( 2 x ?

?
3

) )

?
3

; (2) y ? 2 sin ( x ?

?
2

) sin x

; (3) y ?

co s 4 x ? sin 4 x co s 4 x ? sin 4 x



1

例 4.已知函数

f ( x ) ? ? 2 a sin ( 2 x ?

?
6

) ? 2 a ? b, x ?

? ? 3? ? , . ? 4 4 ? 是否存在常数 a , b ? Q ? ?

,

使得 f ? x ? 的值域为 ? ? ?

3,

3 ? 1? ?

?若存在,求出对应的常数 a,b 的值。

例 5. 当函数 y ? sin

2

x ? a co s x ?

1 2

a?

3 2

的最大值为 1 时,求 a 的值.

(四)高考回顾与巩固练习: 1.函数 y ? sin x ? 1 6 ? x 的定义域为 2.函数 y ? sin x ? co s x 的最小正周期为
2

. . . 。

6

6

3. 函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的最大值 4. 函数 y ? co s 5. 函 数
2

4x

的周期是

y ? t a n x? c o t的 周 期 是 x
1 2 co s 2 x 的最大值是

6. (全国)函数 f ? x ? ? co s x ? 7.求函数 y ? lg sin x ? 8.已知函数
?x? ?
1 2
4

? co s x

的定义域.
2

f

6 co s x ? 5 sin x ? 4 co s 2 x

,求 f ? x ? 的定义域,判断它的奇偶性,

并求其值域。 9.函数 f ? x ? ? c o s 2? ? x ? ? ? ?
f( 1 2 ( ? 0, 0 ? ? ? ?

?
2

) .已知 f

? x ? 的最小正周期为 ? ,且

?
8

)?

1 4

..

(1)求 ? 和 ? 的值;
y ? 1 3 , 求 sin y ? co s x
2

(2)求 f ? x ? 的单调递增区间. 的最大值.

10.已知 sin x ? sin

2


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