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空间角和距离试卷


平度九中高三空间 角与距离 练习题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、选择题(题型注释) 1.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 l ? ? ,点 P∈l,平面 ? 、? 间的距离为 8,则在 ? 内到 点 P 的距离为 10 且到直线 l 的距离为 9 的点的轨迹是

( A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 2.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,则下列四个命题: B.直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 ① P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③ P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变; 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中,P, Q 分别为线段 BD1 , CC1 上的动点, ④ M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线 其中真命题的个数是 则 PQ 的最小值为( ) C.三棱锥 P ? QEF 的体积 D. ?Q EF 的面积 ) D.两个点 A.点 P 到平面 QEF 的距离

A.

2

B.

3 3

C.

3

D.

2 2

5.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O ,球面上有两个点 A, B 的坐标分别 为 A?1,2,2? , B ? 2, ?2,1? ,则 | AB |? ( A.1 B.2 C.3 D.4 A.18 B.12 ) C. 3

2

D. 2

3

3.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为 A1 D1 的中点, Q 为 A1 B1 上 任意一点 , E 、 F 为 CD 上两点 , 且 EF 的长为定值 , 则下面四个值中不是定值的是 ( )

6.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 2 AB .若 E , F 分别为线段 A1 D1 ,

CC1 的中点,则直线 EF 与平面 ADD1 A1 所成角的正弦值为(
A.



6 3

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3

7.如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中点。则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( )
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D1

若这样的 c 共有四条,则 θ 的范围为

.

H

C1

15.已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为

A1
E D F

? ,AB⊥BC,BC⊥CD, AB ? 平面? ,BC 在 l 上, 3
.

B1

CD ? 平面? ,若 AB ? BC ? CD ? 1 ,则 AD 的长为

G
B

C

A
A. 120 ?

B. 90 ?

C. 60 ?

D. 45 ? )

?、? 为两个不同的平面. 8. 设 a、 b 为两条不同的直线, 下列命题中, 正确的是 (
A.若 a、 b 与 ? 所成的角相等,则 a / / b B.若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ?

三、解答题(题型注释) 16 .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ⊥平面 ABCD , AP ? AB ? 1 , E , F 分别是 PB , PC 的中点. (Ⅰ) 求证: AE ? PC (Ⅱ)求点 A 到平面 PBD 的距离. P

E C.若 a ? ? , a / / ? ,则 ? ? ? D.若 a / /? , b / / ? ,则 a / / b 9.已知平面的一条斜线 a 和它在平面内的射影的夹角是 45° ,且平面内的直线 b 和斜 线 a 在平面内的射影的夹角是 45° ,则直线 a 、 b 所成的角是 ( ) A. 30 ° B. 45° C. 60 ° D. 90 ° 10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 A 1 B 1 C 1 D 1 内取一点 E,使 AE 与 AB、AD 所成的角都是 60°,则线段 AE 的长为( ) A. 5 2 D A F M B C B A

F D C

17. 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O , 且 AO ? 平面 BB1C1C .

6 B. 2

C. 2

D. 3

D1 二、填空题(题型注释) E A1 C1 (1)证明: B1C ? AB;
? (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.

B1 11.已知球的半径为 1, A 、 B 是球面上两点,线段 AB 的长度为 3 ,则 A 、 B 两 点的球面距离为 ________. .

12.在 z 轴上与点 A(?4,1,7) 和点 B(3,5, ?2) 等距离的点 C 的坐标为

13.空间直角坐标系中,已知点 P(1,2,3),P 点关于平面 xOy 的对称点为 P0,则|PP0| =________. 14.a , b 为异面直线,且 a , b 所成角为 40°,直线 c 与 a , b 均异面,且所成角均为 θ ,
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18.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 .点

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G, E , F , H 分别是棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD ,

BC // 平面 GEFH .
证明: GH // EF; 若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积. (1)证明: PA ? BD ; (2)若 PD ? AD ,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值.

21. (本小题满分 12 分)在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=1,AD=DC= 3 . (1)求直 线 A1C 与 D1C1 所成角的正切值; (2)在线段 A1C 上有一点 Q,且 C1Q= 与平面 A1DC 所成锐二面角的大小.

1 C1A1,求平面 QDC 3

19.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2 分别是 BC,AA1 的中点.

,E,F

求(1)异面直线 EF 和 A1B 所成的角. (2)三棱锥 A-EFC 的体积.

20 . (本题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 , AD ? 1 , PD ? 底面 ABCD .
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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:根 据 题 意 可 得 ,在 平 面 ? 内 到 点 p 的 距 离 为 10 的 点 的 轨 迹 是 以 p 为 球 心 以 10 为 半 径 的 球 被 平 面 ? 所 截 的 圆 面 , 半径为 6 在平面 ? 内到直线 l 的距离为 9 的 点 的 轨 迹 是 距 离 与 直 线 l 平 行 的 两 条 直 线 , 且 据 直 线 l 的 距 离 为 17 ? 6 , 所 以 两 条 平 行 线 与 圆 相 交 满 足 条 件 的 点 是 直 线 与 圆 的 4 个 公 共 点 ; 故 选 C. 考点:轨迹方程. 2.C 【解析】 试题分析:① ∵ BC1 ∥ 平 面 AD 1 , ∴ BC 1 ∥ 上 任 意 一 点 到 平 面 AD 1C 的 距 离 相 等 , 所 以 体 积 不 变 , 正 确 . ② P 在 直 线 BC1 上 运 动 时 , 直 线 AB 与 平 面 AD 1C 所 成 角 和 直 线 AC1 与 平 面 AD 1C 所 成 角 不 相 等 , 所 以 不 正 确 . ③ 当 P 在 直 线 BC 1 上运动 时 ,AP 的 轨 迹 是 平 面 PAD 即 二 面 角 P ? AD1 ? C 的 大 小 不 受 影 响 , 所以正确. ④ 1, ∵ M 是 平 面 A1 B1C1 D1 上 到 点 D 和 C1 距 离 相 等 的 点 ,∴ M 点 的 轨 迹 是 一 条 与 直 线

DC1 平 行 的 直 线 , 而 DD1 ? D1C1 , 所 以 正 确 , 故 答 案 为 : C .
考点:异 面 直 线 及 其 所 成 的 角 ; 棱 柱 、 棱 锥 、 棱 台 的 体 积 ; 与 二 面 角 有 关 的 立 体 几何综合题 . 3.B. 【解析】 试题分析:根据线面平行的性质可以判断 A 答案是定值;根据线面角的定义,可判断 B 答案 不是定值;根据等底同高的三角形面积相等及 A 的结论结合棱锥的体积公式,可以判断 C 答案是定值;根据三角形的面积公式可以判断 D 答案是定值,进而得到答案. 考点:空间中直线与平面之间的位置关系;棱柱、棱锥、棱台的体积;点、线、面间的距离 计算;三角形面积公式. 4.D 【解析】 试题分析:如图,建立空间直角坐标系,依题意可设 Q(0,1, ? ) , P( x1 , y1 , z1 )

答案第 1 页,总 10 页

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因为 B(1,1,0), D1 (0,0,1) ,所以 BD1 ? (?1, ?1,1) , BP ? ( x1 ?1, y1 ?1, z1 ) 由 P ? BD1 可知存在 ? ? R ,使得 BP ? ? BD1 即 ( x1 ?1, y1 ?1, z1 ) ? (??, ??, ? ) ,可得

? x1 ? 1 ? ? ? ? y1 ? 1 ? ? ?z ? ? ? 1
所 以 | PQ ? |

( ?1 ? 2 ?) ? ? (? 1

2

2 ? ? 1? ) ? (?

? )?

1 1 2 ?2( ? ? ? )? 2 2

1 ?2 ( ? 2

)

2 2

1 ? ?? ? (当且仅当 ? ,所以当 P、Q 分别为线段 BD1 , CC1 的中点时, PQ 取得 2 时等号成立) ? ?? ? ?
最小值

2 ,故选 D. 2

考点:空间距离的计算. 5.C 【解析】 试 题 分 析 : 由



























| AB |? (2 ? 1) 2 ? ( ?2 ? 2) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 18 ? 3 2 ,故选答案 C.
考点:空间中两点间的距离公式. 6.C 【解析】

EC1 , 试题分析: 取 DD1 的中点 G, 连接 EG、 FG、 容易证明 ?FEG 为直线 EF 与平面 ADD1 A1
所成角,设 AB=a,则 AA 1C1 中可求出 EC 1 ? AD ? 2a ,在三角形 ED 1 ? 2a ,在三角形

EFC1 中可求出 EF ? 3a ,所以在三角形 EFG 中可求出 sin ?FEG ?
选 C.
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a 3 ,答案 ? 3 3a

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考点:空间直线与平面所成角 7.C 【解析】 试题分析: 取A1 B1中点M,连接GM,HM,则GM EF ??GHM为等边三角形 ??MGH ? 60 选 C. 考点:异面直线所成的角 8.C 【解析】 试题分析:解:当两条直线与一个平面所成的角相等时,这两条直线的关系不能确定,故 A 不正确;当两个平面垂直时,一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个平面的关系都 有可能,故 B 不确定;当一条直线与一个平面垂直,与另一个平面平行,则这两个平面之 间的关系是垂直,故 C 正确;当两条直线分别和两个平面平行,这两条直线之间没有关系, 故 D 不正确,故答案为 C. 考点:空间中直线与平面的位置关系. 9.C. 【解析】由最小角定理 cos? ? cos?1cos?2 得 ? ? 60° . 10.C 【解析】由∠EAB=∠EAD,则 E 点必在 A1C 1 上, 且 E 在面 A1C 上的射影在 AC 上为 F, 如图, ∵cos∠FAM= AM = 2 , AF 2

AF AM ∴cos∠BAE= AM = · =cos60°= 1 , AE AF AE 2
AEA 1 =45°, ∴△AEA 1 为等腰直角三角形,故 AE= 2 。 11.

∴cos∠FAE= cos∠AEA 1 = AF = 2 ,则∠ AE 2

2? . 3

【解析】 试题分析:设球心为 O,连接 OA, OB ,则 ?OAB 是等腰三角形,且 OA ? OB ? 1, AB ? 3 , 则 ?AOB ?

2? 2? 2? ?1 ? ,所以 A 、 B 两点的球面距离为 l ? ?R ? . 3 3 3

考点:两点的球面距离. 12. ? 0, 0, ? 【解析】 试 题 分 析 : 设

? ?

14 ? 9?

z











C ?0, 0,h?



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CA ?
h? 14 . 9

?0 ? ?? 4??2 ? ?0 ? 1?2 ? ?h ? 7?2

?

?0 ? 3?2 ? ?0 ? 5?2 ? ?h ? ?? 2??2

, 解 得 :

考点:空间距离的计算 13.6 【解析】易知 P 点关于平面 xOy 的对称点为 P0(1,2,-3),所以|PP0|=
2 2 2 =6. ( 1- 1) +(2-2) +( 3+3)

14. 【解析】 试题分析:设 平 面 ? 上 两 条 直 线 m, n 分 别 满 足 m // a , n // b ,则 m, n 相 交 ,且 夹 角
? 为 40 ,若 直 线 c 与 a , b 均 异 面 ,且 所 成 角 均 为 ? ,则 直 线 c 与 m, n 所 成 角 均 为 ? ,

当 0? ? ? ? 20? 时 , 不 存 在 这 样 的 直 线

c , 当 ? ? 20? 时 , 这 样 的 c 只 有 一 条 , 当

20? ? ? ? 70? 时 ,这 样 的 c 有 两 条 ,当 ? ? 70? 时 ,这 样 的 c 有 三 条 ,当 70? ? ? ? 90?
? 时 , 这 样 的 c 有 四 条 , 当 ? ? 90 时 , 这 样 的 c 只 有 一 条 , 故 答 案 为 : 70? ,90? .

?

?

考点:异面直线的夹角. 15. 2 【解析】由 AD ? AB ? BC ? CD 得:
| AD |? ( AB ? BC ? CD) 2 ? | AB |2 ? | BC |2 ? | CD |2 ?2 AB BC ? 2 AB CD ? 2 BC CD

而 AB

BC ? 0 , BC

CD ? 0 , ? AB, CD ??

2? ,故 | AD |? 2. 3

16. (1)证明见解析; (2)

3 . 3

【解析】 试题分析: (1)证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高, 中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直 角三角形等等;(2)利用棱锥的体积公式 V ?

1 Sh 求体积.(3)证明线面垂直的方法:一是线 3

面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条 垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互 转化.(4)在求三棱柱体积时,选择适当的底作为底面,这样体积容易计算. 试题解析:证明:(Ⅰ) ? AP ? AB , E 是 PB 的中点

? AE ? PB
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? PA ⊥平面 ABCD ? PA ? BC ? AB ? BC 且 PA ? AB ? A ? BC ? 平面 PAB ? AE ? 平面 PAB ? AE ? BC ? PB ? BC ? B ? AE ? PC ? AE ? 平面 PBC (Ⅱ)设点 A 到平面 PBD 的距离为 d ,利用体积法,
1 1 VP ? ABD ? VA? PBD ? S?ABD ? PA ? S?PBD ? d 3 3

6分

?d ?

3 3

故点 A 到平面 PBD 的距离为

3 3

12 分

考点:(1)直线与直线垂直; (2)点到平面的距离. 17. (1)详见解析;(2)三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高为

21 . 7

【解析】 试题分析: (1)根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直,又由题中四边形是菱 形,故可想到连结 BC1 ,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点,又因为侧面 BB1C1C 为菱形,对角线相 互垂直 B1C ? BC1 ;又 AO ? 平面 BB1C1C ,所以 B1C ? AO ,根据线面垂直的判定定理可 得: B1C ? 平面 ABO,结合线面垂直的性质:由于 AB ? 平面 ABO,故 B1C ? AB ;(2)要 求三菱柱的高, 根据题中已知条件可转化为先求点 O 到平面 ABC 的距离, 即: 作 OD ? BC , 垂足为 D,连结 AD,作 OH ? AD ,垂足为 H,则由线面垂直的判定定理可得 OH ? 平面 ABC,再根据三角形面积相等: OH ? AD ? OD ? OA ,可求出 OH 的长度,最后由三棱柱

ABC ? A1B1C1 的高为此距离的两倍即可确定出高.
试题解析: (1)连结 BC1 ,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点. 因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 . 又 AO ? 平面 BB1C1C ,所以 B1C ? AO , 故 B1C ? 平面 ABO. 由于 AB ? 平面 ABO,故 B1C ? AB .

答案第 5 页,总 10 页

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(2)作 OD ? BC ,垂足为 D,连结 AD,作 OH ? AD ,垂足为 H. 由于, BC ? OD ,故 BC ? 平面 AOD,所以 OH ? BC , 又 OH ? AD ,所以 OH ? 平面 ABC. 因为 ?CBB1 ? 600 ,所以 ?CBB1 为等边三角形,又 BC ? 1 ,可得 OD ? 由于 AC ? AB1 ,所以 OA ?

3 . 4

1 1 B1C ? , 2 2

由 OH ? AD ? OD ? OA ,且 AD ? OD 2 ? OA2 ?

7 21 ,得 OH ? , 4 14 21 . 7

又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为

故三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高为

21 . 7

考点:1.线线,线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用 18. (1) GH / / EF ; (2)18 . 【解析】 试题分析: (1)要证线线平行,通过线面证明线线平行,再根据平行的传递性即可证明.因

BC 为 BC ∥平面 GEFH ,

? 平面 PBC , 且平面 PBC

平面 GEFH

? GH , 所以 GH

∥ BC .同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF .(2)要求出四边形 GEFH 的面积,首先 需要确定四边形的形状, 求出四边形一些量的大小即可求出.连接 AC , BD 交于点 O ,BD 交 EF 于点 K ,连接 OP, GK .因为 PA ? 理可得 PO

PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ? AC ,同
都在底面内, 所以 PO

? BD .又 BD

AC ? O , 且A CB D ,

? 底面 ABCD .

又因为平面 GEFH 因为平面 PBD

? 平面 ABCD ,且 PO ? 平面 GEFH ,所以 PO ∥平面 GEFH . ? GK ,所以 PO ∥ GK ,且 GK ? 底面 ABCD ,从而

平面 GEFH

GK ? EF . 所 以 GK 是 梯 形 G E F 的 H 高 . 由 AB ? 8, EB ? 2 得

EB : AK = KB : DB ? 1: 4 , 从而 KB ?
GK 得 GK ?

1 1 即 K 为 OB 的中点.再由 PO ∥ DB ? OB , 4 2

1 1 PO , 即 G 是 PB 的 中 点 , 且 GH ? BC ? 4 . 由 已 知 可 得 2 2

OB ? 4 2, PO ? PB 2 ? OB 2 ? 68 ? 32 ? 6 ,所以 GK ? 3 ,故四边形 GEFH 的

答案第 6 页,总 10 页

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面积 S

?

GH ? EF 4?8 ? GK ? ? 3 ? 18 . 2 2

(1)证明:因为

BC ∥ 平 面 GEFH , BC ? 平 面 PBC , 且 平 面 PBC

平面

G E F H? G H ,所以 GH ∥ BC .同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF .

连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP, GK .因为 PA ? 的中点,所以 PO 面 内 , 所 以 PO

PC , O 是 AC

? AC ,同理可得 PO ? BD .又 BD

AC ? O ,且 AC , BD 都在底

? 底 面 ABCD . 又 因 为 平 面 GEFH ? 平 面 ABCD , 且 PO ? 平 面

GEFH ,所以 PO ∥平面 GEFH .因为平面 PBD 平面 GEFH ? GK ,所以 PO ∥ GK , 且 GK ? 底 面 ABCD, 从 而 GK ? EF . 所 以 GK 是 梯 形 GEFH 的 高 . 由
从而 KB ? AB ? 8, EB ? 2 得 EB : AK = KB : DB ? 1: 4 ,

1 1 即 K 为 OB DB ? OB , 4 2

的中点.再由 PO ∥ GK 得 GK 知 可 得 OB ? 4 2, PO ?

?

1 1 PO ,即 G 是 PB 的中点,且 GH ? BC ? 4 .由已 2 2

PB 2 ? OB 2 ? 68 ? 32 ? 6 , 所 以 GK ? 3 , 故 四 边 形

GEFH 的面积 S ?

GH ? EF 4?8 ? GK ? ? 3 ? 18 . 2 2

考点:1.线面平行的性质定理;2.平行的传递性;3.四边形面积的求解. 19.(1) 30° (2)

【解析】(1)取 AB 的中点 D,连 DE,DF,则 DF∥A1B, ∴∠DFE(或其补角)即为所求. 由题意易知,DF= ,DE=1,AE= , 由 DE⊥AB,DE⊥AA1 得 DE⊥平面 ABB1A1, ∴DE⊥DF,即△EDF 为直角三角形, ∴tan∠DFE= = = ,∴∠DFE=30°,
答案第 7 页,总 10 页

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即异面直线 EF 和 A1B 所成的角为 30°. (2)VA-EFC=VF-AEC= ·S△AEC·FA= × × × × = .

20. (1)详见解析; (2)二面角 A-PB-C 的余弦值为 ?

2 7 . 7

【解析】 试题分析: (1)证明: PA ? BD ,证明线线垂直,只需证明一条线垂直过另一条线的平面 即可,注意到 PD ? 底面 ABCD ,即 PD ? BD ,因此可证 BD ? 平面 PAD ,只需证明

BD ? AD ,由已知 AB ? 2 , AD ? 1 , ?DAB ? 60? ,由余弦定理得 BD ? 3 , 即

BD 2 ? AD 2 ? AB 2 ,故 BD ? AD ,可证(2)若 PD ? AD ,求二面角 A ? PB ? C 的余
弦值,可用向量法,注意到 DA,DB,DP 三条直线两两垂直,故以 D 为坐标原点,射线 DA, DB,DP 分别为 x,y,z 的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz,写出各点的坐标,分别求出平 面 PAB 与平面 PBC 的法向量,即可求出二面角 A ? PB ? C 的余弦值. 试题解析: (1)证明:因为 ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD ? 3 .
2 2 2 从而 BD ? AD ? AB ,故 BD ? AD .

(2 分) (3 分) (4 分)

PD ? 面 ABCD, BD ? 面 ABCD ,? PD ? BD
又 AD ? PD ? D,

所以 BD ? 平面 PAD . (5 分) 故 PA ? BD . (6 分) (2)如图,以 D 为坐标原点,射线 DA,DB,DP 分别为 x,y,z 的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 A(1,0,0), B(0, 3,0), C(?1, 3,0), P(0,0,1) .

AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1) , BC ? (?1,0,0)
设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,[来源:学科则 ? 因此可取 n ? ( 3,1, 3) . 设平面 PBC 的法向量为 m ,则 ? 可取 m ? (0, ?1, ? 3) 则 cos m, n ?

(8 分) ,即 ?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? PB ? 0
(10 分)

? ?? x ? 3 y ? 0 ? ? 3y ? z ? 0

? ?m ? PB ? 0 ? ?m ? BC ? 0
(12 分)

?4 2 7 2 7 , 故钝二面角 A-PB-C 的余弦值为 ? . ?? 7 7 2 7
答案第 8 页,总 10 页

(14 分)

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注: 第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得 4 分, 求出二面角的平面角的余弦 值得 4 分.其它方法酌情给分.

考点:线面垂直的性质,二面角. 21. (1)? tan?A1CD ?

2 3 . 3
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(2)30°
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【解析】求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法 大小也可应用面积射影法,向量法办
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求二面角的

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解法一: (I)? C1 D1 // CD,

? ?A1CD 为异面直线 A 1 C 与 D1C 1 所成的角
2 3 . 3

连 A 1 D,在 Rt△A 1 DC 中,CD= 3 ,A 1 D=2,? tan?A1CD ?

(II)过 Q 作 EF(在平面 A 1 C 1 内)使 EF//A 1 B 1 , ? EF // CD 连 B1C、CF、DF, (面 EFCD 即平面 QDC;面 A1B1CD 即平面 A1DC)

DC ? 面BCC1B1 ,? DC ? B1C, DC ? CF , ? ?B1CF 即为二面角 A1—DC—Q 的平面
角.

CF CQ 1 1 ? C1Q ? C1 A1 , ?C1QF ~ ?A1QE,? 1 ? 1 ? . 3 A1 E QA1 2
? C1 F ? 3 2 3 2 3 , B1F ? .又B1C ? 2, CF ? CC12 ? C1F 2 ? , 3 3 3 CB 2 ? CF 2 ? B1F 3 在?B1CF中, cos ?B1CF ? 1 ? , 2CB1 ? CF 2

? ?B1CF ? 30? ,即所求二面角大小为 30°
解法二: (I)同解法一(I) (II)建立空间直角坐标系,

1 3 2 3 则D(0, 0, 0), C (0, 3, 0), A1 ( 3, 0,1), C1 (0, 3,1). C1Q ? C1 A1 ,?Q( , ,1), 3 3 3 设平面ACD , 平面QCD的一个法向量分别为n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 1
? ?n ? DC ? 0, ? ? y1 ? 0, 由? 1 ?? 令x1 ? 1,? z1 ? ? 3. 3 x ? z ? 0 n ? DA ? 0 ? ? ? 1 1 ? 1 1
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? n1 ? (1, 0, ? 3). ? y2 ? 0, ? ?n2 ? DC ? 0, ? 由? ?? 3 x2 ? z2 ? 0. n ? DQ ? 0 ? ? ? 2 ? 3 令x2 ? 1,? z2 ? ? 3 . 3
n ?n 1?1 3 ? 3 ? ,?? n1 , n2 ?? . ) ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? 2 6 3 | n1 | ? | n2 | 2 ? 2 3

? n2 ? (1,0,?

即平面 QDC 与平面 A1DC 所成锐二面角为

? 6



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