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12-13(2)复变函数期末试题


1. (10%) 关于 z 的方程sin = ,是否对一切复数 c 都有解?说明理 由。 2. (1)(4%) 设u(x, y) = x 3 + 2 , 求实数 k, 使得 u(x,y)为调和函数。 (2)(4%)求函数 v(x,y), 使得 f(z) = (, ) + (, )解析, f(0)=0。 且 (3)(7%) 求积分 ∫ ()


这里 C 为连接(0,0)和(π, 0)的正弦曲线 y=sin x. 3. (1) (8%)求 (2) (8%)求出
ez +1 1 cos

在 0 点的 Taylor 展开,展开至三次方项。 在扩充复平面上一切孤立奇点的类型。

1

4. (1) (8%)求积分 ∫
|+1|+||=3

( 2 ? 2 + 1) sin

(2) (8%)求积分
+∞


0

1 + 2 + 4

5. (1) (8%)求函数 f(x) = { 的 Fourier 变换。 (2)(10%) 求解微分方程初值问题 x ′′ (t) ? 4x(t) = et , x(0) = 1, x ′ (0) = 0. 6.(10%) 写出一个将区域D = {z: |z| < 2, Im z > 0}映为上半平面,且 1 0 < < 1 0 x 为其他值

将 i 仍映为 i 的共形映照。 7. 设 y(x)在原点解析,且满足微分方程 (1 ? x 2 ) ′′ () ? 2 ′ () + ( + 1)() = 0, 这里 n 为正整数。 (1) (5%) 若 y(0)=1,y’(0)=0,求 y(x)在原点的 Taylor 展开式(展至 2 次项) 。 (2) (5%) 若 y(0)=0,y’(0)=1,求 y(x)在原点的 Taylor 展开式(展至 3 次项) 。 (3) (5%) 证明:对(1)(2)中的 y(x),有且仅有一个是多项式。


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